【正文】 等比數(shù)列 n 項求和公式中公比的分類 ， 極易忘記公比 q=1 的 情形 ， 可不要忽視啊 ! 解析： 條件探索性開放型問題是指命題中結(jié)論明確而需要完備使結(jié)論成立的充分條件的題目。求證： }{nb 是等差數(shù)列 。 （ 2） ,232,23 111 ??? ?????? nnnnn aab? ? ? ,43232 122 122 1111111 ?????????? ??????? nnnnnnnnnnn aaaacc 又21211 ?? ac， ??nc? 是首項為 21 ，公差為 43 的等差數(shù)列。 所以 12 ?? nan 因為 2?n 時， 21 ?? ?nn aa 為常數(shù)，所以 ??na 為等差數(shù)列。 變式訓(xùn)練、 已知 { na }是公比為 q 的等比數(shù)列，且 12 , ?? mmm aaa 成等差數(shù)列 . （Ⅰ）求 q 的值； 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 12 （Ⅱ） 設(shè) 數(shù)列 }{na 的 前 n 項和為 nS ， 試判斷 12 , ?? mmm SSS 是否成等差數(shù)列？說明理由 . 四、課外訓(xùn)練 （ 2020 深圳一模文） 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ， 11?a ，且對任意正整數(shù) n ,點 ? ?nn Sa ,1? 在直線 022 ??? yx 上 . (Ⅰ ) 求數(shù)列 ??na 的通項公式； （Ⅱ）是否存在實數(shù) ? ，使得數(shù)列?????? ??? nn nS 2??為等差數(shù)列？若存在，求出 ? 的值；若不存在，則說明理由 . 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 13 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 1） 一、課前訓(xùn)練 某數(shù)列既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，那么該數(shù)列一定是（ ） A．公差為 0 的等差數(shù)列 B．公比為 1 的等比數(shù)列 C．常數(shù)數(shù)列 1,1,1,… D．以上都不對 數(shù)列 {a n }的通項公式 an = 2n + 5，則此數(shù)列是（ ） . 2 的等差數(shù)列 5 的等差數(shù)列 2 的等差數(shù)列 n 的等差數(shù)列 若 Sn 是數(shù)列 ??na 的前 n 項和， 2nSn? , 則 ??na 是 ( ). Ａ．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 Ｂ .等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 Ｃ．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 Ｄ .既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 22 ??? nn pS ， ??na 是等比數(shù)列的充要條件是 （ D ） A. 1?p B 2?p C. 1??p D. 2??p 二、問題探究 探究問題、 已知數(shù)列 {a n }的通項公式 a n = pn + q ，其中 p、 q 是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 14 是等差數(shù)？若是，首項與公差分別是多少？ 變式訓(xùn)練 已知數(shù)列的通項公式為 a n = 6 n 1，問這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？ 小結(jié) ：要判定 {a n }是不是等差數(shù)列，只要看 a n a n 1（ n≥ 2）是不是一個與 n 無關(guān)的常數(shù) . 變式訓(xùn)練 在數(shù)列 ??na ， ??nb 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè) ()nn nba??*N．?dāng)?shù)列 ??nc 是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論 。 (21)n1=(21)n, Sn=31 ???????? ???????? 121 n. （ 2020 陜西 文） 已知數(shù)列 ?}na 滿足， *1121 2 , ,2nnn aaa a a n N????’ ＋ 2＝ ＝. ??? 令 1n n nb a a???，證明： {}nb 是等比數(shù)列； (Ⅱ )求 ?}na 的通項公式。 變式訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項的和 ? ?????? NnnnS n ,422 ， ⑴寫出這個數(shù)列的前三項 321 , aaa ； ⑵證明：數(shù)列 ??na 除去首項后所成的數(shù)列 ?432 , aaa 是等差數(shù)列。 證明數(shù)列｛ lg(1+an)｝是 等比數(shù)列 。 三、 課外練習(xí) 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 22nnnSa??。 分析 ： 條件探索性開放型問題 是指命題中結(jié)論明確而需要 完備使結(jié)論成立的充分條件的題目。 即存在最大整數(shù) ,7?m 使對任意 *Nn? ，均有 .32mTn ? 說明： 本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。 變式訓(xùn)練 （ 2020 上海文 ） 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，且 5 85nnS n a? ? ? ， *nN? 。 （ 2）解由（ 1）知 11 1( ) ,2 nn n nb a a ??? ? ? ? 當(dāng) 2n? 時， 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ?2111 1 ( ) ( )22 n ?? ? ? ? ? ? ? 111 ( )21 11 ( )2n???????2211 [1 ( ) ]32n?? ? ? ? 15 2 1( ) ,3 3 2 n?? ? ? 當(dāng) 1n? 時， 1115 2 1( ) 13 3 2 a?? ? ? ?。 設(shè)存在常數(shù) c，使數(shù)列 {Sn+c}成等比數(shù)列 。 變式訓(xùn)練、 已知 { na }是公比為 q 的等比數(shù)列，且 12 , ?? mmm aaa 成等差數(shù)列 . （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ） 設(shè) 數(shù)列 }{na 的 前 n 項和為 nS ， 試判斷 12 , ?? mmm SSS 是否成等差數(shù)列？說明理由 . 【 思路分析 】 （Ⅰ）依題意，得 2am+2 = am+1 + am， ∴ 2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1 在等比數(shù)列 {an}中， a1≠ 0， q≠ 0， 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 24 ∴ 2q2 = q +1，解得 q = 1 或21?. …………… 4 分 （Ⅱ）若 q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1， Sm + 2 = (m+2) a1 ∵ a1≠ 0，∴ 2Sm+2≠ S m + Sm+1 ……………………………… 6 分 若 q =21?， Sm + 1 = m2m )21(6132)21(1)21(1???????? ? Sm + Sm+1 = )21(1)21(1)21(1)21(1 1mm????????? ?])21()21[(3234 1mm ?????? = m)21(3134 ?? ∴ 2 Sm+2 = S m + Sm+1 ………………………………………………… 11 分 故當(dāng) q = 1 時， Sm , Sm+2 , Sm+1 不成等差數(shù)列； 當(dāng) q =21?時， Sm , Sm+2 , Sm+1 成等差數(shù)列 . …………………………… 12 分 四、課外訓(xùn)練 （ 2020 深圳一模文）設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ， 11?a ，且對任