剛體的動(dòng)量與角動(dòng)量-資料下載頁
2025-05-08 00:09本頁面
【正文】 統(tǒng)這時(shí)的總角動(dòng)量 L1就是全部排出的廢氣的總角動(dòng)量 ， 即為 m r uLL g ＝?1在整個(gè)噴射過程中 ， 系統(tǒng)所受的對(duì)于飛船中心軸的外力矩為零 ， 所以系統(tǒng)對(duì)于此軸的角動(dòng)量守恒 ， 即L0=L1 ， 由此得 m r uJ ＝?即 ruJm ??定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 66 于是所需的時(shí)間為 ssruJmt 3??? ????? ? ??定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 67 例題 513* 一勻質(zhì)細(xì)棒長為 l ， 質(zhì)量為 m， 可繞通過其端點(diǎn) O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 如圖所示 。 當(dāng)棒從水平位置自由釋放后 ， 它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞 。 該物體的質(zhì)量也為 m ， 它與地面的摩擦系數(shù)為 ?。 相撞后物體沿地面滑行一距離 s而停止 。 求相撞后棒的質(zhì)心 C 離地面的最大高度 h， 并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件 。 解： 這個(gè)問題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能 C O 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 68 零點(diǎn)，用 ?表示棒這時(shí)的角速度 ,則 2223121212 ?? ??????? mlJlmg ＝（ 1） 第二階段是 碰撞過程 。 因碰撞時(shí)間極短 ， 自由的沖力極大 ， 物體雖然受到地面的摩擦力 ， 但可以忽略 。 這樣 ， 棒與物體相撞時(shí) ， 它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸 O的外力矩為零 ， 所以 ， 這個(gè)系統(tǒng)的對(duì) O軸的角動(dòng)量守恒 。 我們用 v表示物體碰撞后的速度 ，則 （ 2） ?? ??????????????? 223131 mlm vlml式中 ?? 棒在碰撞后的角速度 ， 它可正可負(fù) 。 ?? 取正值 ， 表示碰后棒向左擺；反之 ， 表示向右擺 。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 69 第三階段是物體在碰撞后的 滑行過程 。 物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng) ， 加速度由牛頓第二定律求得為 mamg ?? ? （ 3） 由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得 asv 20 2 ??gsv ?22 ? （ 4） 亦即 由式 （ 1） 、 （ 2） 與 （ 4） 聯(lián)合求解 ， 即得 lgsgl ?? 233 ???（ 5） 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 70 亦即 l6?s；當(dāng) ?? 取負(fù)值 ， 則棒向右擺 ， 其條件為 0233 ?? gsgl ? 亦即 l 6?s 棒的質(zhì)心 C上升的最大高度 ， 與第一階段情況相似 ， 也可由機(jī)械能守恒定律求得： 223121 ? ???????? mlm g h把式（ 5）代入上式，所求結(jié)果為 slslh ?? 632 ???當(dāng) ? ? 取正值，則棒向左擺，其條件為 0233 ?? gsgl ?(6) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 71 例題 414 工程上 ， 兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng) 。 如圖所示 ， A和 B兩飛輪的軸 桿 在 同 一 中 心 線 上 ， A 輪 的 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量 為JA=10kg?m2， B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 JB=20kg?m2 。 開始時(shí) A輪的轉(zhuǎn)速為 600r/min， B輪靜止 。 C為摩擦嚙合器 。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中 ， 兩輪的機(jī)械能有何變化 ？ ?A ? ? A C B A C B 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 72 解 以飛輪 A、 B和嚙合器 C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。按角動(dòng)量守恒定律可得 ? ???? BABBAA JJJJ ?? ＝?為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 ， 于是 BABBAAJJJJ??? ???以各量的數(shù)值代入得 sr ad /??定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 73 或共同轉(zhuǎn)速為 m i n/200 rn ? 在嚙合過程中 ， 摩擦力矩作功 ， 所以機(jī)械能不守恒 ， 部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量 ， 損失的機(jī)械能為 ? ?JJJJJE BABABA4222212121??????? ???定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 74 例題 415 恒星晚期在一定條件下 ， 會(huì)發(fā)生超新星爆發(fā) ， 這時(shí)星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間 ， 同時(shí)星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮 ， 成為體積很小的中子星 。 中子星是一種異常致密的星體 ， 一湯匙中子星物體就有幾億噸質(zhì)量 ！ 設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每 45天轉(zhuǎn)一周 ，它的內(nèi)核半徑 R0約為 2?107m， 坍縮成半徑 R僅為6?103m的中子星 。 試求中子星的角速度 。 坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球 。 解 在星際空間中 ， 恒星不會(huì)受到顯著的外力矩 ， 因此恒星的角動(dòng)量應(yīng)該守恒 ， 則它的內(nèi)核在坍縮前后的角動(dòng)量 J0?0和 J?應(yīng)相等 。 因 220 52520 mRJmRJ ＝，＝定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 75 代入 J0?0=J?中，整理后得 srsrRR/3/6060241106102451237200???????????????????????＝＝ ?? 由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度 ， 在星體周圍形成極強(qiáng)的磁場(chǎng) ， 并沿著磁軸的方向發(fā)出很強(qiáng)的無線電波 、 光或 X射線 。 當(dāng)這個(gè)輻射束掃過地球時(shí) ， 就能檢測(cè)到脈沖信號(hào) ， 由此 ， 中子星又叫脈沖星 。 目前已探測(cè)到的脈沖星超過 300個(gè) 。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律 2022/6/5 鄭建洲 76 例 1 已知：均勻直桿 (l,M),一端掛在光滑水平軸上，開始時(shí)靜止在豎直位置，有一子彈（ )水平射入而不復(fù)出。求桿與子彈一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度 解： 子彈進(jìn)入到一起運(yùn)動(dòng) 瞬間完成 系統(tǒng)（子彈 +棒） 外力： 重力、軸的作用力 對(duì)軸的力矩為零 角動(dòng)量守恒 動(dòng)量守恒？ 0mlvlmMmv )3/(3 0 ???mlv ?)31( 2Ml???lv ?方向？ 2139。 JJJ ??2231 Mlml ??v
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