【導(dǎo)讀】此講義共寫(xiě)了八章，數(shù)學(xué)一的考生全部要學(xué)，而其它考生只需要其中的一部分。根據(jù)共同需要的內(nèi)容先講的原則，講課內(nèi)容與順序安。自變量在定義域里面取值的時(shí)候，所有的函數(shù)值的全體就稱(chēng)為值域。由于不單值，所以要看作yx?如果改變符號(hào)，寫(xiě)成xy?，那么它們的圖像要變。另外有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M，使Xx?判別方法：在（a，b）內(nèi)，若0)(??xf，則單調(diào)減少。由此可見(jiàn)，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，一般我們把其中最小正周期稱(chēng)為周期。沒(méi)有最小公倍數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)正整數(shù)n，??

　　

【正文】 s ins ins ins inlim 的間斷點(diǎn)，并判別其類(lèi)型。 解： ?kx? ，考慮 ? ? ???????? ? xtxt xxf xt s i ns i nlns i ns i nl i mln（用洛必達(dá)法則） xxxtxttxxt s ins ins ins inc o sc o slim ??? ? ? ? ? xxexf sin? ? ??kx? 于是 ?kx? （ k 整數(shù)）是間斷點(diǎn)， 0?x 是可去間斷點(diǎn)。 ? ?0?? kkx ? 是第二類(lèi)間斷點(diǎn) 三、用介值定理討論方程的根 例 1．證明五次代數(shù)方程 0155 ??? xx 在區(qū)間 ? ?2,1 內(nèi)至少有一個(gè)根。 證：由于函數(shù) ? ? 155 ??? xxxf 是初等函數(shù)，因而它在閉區(qū)間 ]2,1[ 上連續(xù)，而 ? ? 0511511 5 ???????f ? ? 02112522 5 ??????f 由于 ??1f 與 ??2f 異號(hào)，故在 ? ?2,1 中至少有一點(diǎn) 0x ，使 ? ? 00 ?xf 就是說(shuō)，五次代數(shù)方程 0155 ??? xx 在區(qū)間 ? ?2,1 內(nèi)至少有一個(gè)根。 口訣（ 17）：函數(shù)為零要論證，介值定理定乾坤。 例 2．設(shè) ??xf 在 ? ?ba, 上連續(xù)，且 ? ? aaf ? ， ? ? bbf ? ， 證明： ? ? xxf ? 在 ? ?ba, 內(nèi)至少有一個(gè)根。 證： 令 ? ? ? ? xxfxg ?? ，可知 ??xg 在 ? ?ba, 上連續(xù)。 24 ? ? ? ? 0??? aafag ? ? ? ? 0??? bbfbg 由介值定理的推論，可知 ??xg 在 ? ?ba, 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即 ? ? xxf ? 在 ? ?ba, 內(nèi)至少有一個(gè)根。 例 3．設(shè) ??xf 在 ??1,0 上連續(xù)，且 ? ? ??10 ff ? 。求證：在 ??1,0 上至少存在一點(diǎn) ? 使 ? ??? fnf ??????? ? 1（ 2?n 正整數(shù)） 證：令 ? ? ? ?xfnxfxG ??????? ?? 1， ?????? ?? nnx 1,0 則 ? ? ? ?010 fnfG ???????? ???????????????????? nfnfnG 121 ???????????????????? nfnfnG 232 ? ? ? ?????? ????????? ? nnffnnG 111 于是 ? ? ? ? ? ? 001110 ????????? ?????????? ffnnGnGG ? （ i）如果 ? ?1,1,0 ???????? niniG ?有為 0，則已經(jīng)證明 ni???， ? ? 0??G ， ? ??? fnf ??????? ? 1成立。 （ ii）如果 ? ?1,1,0 ???????? niniG ?全不為 0； 則不可能同號(hào)，否則相加后不為 0，矛盾。 所以其中一定有異號(hào)，不妨假設(shè) 10 21 ???? nii ， ??????niG1與 ??????niG2異號(hào)。 根據(jù)介值定理推論存在 ??????? nini 21 ,?使 ? ? 0??G 則 ? ?1,0?? ，使 ? ??? fnf ??????? ? 1成立。 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 167。 導(dǎo)數(shù)與微分 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、導(dǎo)數(shù)與微分概念 1．導(dǎo)數(shù)的定義 25 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量 x 在 0x 處有增量 x? ，相應(yīng)地函數(shù)增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 。如果極限 ? ? ? ?x xfxxfxy xx ? ?????? ???? 0000 l i ml i m 存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù) ??xf 在 0x 處的導(dǎo)數(shù)（也稱(chēng)微商），記作 ? ?0xf? ，或0xxy ?? ，0xxdxdy ? ， ? ?0xxdxxdf ? 等，并稱(chēng)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，則稱(chēng)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)定義的另 一等價(jià)形式，令 xxx ??? 0 ， 0xxx ??? ，則 ? ? ? ? ? ?0000lim xxxfxfxfxx ????? 我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。 右導(dǎo)數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x xfxxfxx xfxfxf xxx ? ???????? ?? ???? 0000 00 l i ml i m 0 左導(dǎo)數(shù)：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x xfxxfxx xfxfxf xxx ? ???????? ?? ???? 0000 00 l i ml i m0 則有 ??xf 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo) ? ?xf? 在點(diǎn) 0x 處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處導(dǎo)數(shù) ? ?0xf? 存在，則在幾何上 ? ?0xf? 表示曲線 ? ?xfy? 在點(diǎn) ? ?? ?00, xfx 處的切線的斜率。 切線方程： ? ? ? ?? ?000 xxxfxfy ???? 法線方程： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?010000 ??????? xfxxxfxfy 口訣（ 18）：切線斜率是導(dǎo)數(shù)，法線斜率負(fù)倒數(shù)。 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)路程 S 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系為 ??tfS? ，如果 ? ?0tf? 存在，則 ? ?0tf? 表示物體在時(shí)刻 0t 時(shí)的瞬時(shí)速度。 3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù) 性之間的關(guān)系 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)，則 ??xf 在點(diǎn) 0x 處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn) 0x處可導(dǎo)。例如， ? ? xxfy ?? ，在 00?x 處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。 4．微分的定義 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處有增量 x? 時(shí)，如果函數(shù)的增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 有下面的表達(dá)式 ? ? ? ?xoxxAy ????? 0 0??x 其中 ? ?0xA 為 x? 為無(wú)關(guān)， ? ?xo? 是 0??x 時(shí)比 x? 高階的無(wú)窮小，則稱(chēng) ??xf 在 0x 處可微，并把 y? 中的主要線性部分 26 ? ? xxA ?0 稱(chēng)為 ??xf 在 0x 處的微分，記以0xxdy ? 或 ? ?0xxxdf ? 。 我們定義自變量的微分 dx 就是 x? 。 5．微分的幾何意義 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 是曲線 ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處相應(yīng)于自變量增量 x? 的縱坐標(biāo) ? ?0xf 的增量，微分0xxdy ? 是曲線? ?xfy? 在點(diǎn) ? ?? ?000 , xfxM 處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量（見(jiàn)圖）。 6．可微與可導(dǎo)的關(guān)系 ??xf 在 0x 處可微 ? ?xf? 在 0x 處可導(dǎo)。 口訣（ 19）：可導(dǎo)可微互等價(jià)；它們都比連續(xù)強(qiáng)。 且 ? ? ? ?dxxfxxAxxdy 000 ????? 一般地， ? ?xfy? 則 ? ?dxxfdy ?? 所以導(dǎo)數(shù) ? ?dxdyxf ??也稱(chēng)為微商，就是微分之商的含義。 7．高階導(dǎo)數(shù)的概念 如果函數(shù) ? ?xfy? 的導(dǎo)數(shù) ? ?xfy ??? 在點(diǎn) 0x 處仍是可導(dǎo)的，則把 ? ?xfy ??? 在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為 ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處的二階導(dǎo)數(shù)，記以0xxy ??? ，或 ? ?0xf? ，或022xxdxyd ?等，也稱(chēng) ??xf 在點(diǎn) 0x 處二階可導(dǎo)。 如果 ? ?xfy? 的 1?n 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱(chēng)為 ? ?xfy? 的 n 階導(dǎo)數(shù)，記以 ??ny ， ? ???xyn ，nndxyd 等，這時(shí)也稱(chēng) ? ?xfy? 是 n階可導(dǎo)。 二、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算 1．導(dǎo)數(shù)與微分表（略） 2．導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則 （ 1）四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式 39。21239。139。21 ][ ffffff ?? 39。321339。213239。139。321 ][ ffffffffffff ??? 27 239。39。39。)(g fggfgf ?? （ 2）反函數(shù)求導(dǎo)公式 設(shè) )(xfy? 的反函數(shù)為 )(ygx? ，則)]([ 1)(1)( 39。39。39。 ygfxfyg ?? （ 3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式 設(shè) )(),( xguufy ?? ，則 )()]([ 39。39。 xgxgfdxdududydxdy ?? （ 4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則 每一次對(duì) x 求導(dǎo)，把 y 看作中間變量，然后解出 39。y 例： 765)23s i n ( ?????? yxyxe yx ，確定 )(xyy? ，求 39。y 解：兩邊每一項(xiàng)對(duì) x 求導(dǎo)，把 y 看作中間變量 065)23)](23[ c o s ()1( 39。39。39。 ???????? yyyxye yx 然后把 39。y 解出來(lái) （ 5）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 取對(duì)數(shù)后，用隱函數(shù)求導(dǎo)法則 )4)(3( )2)(1( ?? ??? xx xxy )]4l n()3l n()2l n()1[l n(21ln ???????? xxxxy 求 導(dǎo)得 )41312111(2139。 ???????? xxxxyy 解出 39。y 0?? xxy x xxey ln? 解出 39。y xxy lnln ? 1ln39。 ?? xyy 解出 39。y （ 6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式 設(shè) ),(),( tytx ?? ?? 則 )0)(39。()(39。)(39。 ??? tttdtdxdtdydxdy ??? （乙）典 型例題 一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù) 例．設(shè) ? ? ? ? ? ?xgaxxf ?? ，其中 ??xg 在 ax? 處連續(xù)，求 ??af? 解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?agax xgaxax afxfaf axax ?? ??????? ?? 0l i ml i m 28 二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性 例 1．設(shè)函數(shù) ? ???? ?? ?? 1, 1,2 xbax xxxf 試確定 a 、 b 的值，使 ??xf 在點(diǎn) 1?x 處可導(dǎo)。 解： ?可導(dǎo)一定連續(xù)， ? ??xf 在 1?x 處也是連續(xù)的。 由 ? ? ? ? 1limlim01 211 ???? ?? ?? xxff xx ? ? ? ? ? ? babaxxffxx ?????? ?? ?? 11 l i ml i m01 要使 ??xf 在點(diǎn) 1?x 處連續(xù)，必須有 1??ba 或 ab ??1 又 ? ? ? ? ? ? ? ? 21l im11l im1 1l im1 1211 ?????????? ??? ???? xxxx fxff xxx ? ? ? ? ? ? ? ? axxax baxx fxff xxx ????? ??????? ??? ???? 1 1l i m1 1l i m1 1l i m1 111 要使 ??xf 在點(diǎn) 1?x 處可導(dǎo)，必須 ? ? ? ?11 ?? ??? ff ，即 a?2 。 故當(dāng) 2?a ， 1211 ?????? ab 時(shí)， ??xf 在點(diǎn) 1?x 處可導(dǎo)。 例 2．設(shè) ? ? ? ?? ? 1lim 112 ? ??????? xnxnn ebaxexxf ，問(wèn) a 和 b 為何值時(shí)， ??xf 可導(dǎo)，且求 ??xf? 解： 1?x? 時(shí)， ? ? ?????? 1lim