【正文】 n 時(shí)， ? ? nnnnn xxxxx ????? 31 20 ? ?nnn xxx ??? 3 ? ? 0323 ?????nnnn xx xx nn xx ?? ?1 ，則 ??nx 單調(diào)增加。 ? ? 112s in12lim 410 ??????????????????? xxeexxx 19 110s i n12l i m4340 ???????????????????? ? xxeeexxxx 1s in12lim410 ???????????????? xxeexxx 七、用導(dǎo)數(shù)定義求極限 例 1．設(shè) ? ? 20 ?? xf ，求 ? ? ? ?x xxfxxfx ? ??????? 23lim 000 解：原式 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?x xfxxfxfxxfx ? ???????? ?? 00000 23l i m ? ? ? ? ? ? ? ?? ?x xfxxfx xfxxf xx ?? ????? ???? ???? 22l i m233l i m3 000000 ? ? ? ?00 23 xxf ???? ? ?05 xf?? 10? 例 2．設(shè)曲線 ? ?xfy? 與 xy sin? 在原點(diǎn)相切，求 ???????? nnfn 2lim 解：由題設(shè)可知 ? ? 00 ?f ， ? ? ? ? 10s in0 ????? xxf 于是? ?02022l i m2l i m????????????????????nfnfnnf nn ? ?02f?? 2? 八、遞推數(shù)列的極限 例 1．設(shè) 30 1 ??x ， ? ?nnn xxx ??? 31 ，證明nn x??lim存在，并求其值。 例 3．設(shè)函數(shù) )(xf 連續(xù)， 0)0( ?f ，求????? xxx dttxfxdttftx000 )()()(lim 17 解：原式?? ???? xx xx duufxdtttfdttfx00 00 )()()(lim （分母作變量替換 utx ?? ） ??????? xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim （用洛必達(dá)法則，分子、分母各求導(dǎo)數(shù)） （用積分中值定理） )()( )(lim )0( 0 xxfxf xfx ?? ?? ? ??（ ? 在 0 和 x 之間） 21)0()0( )0( ??? ff f 2． ??? 型和 0 ?? 型 例 1．求 ???????? ?? 2220 c ossin1lim x xxx 解：原式xx xxxx 22 2220 s in c oss inlim ??? ? 42202sin41limxxxx??? 30 42c o s2s in442limxxxxx??? 30 24sin41limxxxx??? 20 6 4cos1lim x xx ?? ? x xx 12 4sin4lim0?? 34? 例 2．設(shè) 0?a ， 0?b 常數(shù)。 例 2．設(shè) 0?a ， 1?r ，求 ? ?1lim ??? ??? nn arara ? 解： ). ..1)(1(1 12 ???????? nn rrrrr? ? ?rarraarara nnnn ????????? ????? 111l i ml i m 1? 特例 （ 1）求 ? ????????? ??????????????????????? ???nnn 321323232l i m 132 ? 解 ： 例 2 中取32?a，32??r，可知原式 =5232132????????? （ 2） 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 解： 分子、分母用 n3 除之， 原式 = 31322323lim ????????????????? nnn 或分子分母用 13?n 除之，原式 331)32()32(311lim1??????? nnn （注：主要用當(dāng) 1?r 時(shí)， 0lim ??? nn r） 13 例 4． 設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ????? ?nkn lkk11lim 解： 例如 2?l 時(shí)， ? ?)2( 1)1)(1( 1...64 153 142 131 1211 ????????????????? nnnnkknk ?????? ???????????????? )211()1111(...)6141()5131()4121()311(21 nnnn ?????? ?????? 211121121 nn ? ? ?????? ???? 11111 kkllkk? ? ??? ?????? ??????????? nk lnnllkk11111211111 ?? 因此原式 ?????? ???? ll 12111 ? 特列： （ 1） ? ????? ??nkn kk1 111lim ? ?1?l （ 2） ? ????? ??????? ???nkn kk1 432112121lim ? ?2?l 二、用兩個(gè)重要公式 例 1． 求nn xxx 2c os4c os2c oslim ??? 解： 當(dāng) 0?x ，原式 1? 當(dāng) 0?x 時(shí)，原式nnnnnn xxxxx2s i n22c os4c os2c os2s i n2l i m ???? nnnnnn xxxxx2s i n22s i n2c o s4c o s2c o s2l i m 111???????? ?? nnnnnn xxxxxx2s i n2s i nl i m2s i n2s i nl i m ??????? xxsin? 14 例 2．求 xx xx ?????? ???? 11lim 解一： ? ?? ? 211111l i m/1 /1l i m11l i m ???????? ???????? ??????? ???????? ????????? ?? eeexxxxxxxxxxxxxxx 解二： 21221121l i m11l i m ??????? ???????? ?????? ??????? ?????? ?????????? ?? exxx x xxxxx 例 3． ? ? xx x 2cot0 coslim? ? ? xxx x 22s in2c os20 sin1lim ?? ? ? ?? ?? ? ? ?2c oss in120 22s in1lim ???? ??? xxx x21??e 三、用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解： 令nnx n 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ?， 則 nn yx ??0 ，于是12 10 2 ???? nyxx nnn 由夾逼定理可知： 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 例 2．求 ???? ??nkn knnk1 2lim 口訣（ 14） :n 項(xiàng)相加先合并；不行估計(jì)上下界。 9．其它綜合方法 10．求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法 例：已知 3)1sin(lim 221 ????? xbaxxx，求 a 和 b。 7．利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 基本公式： ? ? ? ? ? ?0000l im xfx xfxxfx ??? ????? [如果存在 ] 8．利用定積分定義求極限 基本公式： ? ??? ?????????? 1011lim dxxfnkfnnkn [如果存在 ] 口訣（ 12）：數(shù)列極限逢絕境；轉(zhuǎn)化積分見(jiàn)光明。 常用技巧： )(ln)()()]([ xfxgxg exf ? ，這樣 )(ln)(lim xfxg 是 ?*0 型，可按第二層次來(lái)處理。若 ? ? Axg ?lim ， ? ? Axh ?lim ，則 ? ? Axf ?lim 3．兩個(gè)重要公式 公式 1： 1sinlim0 ?? xxx 公式 2： ennn ??????? ???11lim ； eu uu ??????? ???11lim ； ? ? ev vv ??? 10 1lim 4．用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換 5．用泰勒 公式（比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 當(dāng) 0?x 時(shí)， ? ?nnx xonxxxe ?????? !!21 2 ? 例：求32021lim xxxe xx????用 ? ?332!3!21 xoxxxe x ?????（最后一項(xiàng)比 3x 高階無(wú)窮?。┰?61)(6lim3330 ???? xxoxx，這樣比用洛比達(dá)法則簡(jiǎn)單 ? ? ? ? ? ?121253!121!5!3s i n ?? ??????? nnn xonxxxxx ? ? ? ? ? ? ?nnn xonxxxx 2242!21!4!21c os ??????? ? ? ? ? ? ? ?nnn xonxxxxx ??????? ? 132 1321ln ? ? ? ? ?1212153 12153a rc t a n ??? ???????? nnn xonxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nna xoxn naaaxaaaxx ??????????? ! 11!2 111 2 ?? 6．洛必達(dá)法則 10 專(zhuān)門(mén)來(lái)處理七種比較困難的極限：00；??； ?*0 ； ??? ； ?1 ； 0 ； 0? 第一層次：直接用洛比達(dá)法則可處理00和??兩種 法則 1：（00型）設(shè)（ 1） ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg （ 2） x 變化過(guò)程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） （注：如果 ? ?? ?xg xf??lim不存在且不是無(wú)窮大量情形，則不能得出 ? ?? ?xgxflim不存在且不是無(wú)窮大量