【正文】 象的狀態(tài)方程為 求最優(yōu)控制，使下述性能指標(biāo) 取為極小值。 ???????????????????????????????????????01)0()0(),(10)()(1001)()(212121?????? tutttt??? ?02 10011 ( ) ( ) ( ) ,2TtJ t t t d t Q? ??? ? ? ?????X QX u解 直接寫出里卡德代數(shù)方程，設(shè)其解為 則由式 ()可得 ???????22121211ppppP? ?1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 21 1 1 21 2 2 21 0 1 0 00 1 0 1 11001p p p p p pp p p p p ppppp? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ????? ???????X01?????????????????????100122222222212221221222121211pppppppppp 寫成方程組 從第二個方程中可解得 ，但從第三個方程中解得 兩組解相矛盾 ,說明 方程組不相容，無解。 無解的原因是被控系統(tǒng)不是完全能控的，即因 故導(dǎo)致里卡德代數(shù)方程無解。 ?????????????1202122222222121221211ppppppp2,0 2212 ?? pp2122 ??p? ? 00 211rank rank ????????B A B * 例 設(shè)控制系統(tǒng)如圖 。 假定控制信號為 ，試設(shè)計(jì)最佳反饋增益矩陣 K， 使下列性能指標(biāo) 為極小值，并求最優(yōu)控制 u(t)。 解 先由圖 其次檢驗(yàn)系統(tǒng)的能控性 ? ?201 ,2 1 000T QdtJ ? ?? ????? ???? ?? X Q X u)(tu KX??)(10)( )(10 10)( )(2121 tutttt?????????????????????????????????? ? 01 211ra n k ra n k ?????? ???B A B故系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。 最后由式 ()寫出里卡德代數(shù)方程為 經(jīng)過整理得到下列方程組 解得 于是 ? ? ???????????????????????????????????????????????????????001101010110022121211221212112212121122121211pppppppppppppppp10X????????22012222212112212212ppppppp?? ?????? 3,13,1 112212 ppp???????????????????1311322121211??ppppP 根據(jù)式 ()可得出反饋增益矩陣 K為 故 //////// ? ?1 310 1 1 3 11 3 1T ? ??? ??? ??? ? ? ? ?????????K R B P12121 3 1 ( 3 1 )u??? ? ? ?????? ? ? ? ????? ?? ?? ? ? ? ?KX167。 受約束最優(yōu)控制的極小值原理 一、問題的提法和解決途徑 希望控制向量在下列條件約束下，使性能指標(biāo) 極小。 系統(tǒng)方程的等式約束為 系統(tǒng)的始點(diǎn)時間、狀態(tài)固定，終點(diǎn)狀態(tài)固定，時間不固定。 r個容許控制不等式約束為 容許空間 ? ?0( ) , ( ) , ( ) ,ftff tJ t t t t t d t? ?????? ?XX Φ u? ?tttf ),(),( uXX ??? ? vnrtttg ??? u),(0),(),( uX首先不考慮不等式約束 ，即只考慮控制作用 u不受約束的最優(yōu)控制問題，故可用古典變分法解決。 在此基礎(chǔ)上，再分析實(shí)際情況，即考慮控制作用 受不等式約束 的最優(yōu)控制問題。 實(shí)際上，很多控制系統(tǒng)的控制作用 u(t)都會受到各種限制，最常見的有 u(t)的幅值受到某些環(huán)節(jié)輸出飽和的影響、電源容量的限制等等。 這就意味著 u(t)不能在整個控制向量空間取值，只能在空間中某一有界閉域 中取值。因?yàn)?u(t)的選取不是任意的，所以推導(dǎo)不出 這樣，利用變分法推導(dǎo)出來的控制方程就不存在了。為求得使性能指標(biāo)極小而必須的最優(yōu)控制，就要另尋途徑。而極小值原理對于解決受約束的最優(yōu)控制問題是很有效的，它是由龐德亞 金提出來的。 v? ? 0)(),(),( ??? tttH λu uX 二、極少值原理 現(xiàn)在是要找到一個容許控制 使性能指標(biāo) 取極小值。 極小值原理指出，在上述條件下，使 J達(dá)到極小值的容許控制 ，是存在的，其必要條件為： 定義哈密爾頓函數(shù) 則有： ()tu? ? ? ?dttttJ fttff ???0,),( uΦ XX?? ?ftttvt ,)( 0??u? ? ? ? ? ?tttfttttttttH T ),(),()(),(),(),(),(),( uλuλu XXX ??? 1. 規(guī)范方程 或 上式的含義是，在控制時間 內(nèi)，若 是最佳控制，由它構(gòu)成的哈密爾頓函數(shù) H，是控制作用 在容許空間 中。構(gòu)成所有的哈密爾頓函數(shù) H中的一個最小值。 ? ? ? ?ttttHttttH ),(),(),(),(),(?),(? λuλu XX ?? ? ? ?ttttHttttH vu ),(),(),(m in),(),(?),(? λuλu XX ??? ?fttt ,0?)(? tu)(tu v 同時，還應(yīng)滿足由一次變分 得到的除控制方程以外的其它條件，如下： 2．系統(tǒng)的狀態(tài)方程 3．伴隨方程 4．貫截方程 (為待定常數(shù)乘子） 0?J?? ? λu ???? Htttf ),(),(XX ?X??? Hλ ?at f ?)(λ 上述極小值原理與第二節(jié)變分法推出的最優(yōu)控制 u(t)的必要條件相比，差別只是控制方程不同，此外控制作用 u(t)只能在容許空間 中取值，而不能用 的條件去建立控制方程。 如果規(guī)范方程為 而其它條件一樣，則極小值問題就變?yōu)闃O大值問題，而極小值問題與極大值問題的 性能指標(biāo)關(guān)系為 J ’ ＝一 J。 v0??? XH? ? ? ?ttttHttttH ),(),(),(),(),(?),(? λuλu XX ? 前面已敘述了極小值原理的含義，因其證明過于繁難，故這里從略。但對于極小 (大 )值原理可以粗略地解釋如下 ： 設(shè)上述哈密爾頓函數(shù) H 中的變元 均已選定 ， 則在 區(qū)間內(nèi)只有一個變元 。由前述極值條件知 ， 當(dāng)滿足 的條件時 ， H有一個局部的最小值 ， 如圖 。 0???XH)()( tt λ、X? ?fttt ,0? vtt ?)(),( uu0H? ??u 如果曲線如圖 ，則當(dāng)滿足 條件時， H 并不取最小值?？梢姌O小值原理包括的控制范圍比前面所講的極值條件廣泛得多。因此，在求 H的最小值時，除滿足 0H? ??u? ? ? ?ttttHttttH ),(),(),(),(),(?),(? λuλu XX ?0???XH外，還需滿足另設(shè)的充分條件，即 ① H對 u的二階偏導(dǎo)必須大于零，稱為勒讓德條件； ②在時間 范圍內(nèi)，沒有使 H的二階偏導(dǎo)為不定值的共軛點(diǎn)存在，這就是雅可比條件 。 ? ?fttt ,0?