【正文】 似地服從正態(tài)分布 ? ????? ,2,1iX i??niiX1 在很多問題中 ,所考慮的隨機變量都可表示成若干獨立的隨機變量之和 . 它們往往近似地服從正態(tài)分布 . 在后面將學的數(shù)理統(tǒng)計中 ,我們會看到 ,中心極限定理是大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎。 作為 定理 1 的特殊情況 ，我們給出下面的定理 定理 3 （德莫佛 — 拉普拉斯定理）設隨機 ? ?221l i m ( ) 3( 1 ) 2txnX n pP x e d t xn p p ???????? ???? ? ? ?????? ? 證 X可以看作 n個 相互獨立 ,服從 相同 (01)分布的隨機變量 X1,X2,… ,Xn 之和 : X= X1+X2+… +Xn 其中 ? ? ? ?.10,1 qpXPpXP ii ??????由于 ? ? ? ? ? ?,2,1, nipqXDpXE ii ????????nnXnii???1n p qnpY n ?則定理 1中的 化為 ， 故由定理 1 可得上述結論。 變量 X服從二項分布 B(n,p),則有 定理 3 表明 ,當 n充分大時 , 二項分布 B(n,p)可近似地用正態(tài)分布 N(np, )來代替 . 2{ ( 1 ) }n p p?? ? ( ) ( )b np a npP a X bnpq npq??? ? ? ? ? ?下面舉兩個關于中心極限定理的應用的例子。 因此 , 當 X~B(n, p), 且 n充分大時 , 有 (其中 q=1p) 解 設一袋味精凈重 Xi克 ,一箱味精的凈重為 X 克 ,則 1 2 4 0 024001( 1 ) , , ,( 2 ) ( ) 1 0 0 , ( ) 1 0 0 ,( 3 ) ~ ( 4 0 0 1 0 0 , 4 0 0 1 0 0 )iiiiX X XE X D XX X N???? ? ? ?? ? ??相互獨立同分布近似40014 0 5 0 0 4 0 0 0 0{ 4 0 5 0 0 } 1 ( )400001 ( 2 . 5 ) 1 0 . 9 9 3 7 8 0 . 0 0 6 2 2iiP X X??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??例 1: 用機器包裝味精 ,每袋味精凈重為隨機變量 ,期望值為 100克 ,標準差為 10克 ,一箱內裝有 400袋味精 ,求一箱味精凈重大于 40500克的概率 . 例 2 對敵陣地集中射擊 ,每次集中射擊的命中數(shù)的概率分布相同 ,數(shù)學期望為 2,方差為 1,求集中射擊 100 次有 180顆到 220顆炮彈命中目標的概率 . 1001~ ( 1 0 0 2 , 1 0 0 1 )iiX X N?? ? ?? 近似2( ) 2, ( ) 1iiE X D X??? ? ? ?2 2 0 2 0 0 1 8 0 2 0 0{ 1 8 0 2 2 0 } ( ) ( )1 0 0 1 0 0PX ??? ? ? ? ? ?( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 0 . 9 5 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ?解 : 設 Xi為第 i次集中射擊時的命中數(shù) , X為 100次射擊時總的命中數(shù) ,則 (1) X1,X2, … X100獨立同分布 (2) (3) 例 3 某單位有 240臺電話機 ,每臺電話機約有5%的時間要使用外線通話 ,設各電話機使用外線是相互獨立的 ,問這個單位需要按裝多少條外線才能以 99%以上的概率保證每臺電話機需要外線時不占線。 解 將每臺電話機是否使用外線看作一次獨立試驗 ,240臺電話機是否使用外線看作 240次貝努利試驗 . 設 X為同時使用外線的電話機臺數(shù) , m為需安裝的外線條數(shù) ,則 X~B(240,)， m滿足 { 0 } 0 . 9P X m? ? ?{ 0 } 0 . 9P X m? ? ?查表可得 : 故 ( 1 . 2 8 ) 0 . 8 9 9 7 , ( 1 . 2 9 ) 0 . 9 0 1 5? ? ? ?12 1 . 2 9 1 6 . 31 1 . 4m m? ? ? ?0 2 4 0 0 . 0 5 1 2 1 2{}2 4 0 0 . 0 5 0 . 9 5 1 1 . 4 1 1 . 4XmP ? ? ? ?????1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0 . 91 1 . 4 1 1 . 4 1 1 . 4mm??? ? ? ? ? ? ? ?故取 m = 17 例 4 設電路供電網(wǎng)中有 10000盞燈 ,夜晚每一盞燈開著的概率都是 ，假定各燈開、關是相互獨立的，計算同時開著的燈數(shù)在 6800~7200之間的概率 . ( ) 7 0 0 0 , ( ) 4 5 . 8 3E X n p D X n p q? ? ? ?{ 6 8 0 0 7 2 0 0 }6 8 0 0 7 0 0 0 7 0 0 0 7 2 0 0 7 0 0 0{}4 5 .8 3 4 5 .8 3 4 5 .8 3( 4 .3 6 ) ( 4 .3 6 ) 2 ( 4 .3 6 ) 1 1PXXP??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?~ ( 1 0 0 0 0 , 0 . 7 )XB解 設同時開著的燈數(shù)為 X, 則 作業(yè)： P102— 4， 7 例 設一貨輪在某海區(qū)航行，已知每遭 受一次波浪的沖擊，縱搖角度大于 的概率 為 。若貨輪在航行中遭受了 90000 次波 浪沖擊，問其中有 29500 至 30500 次縱搖角 度大于 的概率是多少？ ?6?631?p 解 可將貨輪每遭受一次波浪沖擊看作是一次試驗，并認為實驗是獨立的。在 90000次波浪沖擊中，縱搖角度大于 6?的次數(shù)記為 X ， ? ?900009000012 , 0 , 1 , 2 , , 9 0 0 0 0 .33kkkP X k C k?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?所求概率為 ? ? .32313050029500 9 0 0 0 03 0 5 0 02 9 5 0 19 0 0 0 0kkkkCXP????????????????? ?顯然，要直接計算是困難的。可以利用德莫 的二項分布，其分布列為 31?p佛 — 拉普拉斯定理來求它的近似值。即有 則 X 為一隨機變量，它服從 ,90000?n? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 9 5 0 0 3 0 5 0 02 9 5 0 0 3 0 5 0 01113 0 5 0 0 2 9 5 0 0.1 1PXnp X np npPnp p np p np pnp npnp p np p????? ? ???? ? ?????????? ????? ? ? ?????? ?????將 代入有 31,9 0 0 0 0 ?? pn? ? 5529 50 0 30 50 0 0. 99 95 .22PX ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?