【導(dǎo)讀】對(duì)球隊(duì)利弊的三個(gè)主要影響因素，并對(duì)其進(jìn)行了定量分析。其次利用偏大型柯西。數(shù)，并計(jì)算了各球隊(duì)的利弊指數(shù)值。從得到的結(jié)果看本次賽程對(duì)火箭隊(duì)而言是比。較有利的，其中最有利的球隊(duì)是凱爾特人隊(duì)，最不利的是快船隊(duì)。隊(duì)盡可能少賽（賽3場(chǎng)）。由此建立0-1規(guī)劃模型，并利用LINDO軟件求解出了。整的、對(duì)各球隊(duì)盡可能公平的賽程是一件非常復(fù)雜的事情。賽程轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的數(shù)字格式，同時(shí)給出評(píng)價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)。支球隊(duì)的主客場(chǎng)數(shù)量相同且同部3個(gè)區(qū)的球隊(duì)間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同。標(biāo)，對(duì)東西聯(lián)盟的30支球隊(duì)進(jìn)行排序。通過(guò)對(duì)賽程安排的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)賽3. 場(chǎng)的4個(gè)球隊(duì)是平均分部在同部不同區(qū)的,根據(jù)對(duì)對(duì)手實(shí)力的分析發(fā)現(xiàn)差異較大,jB表示第j個(gè)球隊(duì)連續(xù)在客場(chǎng)比賽三場(chǎng)或三場(chǎng)以上的次數(shù)。ia表示東南區(qū)第i個(gè)球隊(duì)的勝率。ijy表示選取東南區(qū)球隊(duì)i和中部區(qū)球隊(duì)j比賽的場(chǎng)次。z表示東南區(qū)的每個(gè)球隊(duì)對(duì)大西洋區(qū)和中部區(qū)每個(gè)球隊(duì)賽3場(chǎng)的實(shí)力差之和。

　　

【正文】 球隊(duì)分布，主客場(chǎng)分布，不同賽季分布）原則下，獲得一種均衡性更好、也易于實(shí)現(xiàn)的方法。 初始賽季“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式表的編排方法： 第一步：構(gòu)建某部（東部或西部，兩者對(duì)稱(chēng)，故兩表的結(jié)構(gòu)完全相同）。先將該部的三個(gè)區(qū)排定一個(gè)次序，記為一區(qū)、二區(qū)和三區(qū)，再將各區(qū)的五支球隊(duì)排定一個(gè)次序，記為 1 隊(duì)、 2 隊(duì)、 ? 、 5 隊(duì)，從而構(gòu)建一個(gè)表心為 15 15的 “三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式表結(jié)構(gòu)如表 9： 29 表 9 部 賽季“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式表 一區(qū) 二區(qū) 三區(qū) 1隊(duì) 2隊(duì) 3隊(duì) 4隊(duì) 5隊(duì) 1隊(duì) 2隊(duì) 3隊(duì) 4隊(duì) 5隊(duì) 1隊(duì) 2隊(duì) 3隊(duì) 4隊(duì) 5隊(duì) 一 一區(qū) 1 隊(duì) 2 隊(duì) 3 隊(duì) 4 隊(duì) 5 隊(duì) 二區(qū) 1 隊(duì) 2 隊(duì) 3 隊(duì) 4 隊(duì) 5 隊(duì) 三區(qū) 1 隊(duì) 2 隊(duì) 3 隊(duì) 4 隊(duì) 5 隊(duì) 第二步：填表確定具體安排方案。 由于與各隊(duì)對(duì)陣的“三場(chǎng)隊(duì)”只可能分布在同部的另兩區(qū)，故實(shí)際需要確定數(shù)據(jù)的只有 6個(gè) 5 5的子表格，實(shí)際上只需確定其中一個(gè) 5 5 子表（不妨取定為有陰影的區(qū)域）即可，其余 5個(gè) 5 5子表與之完全同形，為敘述方便，不妨稱(chēng)陰影區(qū)域?yàn)榛A(chǔ)子表。 其中，初始賽季的基礎(chǔ)子表的安排規(guī)則為：一區(qū)一隊(duì)在二區(qū)的“三場(chǎng)隊(duì)”分別定為一隊(duì)和三隊(duì)，且主客場(chǎng)場(chǎng)次分別確定為 2： 1和 1： 2（在相應(yīng)的格子里分別標(biāo)記為 21 和 12）；一區(qū)二隊(duì)在二區(qū)的“三場(chǎng) 隊(duì)”分別定為二隊(duì)和四隊(duì)，且主客場(chǎng)場(chǎng)次仍分別確定為 2： 1 和 1： 2（表內(nèi)標(biāo)記同前），相當(dāng)于將上面一隊(duì)的安排結(jié)果在表中的第二行后移一列，該區(qū)其余各隊(duì)的“三場(chǎng)隊(duì)”均按此法則依次安排確定。并將由此得到的基礎(chǔ)子表復(fù)制到其余 5個(gè)子表處，就得到初始賽季該部 “三場(chǎng)隊(duì)”的完整對(duì)陣形式表為表 10： 隊(duì) 名 場(chǎng) 次 隊(duì) 名 30 表 10 部 賽季“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式表 一區(qū) 二區(qū) 三區(qū) 1隊(duì) 2隊(duì) 3隊(duì) 4隊(duì) 5隊(duì) 1隊(duì) 2隊(duì) 3隊(duì) 4隊(duì) 5隊(duì) 1隊(duì) 2隊(duì) 3隊(duì) 4隊(duì) 5隊(duì) 一 一區(qū) 1 隊(duì) 21 — 12 — — 21 — 12 — — 2 隊(duì) — 21 — 12 — — 21 — 12 — 3 隊(duì) — — 21 — 12 — — 21 — 12 4 隊(duì) 12 — — 21 — 12 — — 21 12 5 隊(duì) — 12 — — 21 — 12 — — 21 二區(qū) 1 隊(duì) 21 — 12 — — 21 — 12 — — 2 隊(duì) — 21 — 12 — — 21 — 12 — 3 隊(duì) — — 21 — 12 — — 21 — 12 4 隊(duì) 12 — — 21 — 12 — — 21 — 5 隊(duì) — 12 — — 21 — 12 — — 21 三區(qū) 1 隊(duì) 21 — 12 — — 21 — 12 — — 2 隊(duì) — 21 — 12 — — 21 — 12 — 3 隊(duì) — — 21 — 12 — — 21 — 12 4 隊(duì) 12 — — 21 — 12 — — 21 — 5 隊(duì) — 12 — — 21 — 12 — — 21 如此安排結(jié)果的特點(diǎn)： （ 1）各隊(duì)對(duì)陣的“三場(chǎng)隊(duì)”在各區(qū)內(nèi)的分布是均衡的：每區(qū)均為 2 個(gè)隊(duì)； （ 2）各隊(duì)總的主、客場(chǎng)場(chǎng)次數(shù)也是均衡的：一個(gè)賽季內(nèi)總的主場(chǎng)數(shù)與客場(chǎng)數(shù)是相等的； （ 3）按照下面設(shè)定的賽季變換規(guī)則進(jìn)行下一賽季“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形勢(shì)的調(diào)整安排，還可保證各隊(duì)的“三場(chǎng)隊(duì)”分布在以賽季為單位間隔的時(shí)間序列上是均衡的：任何一個(gè)隊(duì)的“三場(chǎng)隊(duì)”在任何兩相鄰的賽季都不會(huì)連續(xù)出現(xiàn)； （ 4）便于編排實(shí)現(xiàn)，可用手動(dòng)方式或是用矩陣變換方式均可簡(jiǎn)易實(shí)現(xiàn)不同賽季安排方案的變換，并以五年為最小周期地重復(fù)； 后續(xù)賽季 “三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式表的編 排方法（或稱(chēng)變換規(guī)則）： （ 1）初始賽季某部“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式表的矩陣形式。 將上面初始賽季的基礎(chǔ)子表用下列的 5 5方陣表示為： 隊(duì) 名 場(chǎng) 次 隊(duì) 名 31 12 0 1 0 00 2 0 1 00 0 2 0 11 0 0 2 00 1 0 0 2R??????????? 不妨稱(chēng)此陣為基礎(chǔ)矩陣。其中標(biāo)有數(shù)字“ 2”或“ 1”的元素表示其行、列所在隊(duì)在該賽季對(duì)陣三場(chǎng)，且行所在隊(duì)與列所在隊(duì)的主客場(chǎng)場(chǎng)次數(shù)分別為 2 ： 1或 1 ： 2 ；而標(biāo)有“ 0”的元素則表示其行、列所在隊(duì)在該賽季對(duì)陣四場(chǎng)。則初始賽季某部的“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式總表就可用分塊矩陣表示為 111 1 111O R RS R O RR R O??????? （ 2）下一賽季“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式表用矩陣的初等變換實(shí)現(xiàn)的變換規(guī)則： 設(shè)初始賽季“三場(chǎng)隊(duì)”方案的基礎(chǔ)陣為 1R ，下一季的基礎(chǔ)矩陣為 2R ，則： 21R T R?? （ 1） 其中： 5 5 5 50 1 0 0 00 0 1 0 0( 4 , 5 ) ( 3 , 4 ) ( 2 , 3 ) ( 1 , 2 ) 0 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 0T E E E E????????????稱(chēng)為基礎(chǔ)矩陣的變換矩陣， 5(, )Ei j 為 5 階初等矩陣。即有： 2 1 5 5 5 5 1( 4 , 5 ) ( 3 , 4 ) ( 2 , 3 ) ( 1 , 2 )R T R E E E E R? ? ? =0 2 0 1 00 0 2 0 11 0 0 2 00 1 0 0 22 0 1 0 0?????????? （ 2） 那么，下賽季該部的“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式總表矩陣為： 222 2 222.O R RS R O RR R O??????? 當(dāng)然，上述過(guò)程也可進(jìn)行手工操作實(shí)現(xiàn)： 根據(jù)矩陣的初等變換意義，由（ 2）式知：將 1R 的第一行作為 2R 的第五行， 1R 的第二、三、四、五行作為 2R 第一、二、三、四行，然后總表可由前述的“分塊陣 ”形式構(gòu)成。 32 另外，不難驗(yàn)證，變換矩陣 T 滿足如下運(yùn)算性質(zhì)： 5 5TE? =1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1?????????? 這也從數(shù)學(xué)上證明，這種“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式編排結(jié)果具有五年為最小周期的循環(huán)性質(zhì)。 （ 3）第 n 賽季“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式表用矩陣的初等變換實(shí)現(xiàn)的變換規(guī)則： 設(shè)第 n 賽季的基礎(chǔ)矩陣為 nR ，則： 11 ( 5 )nknR T R T R k n? ? ? ? 其 中 為 除 以 的 整 除 余 數(shù) （ 3） 那么，第 n 賽季該部的“三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式總表矩陣為： .nnn n nnnO R RS R O RR R O??????? ： 優(yōu)點(diǎn) ： 我們通過(guò)一系列的數(shù)據(jù)分析，最后得到一個(gè)較合理的結(jié)果，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)信息，我們的結(jié)論具有一定的合理性與應(yīng)用價(jià)值； 本文中進(jìn)行了大量的數(shù)據(jù)處理與分析，其中所有的數(shù)據(jù)來(lái)源真實(shí)有效，所以本模型具有一定的參考價(jià)值； 我們給出的 “三場(chǎng)隊(duì)”對(duì)陣形式的安排方法得到的結(jié)果，比 NBA 的實(shí)際編排結(jié)果均衡性更好、也易于實(shí)現(xiàn)。 缺點(diǎn) ： 我們的問(wèn)卷調(diào)查僅在 60人中間展開(kāi)，所以不具有很強(qiáng)的說(shuō)服力； 通過(guò)對(duì)賽程安排表的分析，以及對(duì) 07—— 08 賽果的考察發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同部部不同區(qū)之間的 16 場(chǎng)比賽，對(duì)于各球隊(duì)的最終賽果將有一定的影響，而本文的模型建立中并未將其作為一個(gè)考慮因素，故而不能用其對(duì)我們的結(jié)果進(jìn)行很好的證明。 33 [1].姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社， 2020 [2].趙東方，數(shù)學(xué)模型與計(jì)算，武漢：科學(xué)出版社， 2020 [3].Duane Hanselman Bruce Littlefield,朱仁峰譯，精通 MATLAB 7，北京：清華大學(xué)出版社， 2020 [4].薛定宇 張陽(yáng)泉，高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的 MATLAB 求解，北京：清華大學(xué)出版社， 2020 [5].袁新生 邵大宏 郁時(shí)煉， LINGO 和 EXCEL 在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用 [6].NBA 中國(guó)官方網(wǎng)站 [7].NBA 數(shù)據(jù)庫(kù) . [8].NBA0405 賽季熱火賽程 34 2020 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 D 題解題思路簡(jiǎn)介 2020 年 D 題 : NBA 賽程的分析與評(píng)價(jià) NBA 是全世界籃球迷們最鐘愛(ài)的賽事之一，姚易加盟以后更是讓中國(guó)球迷寵愛(ài)有加。 NBA 共有 30 支球隊(duì)，西部聯(lián)盟、東部聯(lián)盟各15 支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋 3 個(gè)區(qū)，東部分東南、中部和大西洋 3 個(gè)區(qū)，每區(qū) 5 支球隊(duì)。對(duì)于 2020~2020新賽季，常規(guī)賽階段從 2020 年 10 月 29 日 （ 北京時(shí)間 ）直到 2020 年4 月 16 日 ，在這 5 個(gè)多月中共有 1230 場(chǎng)賽事，每支球隊(duì)要進(jìn)行 82場(chǎng) 比賽，附件 1 是 30 支球隊(duì) 2020~2020 賽季常規(guī)賽的賽程表，附件2 是分部、分區(qū)和排名情況（排名是 2020~2020 賽季常規(guī)賽的結(jié)果） 。 對(duì)于 NBA 這樣龐大的賽事，編制一個(gè)完整的、對(duì)各球隊(duì)盡可能公平的賽程是一件非常復(fù)雜的事情，賽程的安排對(duì)球隊(duì)實(shí)力的發(fā)揮和戰(zhàn)績(jī)有一定的影響，從報(bào)刊上經(jīng)?？吹角騿T、教練和媒體對(duì)賽程的抱怨或評(píng)論。 這個(gè)題目主要是要求用數(shù)學(xué)建模方法對(duì)已有的賽程進(jìn)行定量的分析與評(píng)價(jià)： 1）為了分析賽程對(duì)某一支球隊(duì)的利弊， 你認(rèn)為有哪些要考慮的因素， 根據(jù)這些因素將賽程 轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的數(shù)字格式，并給出 評(píng)價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)。 2）按照 1）的結(jié)果計(jì)算、分析賽程對(duì)姚明加盟的火箭隊(duì)的利弊，并找出賽程對(duì) 30 支球隊(duì)最有利和最不利的球隊(duì)。 3）分析賽程可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊(duì)與同區(qū)的每一球隊(duì)賽 4 場(chǎng)（主客各 2 場(chǎng)），與不同部的每一球隊(duì)賽 2 場(chǎng)（主客各 1 場(chǎng)），與同部不同 35 區(qū)的每一球隊(duì)有賽 4 場(chǎng)和賽 3場(chǎng)（ 2主 1 客或 2客 1 主）兩種情況，每支球隊(duì)的主客場(chǎng)數(shù)量相同且同部 3個(gè)區(qū)的球隊(duì)間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同部不同區(qū)球隊(duì)比賽中，選取賽 3 場(chǎng)的球隊(duì)的方法。這種方法如何實(shí)現(xiàn)，對(duì)該方法給予評(píng)價(jià)，也可以給出你認(rèn)為合適的方法 。 一 .先談?wù)勗u(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的 劃分和理由 1. 摘要、格式及整體 (15 分 )。 2. 第一問(wèn) (40 分 )：這是問(wèn)題關(guān)鍵 (1) 因素的列舉 (15 分 )；要說(shuō)出理由，即為什么這些因素對(duì)比賽的勝負(fù)起作用，有多大的作用？ (2) 因素的量化 (10 分 )：要用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各因素的量值。 (3) 因素綜合評(píng)價(jià) (15)分。 3. 第二問(wèn) (10 分 )。 4. 第三問(wèn) (35 分 )： (1) 均衡性 (15 分 )； (2) 具體均衡方案 (20 分 )。 二 . 打分范圍 (一 ) 一 等獎(jiǎng) 80 分以上； (二 ) 二等獎(jiǎng) 60 分 — 80 分 。 (三 ) 淘汰的 60 分 以下。 三 . 閱卷中出現(xiàn)較大的一些問(wèn)題 1. 題意理解不清： 36 (1) 過(guò)分強(qiáng)調(diào)賽程安排對(duì)一個(gè)球隊(duì)在比賽中勝負(fù)的作用。決定球隊(duì)比賽勝負(fù)的主要因素是球隊(duì)球員的水平、團(tuán)體合作配合的好壞、教練的指揮等，賽程安排只是起輔助作用。 (2) 有極少數(shù)隊(duì)答非所問(wèn) (3) 有少數(shù)隊(duì)對(duì)題意理解不全面 ,看成是對(duì)賽程安排好壞的評(píng)估。 (4) 把 2020年的這道題和 2020年的 D題 賽程的安排等同起來(lái)。 2. 所用數(shù)學(xué)方法不當(dāng)： 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題雖然可以用多種數(shù)學(xué)方法求解，但不是任何問(wèn)題都可以用任何數(shù)學(xué)方法去求解。在本題中有以下兩種情 況似乎不妥： (1)