【正文】 ytytytyt(5)、 (6)式矛盾，系統(tǒng)不具有可加性 假設有兩個輸入信號 分別激勵系統(tǒng)，則由所給微分方程式分別有： )()( 21 tftf 及當 同時作用于系統(tǒng)時，若該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，應有 )()( 21 tftf ?(3)+(4)得 第 92 頁 ■ 因果系統(tǒng)判斷舉例 如下列系統(tǒng)均為 因果系統(tǒng)： ? ??? tzs xxfty d)()(yzs(t) = 3f(t – 1) 而下列系統(tǒng)為 非因果系統(tǒng) ： (1) yzs(t) = 2f(t + 1) (2) yzs(t) = f(2t) 因為，令 t=1時，有 yzs(1) = 2f(2) 因為，若 f(t) = 0， t t0 ，有 yzs(t) = f(2t)=0, t t0 。 第 93 頁 ■ 綜合舉例 例 某 LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為 x(0–)。已知，當x(0–) =1，輸入因果信號 f1(t)時，全響應 y1(t) = e –t + cos(πt)， t0； 當 x(0) =2，輸入信號 f2(t)=3f1(t)時，全響應 y2(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0； 求輸入 f3(t) = +2f1(t1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y3f(t) 。 ttfd)(d 1解 設當 x(0–) =1，輸入因果信號 f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為 y1zi(t)、 y1zs(t)。當 x(0) =2，輸入信號 f2(t)=3f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為 y2zi(t)、 y2zs(t)。 第 94 頁 ■ ▲ 由題中條件，有 y1(t) =y1zi(t) + y1zs(t) = e –t + cos(πt)， t0 （ 1） y2(t) = y2zi(t) + y2zs(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 2） 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性， y2zi(t) = 2y1zi(t)， y2zs(t) =3y1zs(t)，代入式（ 2）得 y2(t) = 2y1zi(t) +3 y1zs(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 3） 式 (3)– 2 式 (1)，得 y1zs(t) = –4et + cos(πt)， t0 由于 y1zs(t) 是因果系統(tǒng)對因果輸入信號 f1(t)的零狀態(tài)響應，故當 t0， y1zs(t)=0；因此 y1zs(t)可改寫成 y1zs(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) (4) 第 95 頁 ■ ▲ f1(t) →y 1zs(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的微分特性 ttyttf zsd)(dd)(d 11 ? = –3δ(t) + [4et –πsin(πt)]ε(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的時不變特性 f1(t–1) →y 1zs(t – 1) ={ –4e –(t–1) + cos[π(t–1)]}ε(t–1) 由線性性質(zhì)，得：當輸入 f3(t) = +2f1(t–1)， ttfd)(d 1y3zs(t) = + 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4e –t–πsin(πt)]ε(t) + 2{–4e –(t–1) + cos[π(t–1)]}ε(t–1) ttyd)(d 1第 96 頁 ■ ? 系統(tǒng)的 數(shù)學模型 ： 系統(tǒng)物理特性的數(shù)學抽象。 ? 系統(tǒng)的 框圖描述 ： 形象地表示其功能。 ? 系統(tǒng)分析方法概述 167。 系統(tǒng)的描述和分析方法 第 97 頁 ■ ▲ 一、 系統(tǒng)的數(shù)學模型 ? 連續(xù)系統(tǒng)解析描述 ： 微分方程 ? 離散系統(tǒng)解析描述 ： 差分方程 第 98 頁 ■ ▲ 1. 連續(xù)系統(tǒng)的解析描述 圖示 RLC電路，以 uS(t)作激勵，以 uC(t)作為響應，由 KVL和 VAR列方程，并整理得 u S ( t ) u C ( t )L RC?????????? )(039。)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，二階常系數(shù)線性微分方程。 )()(d )(dd )(d 01222 tftyattyattya ???抽去具有的物理含義，微分方程寫成 這個方程也可以描述下面的一個二階機械減振系統(tǒng)。 第 99 頁 ■ ▲ 機械減振系統(tǒng) MxCkf ( t )其中， k為彈簧常數(shù)， M為物體質(zhì)量， C為減振液體的阻尼系數(shù)， x為物體偏離其平衡位置的位移， f(t)為初始外力。其運動方程為 )()(d )(dd )(d 22tftkxt txCt txM ??? 能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。 第 100 頁 ■ ▲ 2. 離散系統(tǒng)的解析描述 例： 某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為 β元 /元，求第 k個月初存折上的款數(shù)。 設第 k個月初的款數(shù)為 y(k),這個月初的存款為 f(k),上個月初的款數(shù)為 y(k1)，利息為 βy(k1),則 y(k)= y(k1)+ βy(k1)+f(k) 即 y(k)(1+β)y(k1) = f(k) 若設開始存款月為 k=0，則有 y(0)= f(0)。 上述方程就稱為 y(k)與 f(k)之間所滿足的差分方程。所謂 差分方程 是指由未知輸出序列項與輸入序列項構(gòu)成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為 差分方程的階數(shù) 。上述為 一階差分方程 。 由 n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為 n階系統(tǒng)。 第 101 頁 ■ ▲ 描述 LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程 例： 下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時不變？ 并寫出方程的階數(shù)。 （ 1） y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k) （ 2） y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k) （ 3） y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1 解： 判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關系項，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時不變的。 線性、時變，一階 非線性、時不變，二階 非線性、時變，一階 第 102 頁 ■ ▲ 二 ．系統(tǒng)的框圖描述 ? 連續(xù)系統(tǒng)的基本單元 ? 離散系統(tǒng)的基本單元 ? 系統(tǒng)模擬 上述方程從 數(shù)學角度 來說代表了某些運算關系： 相乘、微分（差分）、相加運算 。將這些基本運算用一些 基本單元 符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關系，這樣畫出的圖稱為 模擬框圖 ，簡稱框圖 。 第 103 頁 ■ ▲ 1. 連續(xù)系統(tǒng)的基本單元 f 1 ( t )∑f 2 ( t )f 1 ( t ) f 2 ( t )f ( t )∫? ?? t xxf d)(af ( t )或aa f ( t ) ? ?tf ? ?Ttf ?T? ?tf 1? ?tf 2? ? ? ?tftf 21? 延時器 ? 加法器 ? 積分器 ? 數(shù)乘器 ? 乘法器 第 104 頁 ■ ▲ 2. 離散系統(tǒng)的基本單元 f 1 ( k )∑f 2 ( k )f 1 ( k ) f 2 ( k )af ( k )或aa f ( k )? 加法器 ? 遲延單元 ? 數(shù)乘器 f ( k )Df ( k 1 )第 105 頁 ■ ▲ 3. 系統(tǒng)模擬 實際系統(tǒng) → 方程 → 模擬框圖 → 實驗室實現(xiàn)（模擬系統(tǒng)） → 指導實際系統(tǒng)設計 例 1 例 2 例 3 例 4 方程 ←→ 框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。 第 106 頁 ■ ▲ 三 . LTI系統(tǒng)分析概述 系統(tǒng)分析研究的 主要問題 ：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵的響應。 具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學方程并求出解答。 系統(tǒng)的 分析方法 ： 輸入輸出法（外部法） 狀態(tài)變量法 （內(nèi)部法）（ ) 外部法 時域分析（ ,) 變換域法 連續(xù)系統(tǒng) —頻域法 (4)和 復頻域法 (5) 離散系統(tǒng) —頻域法 (4)和 z域法 (6) 系統(tǒng)特性 ： 系統(tǒng)函數(shù) （ ) 第 107 頁 ■ ▲ 求解的基本思路： ? 把 零輸入響應 和 零狀態(tài)響應 分開求。 ? 把復雜信號分解為眾多基本信號之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性： 多個基本信號作用于線性系統(tǒng)所引起的響應等于各個基本信號所引起的響應之和。 采用的數(shù)學工具： ? 時 域 ： 卷積積分與卷積和 ? 頻 域 ： 傅里葉變換 ? 復頻域 ：拉普拉斯變換與 Z變換 第 108 頁 ■ 例 3由框圖寫微分方程 例 3： 已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。 y ( t )∑ ∑∫ ∫ 3423f ( t )設輔助變量 x(t)如圖 x(t) x’(t) x”(t) x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即 x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) 根據(jù)前面，逆過程，得 y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t) 第 109 頁 ■ 例 4由框圖寫差分方程 例 4： 已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。 y ( k )∑ ∑D D 5423f ( k )解： 設輔助變量 x(k)如圖 x(k) x(k1) x(k2) 即 x(k) +2x(k1) +3x(k2) = f(k) y(k) = 4x(k1) + 5x(k2) 消去 x(k) ，得 y(k) +2y(k1) +3y(k2) = 4f(k1) + 5f(k2) x(k)= f(k) – 2x(k1) – 3x(k2) 第 110 頁 ■ 由微分方程畫框圖例 1 例 1： 已知 y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。 解： 將方程寫為 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t) ∫ ∫y ( t ) y 39。 ( t ) y ( t )∑abf(t)第 111 頁 ■ 由微分方程畫框圖例 2 例 2 請畫出如下微分方程所代表的系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。 )(d )(d)(2d )(d3d )(d 22tft tftyt tyt ty ????)(d )(d)(2d )(d3d )(d 22tft tftyt tyt ty ?????解： ttfttfttyttyty d)(d)(d)(2d)(3)( ?????? ?????)( ty???32)(tf ? ?第 112 頁 ■ ▲ 解法二 解 2： 該方程含 f(t)的導數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。 設輔助函數(shù) x(t)滿足 x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導出 y(t) = x’(t) + x(t)， 它滿足原方程。 ∫ ∫x ( t ) x 39。 ( t ) x ( t )∑32f(t)∑y ( t