【正文】 ytytytyt(5)、 (6)式矛盾，系統(tǒng)不具有可加性 假設(shè)有兩個(gè)輸入信號(hào) 分別激勵(lì)系統(tǒng)，則由所給微分方程式分別有： )()( 21 tftf 及當(dāng) 同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，若該系統(tǒng)為線(xiàn)性系統(tǒng)，應(yīng)有 )()( 21 tftf ?(3)+(4)得 第 92 頁(yè) ■ 因果系統(tǒng)判斷舉例 如下列系統(tǒng)均為 因果系統(tǒng)： ? ??? tzs xxfty d)()(yzs(t) = 3f(t – 1) 而下列系統(tǒng)為 非因果系統(tǒng) ： (1) yzs(t) = 2f(t + 1) (2) yzs(t) = f(2t) 因?yàn)?，?t=1時(shí)，有 yzs(1) = 2f(2) 因?yàn)?，?f(t) = 0， t t0 ，有 yzs(t) = f(2t)=0, t t0 。 第 93 頁(yè) ■ 綜合舉例 例 某 LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為 x(0–)。已知，當(dāng)x(0–) =1，輸入因果信號(hào) f1(t)時(shí)，全響應(yīng) y1(t) = e –t + cos(πt)， t0； 當(dāng) x(0) =2，輸入信號(hào) f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng) y2(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0； 求輸入 f3(t) = +2f1(t1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3f(t) 。 ttfd)(d 1解 設(shè)當(dāng) x(0–) =1，輸入因果信號(hào) f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為 y1zi(t)、 y1zs(t)。當(dāng) x(0) =2，輸入信號(hào) f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為 y2zi(t)、 y2zs(t)。 第 94 頁(yè) ■ ▲ 由題中條件，有 y1(t) =y1zi(t) + y1zs(t) = e –t + cos(πt)， t0 （ 1） y2(t) = y2zi(t) + y2zs(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 2） 根據(jù)線(xiàn)性系統(tǒng)的齊次性， y2zi(t) = 2y1zi(t)， y2zs(t) =3y1zs(t)，代入式（ 2）得 y2(t) = 2y1zi(t) +3 y1zs(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 3） 式 (3)– 2 式 (1)，得 y1zs(t) = –4et + cos(πt)， t0 由于 y1zs(t) 是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào) f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng) t0， y1zs(t)=0；因此 y1zs(t)可改寫(xiě)成 y1zs(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) (4) 第 95 頁(yè) ■ ▲ f1(t) →y 1zs(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的微分特性 ttyttf zsd)(dd)(d 11 ? = –3δ(t) + [4et –πsin(πt)]ε(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性 f1(t–1) →y 1zs(t – 1) ={ –4e –(t–1) + cos[π(t–1)]}ε(t–1) 由線(xiàn)性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入 f3(t) = +2f1(t–1)， ttfd)(d 1y3zs(t) = + 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4e –t–πsin(πt)]ε(t) + 2{–4e –(t–1) + cos[π(t–1)]}ε(t–1) ttyd)(d 1第 96 頁(yè) ■ ? 系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型 ： 系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。 ? 系統(tǒng)的 框圖描述 ： 形象地表示其功能。 ? 系統(tǒng)分析方法概述 167。 系統(tǒng)的描述和分析方法 第 97 頁(yè) ■ ▲ 一、 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ? 連續(xù)系統(tǒng)解析描述 ： 微分方程 ? 離散系統(tǒng)解析描述 ： 差分方程 第 98 頁(yè) ■ ▲ 1. 連續(xù)系統(tǒng)的解析描述 圖示 RLC電路，以 uS(t)作激勵(lì)，以 uC(t)作為響應(yīng)，由 KVL和 VAR列方程，并整理得 u S ( t ) u C ( t )L RC?????????? )(039。)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程。 )()(d )(dd )(d 01222 tftyattyattya ???抽去具有的物理含義，微分方程寫(xiě)成 這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng)。 第 99 頁(yè) ■ ▲ 機(jī)械減振系統(tǒng) MxCkf ( t )其中， k為彈簧常數(shù)， M為物體質(zhì)量， C為減振液體的阻尼系數(shù)， x為物體偏離其平衡位置的位移， f(t)為初始外力。其運(yùn)動(dòng)方程為 )()(d )(dd )(d 22tftkxt txCt txM ??? 能用相同方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)相似系統(tǒng)。 第 100 頁(yè) ■ ▲ 2. 離散系統(tǒng)的解析描述 例： 某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為 β元 /元，求第 k個(gè)月初存折上的款數(shù)。 設(shè)第 k個(gè)月初的款數(shù)為 y(k),這個(gè)月初的存款為 f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為 y(k1)，利息為 βy(k1),則 y(k)= y(k1)+ βy(k1)+f(k) 即 y(k)(1+β)y(k1) = f(k) 若設(shè)開(kāi)始存款月為 k=0，則有 y(0)= f(0)。 上述方程就稱(chēng)為 y(k)與 f(k)之間所滿(mǎn)足的差分方程。所謂 差分方程 是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱(chēng)為 差分方程的階數(shù) 。上述為 一階差分方程 。 由 n階差分方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)為 n階系統(tǒng)。 第 101 頁(yè) ■ ▲ 描述 LTI系統(tǒng)的是線(xiàn)性常系數(shù)差分方程 例： 下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線(xiàn)性？是否時(shí)不變？ 并寫(xiě)出方程的階數(shù)。 （ 1） y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k) （ 2） y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k) （ 3） y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1 解： 判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng)，則是線(xiàn)性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無(wú)反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時(shí)不變的。 線(xiàn)性、時(shí)變，一階 非線(xiàn)性、時(shí)不變，二階 非線(xiàn)性、時(shí)變，一階 第 102 頁(yè) ■ ▲ 二 ．系統(tǒng)的框圖描述 ? 連續(xù)系統(tǒng)的基本單元 ? 離散系統(tǒng)的基本單元 ? 系統(tǒng)模擬 上述方程從 數(shù)學(xué)角度 來(lái)說(shuō)代表了某些運(yùn)算關(guān)系： 相乘、微分（差分）、相加運(yùn)算 。將這些基本運(yùn)算用一些 基本單元 符號(hào)表示出來(lái)并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫(huà)出的圖稱(chēng)為 模擬框圖 ，簡(jiǎn)稱(chēng)框圖 。 第 103 頁(yè) ■ ▲ 1. 連續(xù)系統(tǒng)的基本單元 f 1 ( t )∑f 2 ( t )f 1 ( t ) f 2 ( t )f ( t )∫? ?? t xxf d)(af ( t )或aa f ( t ) ? ?tf ? ?Ttf ?T? ?tf 1? ?tf 2? ? ? ?tftf 21? 延時(shí)器 ? 加法器 ? 積分器 ? 數(shù)乘器 ? 乘法器 第 104 頁(yè) ■ ▲ 2. 離散系統(tǒng)的基本單元 f 1 ( k )∑f 2 ( k )f 1 ( k ) f 2 ( k )af ( k )或aa f ( k )? 加法器 ? 遲延單元 ? 數(shù)乘器 f ( k )Df ( k 1 )第 105 頁(yè) ■ ▲ 3. 系統(tǒng)模擬 實(shí)際系統(tǒng) → 方程 → 模擬框圖 → 實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)） → 指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì) 例 1 例 2 例 3 例 4 方程 ←→ 框圖用變換域方法和梅森公式簡(jiǎn)單，后面討論。 第 106 頁(yè) ■ ▲ 三 . LTI系統(tǒng)分析概述 系統(tǒng)分析研究的 主要問(wèn)題 ：對(duì)給定的具體系統(tǒng)，求出它對(duì)給定激勵(lì)的響應(yīng)。 具體地說(shuō)：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。 系統(tǒng)的 分析方法 ： 輸入輸出法（外部法） 狀態(tài)變量法 （內(nèi)部法）（ ) 外部法 時(shí)域分析（ ,) 變換域法 連續(xù)系統(tǒng) —頻域法 (4)和 復(fù)頻域法 (5) 離散系統(tǒng) —頻域法 (4)和 z域法 (6) 系統(tǒng)特性 ： 系統(tǒng)函數(shù) （ ) 第 107 頁(yè) ■ ▲ 求解的基本思路： ? 把 零輸入響應(yīng) 和 零狀態(tài)響應(yīng) 分開(kāi)求。 ? 把復(fù)雜信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)之和，根據(jù)線(xiàn)性系統(tǒng)的可加性： 多個(gè)基本信號(hào)作用于線(xiàn)性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號(hào)所引起的響應(yīng)之和。 采用的數(shù)學(xué)工具： ? 時(shí) 域 ： 卷積積分與卷積和 ? 頻 域 ： 傅里葉變換 ? 復(fù)頻域 ：拉普拉斯變換與 Z變換 第 108 頁(yè) ■ 例 3由框圖寫(xiě)微分方程 例 3： 已知框圖，寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程。 y ( t )∑ ∑∫ ∫ 3423f ( t )設(shè)輔助變量 x(t)如圖 x(t) x’(t) x”(t) x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即 x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) 根據(jù)前面，逆過(guò)程，得 y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t) 第 109 頁(yè) ■ 例 4由框圖寫(xiě)差分方程 例 4： 已知框圖，寫(xiě)出系統(tǒng)的差分方程。 y ( k )∑ ∑D D 5423f ( k )解： 設(shè)輔助變量 x(k)如圖 x(k) x(k1) x(k2) 即 x(k) +2x(k1) +3x(k2) = f(k) y(k) = 4x(k1) + 5x(k2) 消去 x(k) ，得 y(k) +2y(k1) +3y(k2) = 4f(k1) + 5f(k2) x(k)= f(k) – 2x(k1) – 3x(k2) 第 110 頁(yè) ■ 由微分方程畫(huà)框圖例 1 例 1： 已知 y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，畫(huà)框圖。 解： 將方程寫(xiě)為 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t) ∫ ∫y ( t ) y 39。 ( t ) y ( t )∑abf(t)第 111 頁(yè) ■ 由微分方程畫(huà)框圖例 2 例 2 請(qǐng)畫(huà)出如下微分方程所代表的系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。 )(d )(d)(2d )(d3d )(d 22tft tftyt tyt ty ????)(d )(d)(2d )(d3d )(d 22tft tftyt tyt ty ?????解： ttfttfttyttyty d)(d)(d)(2d)(3)( ?????? ?????)( ty???32)(tf ? ?第 112 頁(yè) ■ ▲ 解法二 解 2： 該方程含 f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫(huà)出框圖。 設(shè)輔助函數(shù) x(t)滿(mǎn)足 x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導(dǎo)出 y(t) = x’(t) + x(t)， 它滿(mǎn)足原方程。 ∫ ∫x ( t ) x 39。 ( t ) x ( t )∑32f(t)∑y ( t