【導(dǎo)讀】歷年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模賽題

　　

【正文】 并且對(duì)于給定的競(jìng)賽路線已經(jīng)向你的參賽隊(duì)索取有助于確定宜用哪種車輪的信息。 這位教練需要明確的信息來(lái)幫助作出決定，而且已經(jīng)要求你的參賽隊(duì)完成下面列出的各項(xiàng)任務(wù)。對(duì)于每項(xiàng)任務(wù)都假定，同樣的輻條車輪將總是裝在前面，而裝在后面的車輪是可以選擇的。 任務(wù) 1. 提供一個(gè)給出風(fēng)速的表格， 在這種速度下實(shí)體后輪所需要的體能少于輻條后輪。這個(gè)表格應(yīng)當(dāng)包括相應(yīng)于從百分之零到百分之十增量為百分之一的不同公路陡度的風(fēng)速。（公路陡度定義為一座山丘的總升高除以公路長(zhǎng)度。如果把山丘看作一個(gè)三角形，它的陡度是指山腳處傾角的正弦。）一位騎手以初始速度 45kph 從山腳出發(fā)，他的減速度與公路陡度成正比。對(duì)于百分之五的陡度，騎上 100 米車速要下降 8kph 左右。 任務(wù) 2. 提供一個(gè)例證，說(shuō)明這個(gè)表格怎樣用于一條時(shí)間試驗(yàn)路線。 任務(wù) 3. 請(qǐng)判明這個(gè)表格是不是一件決定車輪配置的適當(dāng)工具，并且關(guān)于如何作出這個(gè)決定提出其他 建議。 MCM2020 問(wèn)題 B 逃避颶風(fēng)怒吼（一場(chǎng)惡風(fēng)?） 1999 年，在 Floyd 颶風(fēng)預(yù)報(bào)登陸之前，撤離南卡羅來(lái)納州沿海地區(qū)的行動(dòng)導(dǎo)致一場(chǎng)永垂青史的交通擁塞。車水馬龍停滯在州際公路 I26 上，那是內(nèi)陸上從 Charleston 通往該州中心 Columbia 相對(duì)安全處所的主要干線。正常時(shí)輕松的兩個(gè)小時(shí)驅(qū)車路要用上 18 個(gè)小時(shí)才能開(kāi)到頭。許多車竟然沿途把汽油消耗凈盡。幸運(yùn)的是， Floyd 颶風(fēng)掉頭長(zhǎng)驅(qū)北上，這次放過(guò)了南卡羅來(lái)納州，但是，公眾的喧嚷正在迫使該州官員們尋找各種辦法，以求避免這場(chǎng)交通惡夢(mèng)再度出現(xiàn)。 傾 力解決這個(gè)問(wèn)題的主要提議是 I26 公路上的車輛轉(zhuǎn)向疏散，因此，包括通往海岸的多條次級(jí)公路在內(nèi)，從兩個(gè)側(cè)面疏導(dǎo)車流在內(nèi)陸從 Charleston 開(kāi)往 Columbia 。 把提議付諸實(shí)施的計(jì)劃已經(jīng)由 South Carolina Emergency Preparedness Division 準(zhǔn)備好（而且貼在互聯(lián)網(wǎng)上）。從 Myrtle Beach 和 Hilton Head 通往內(nèi)地的主干道上車輛轉(zhuǎn)向疏散的方案也在規(guī)劃中。 這里有一張南卡羅來(lái)納州的簡(jiǎn)化地圖。 Charleston 有近 500,000 人， Myrtle Beach 有200,000 人左右，而另一個(gè) 250,000 人分散在沿岸其余地區(qū)。（如果查找，更精確的數(shù)據(jù)隨處可用。 州與州之間有兩條車輛往來(lái)的次級(jí)公路，自然大都市地區(qū)除外，那里有三條。 Columbia，又一個(gè) 500,000 人左右的大都市地區(qū)，沒(méi)有充足的旅店空間為撤退者提供食宿（包括沿其他路線來(lái)自大北邊的一些人），所以，若干車輛繼續(xù)撤離，沿著 I26 公路開(kāi)往 Spartanburg 市；沿著 I77 公路北上 Charlotte 市；而且沿著 I20 公路東進(jìn) Atlanta 市。在 1999 年，從 Columbia開(kāi)往西北方向的車輛 行進(jìn)得非常慢。對(duì)這個(gè)問(wèn)題建立一個(gè)模型，調(diào)查研究哪種策略可以降低在 1999 年觀察到的擁擠。這里有一些問(wèn)題需要加以考慮： 在什么條件下，把 I26 的兩條開(kāi)往海岸的次級(jí)公路變成開(kāi)往 Columbia 的兩條次級(jí)公路，特別是把整個(gè) I26 變成單行道會(huì)使撤離交通狀況得到重大改善？ 在 1999 年，南卡羅來(lái)納州的整個(gè)沿海地區(qū)奉命同時(shí)撤離。如果采取另一種策略，逐個(gè)郡按某個(gè)時(shí)間段錯(cuò)開(kāi)撤離，同時(shí)與颶風(fēng)對(duì)沿岸影響的模式相協(xié)調(diào)，撤離交通狀況會(huì)改善嗎？ 在 I26 公路旁邊有若干較小的高速公路從海岸延伸到內(nèi)陸。在什么條件下，把車輛流轉(zhuǎn)向這些道路會(huì)改善撤離交通？ 在 Columbia 建立更多臨時(shí)收容所來(lái)減少離開(kāi) Columbia 的車輛，這會(huì)對(duì)撤離交通狀況有什么影響？ 在 1999 年，離開(kāi)海岸的許多家庭一路上攜帶他們的船只，露營(yíng)設(shè)備和汽車住宅。許多家庭駕駛他們的所有汽車。在什么條件下，應(yīng)當(dāng)對(duì)攜帶的車輛類型或車輛數(shù)目加以限制以求保證適時(shí)撤離？ 在 1999 年，人們還會(huì)記得，若干 Geia 州 and Florida 州的沿岸居民逃避較早預(yù)報(bào)的Floyd 颶風(fēng)南部登陸，沿著 I95 公路北上而加重了南卡羅來(lái)納州交通問(wèn)題。他們對(duì)于撤離交通的沖擊會(huì)有多 大？ 要清楚地指明，為了比較各種策略，使用什么方法對(duì)實(shí)施狀況予以評(píng)測(cè)。 要求：預(yù)備一篇簡(jiǎn)短的報(bào)刊文章，不超過(guò)兩頁(yè)，向公眾解釋你的研究成果和結(jié)論。 MCM2020 問(wèn)題 C 我們的水系 不確定的前景 MCM2020 問(wèn)題 A 風(fēng)和噴水池 在一個(gè)樓群環(huán)繞的寬闊的露天廣場(chǎng)上，裝飾噴泉把水噴向高空。刮風(fēng)的日子，風(fēng)把水花從噴泉吹向過(guò)路行人。噴泉射出的水流受到一個(gè)與風(fēng)速計(jì)（用于測(cè)量風(fēng)的速度和方向）相連的機(jī)械裝置控制，前者安裝在一幢鄰近樓房的頂上。這個(gè)控制的實(shí)際目標(biāo)，是要為行人在賞心悅目的景象和淋水浸濕之間提供可以 接受的平衡：風(fēng)刮得越猛，水量和噴射高度就越低，從而較少的水花落在水池范圍以外。 你的任務(wù)是設(shè)計(jì)一個(gè)算法，隨著風(fēng)力條件的變化，運(yùn)用風(fēng)速計(jì)給出的數(shù)據(jù)來(lái)調(diào)整由噴泉射出的水流。 MCM2020 問(wèn)題 B 航空公司超員訂票 你備好行裝準(zhǔn)備去旅行，訪問(wèn) New York 城的一位摯友。在檢票處登記之后，航空公司職員告訴說(shuō)，你的航班已經(jīng)超員訂票。乘客們應(yīng)當(dāng)馬上登記以便確定他們是否還有一個(gè)座位。 航空公司一向清楚，預(yù)訂一個(gè)特定航班的乘客們只有一定的百分比將實(shí)際乘坐那個(gè)航班。因而，大多數(shù)航空公司超員訂票 ?也就是，他們辦理超過(guò) 飛機(jī)定員的訂票手續(xù)。而有時(shí)，需要乘坐一個(gè)航班的乘客是飛機(jī)容納不下的，導(dǎo)致一位或多位乘客被擠出而不能乘坐他們預(yù)訂的航班。 航空公司安排延誤乘客的方式各有不同。有些得不到任何補(bǔ)償，有些改訂到其他航線的稍后航班，而有些給予某種現(xiàn)金或者機(jī)票折扣。 根據(jù)當(dāng)前情況，考慮超員訂票問(wèn)題： 航空公司安排較少的從 A 地到 B 地航班 機(jī)場(chǎng)及其外圍加強(qiáng)安全性 乘客的恐懼 航空公司的收入迄今損失達(dá)數(shù)千萬(wàn)美元 建立數(shù)學(xué)模型，用來(lái)檢驗(yàn)各種超員訂票方案對(duì)于航空公司收入的影響，以求找到一個(gè)最優(yōu)訂票策略，就是說(shuō)，航空公司對(duì)一個(gè)特定的 航班訂票應(yīng)當(dāng)超員的人數(shù)，使得公司的收入達(dá)到最高。確保你的模型反映上述問(wèn)題，而且考慮處理“延誤”乘客的其他辦法。此外，書(shū)寫(xiě)一份簡(jiǎn)短的備忘錄給航空公司的 CEO（首席執(zhí)行官），概述你的發(fā)現(xiàn)和分析。 MCM2020 問(wèn)題 C 如果我們過(guò)分掃蕩自己的土地，將會(huì)失去各種各樣的蜥蜴。 佛羅里達(dá)灌木蜥蜴是一種灰色或灰褐色小蜥蜴，遍布于佛羅里達(dá)中部和大西洋沿岸地區(qū)的沙質(zhì)高地上。 Florida 瀕危動(dòng)植物委員會(huì)把這種灌木蜥蜴歸類為瀕危的生物。 在網(wǎng)址 你將會(huì)找到一份有關(guān)這種佛羅里達(dá)灌木蜥蜴的實(shí)情說(shuō)明。 佛羅里達(dá)灌木蜥蜴的長(zhǎng)期存活，有賴于保留適當(dāng)?shù)目臻g搭配和灌木叢生地帶的規(guī)模。 任務(wù) 1：討論在佛羅里達(dá)州促使灌木蜥蜴喪失適當(dāng)棲息地的各種因素。為了保留這些棲息地，你會(huì)提出哪些建議？并且論述實(shí)現(xiàn)你的建議的各種障礙。 任務(wù) 2：利用表 1 中提供的數(shù)據(jù)估計(jì)數(shù)值 Fa（成年蜥蜴平均產(chǎn)卵量）； Sj（處在出生和第一個(gè)繁殖季節(jié)之間的幼年蜥蜴存活率）； Sa（成年蜥蜴平均存活率）。 表 1 摘要數(shù)據(jù)是關(guān) 于一群灌木蜥蜴的，它們先被捕捉爾后連續(xù)跟蹤四年。幼小蜥蜴（ 0 歲）在出生當(dāng)年夏季不產(chǎn)卵。所有其他雌蜥蜴的平均孵卵量與身體尺寸成比例，正如線性函數(shù)y=*(SVL) 所表示的，其中 y 是孵卵量，而 SVL 是鼻子到肛門以 mm 為單位的長(zhǎng)度。 年度 年齡 存活總數(shù) 雌蜥蜴存活數(shù)平均雌蜥蜴身長(zhǎng) (mm) 1 0 972 495 2 1 180 92 3 2 20 11 4 3 2 2 任務(wù) 3：人們推測(cè)，參數(shù) Fa ， Sj 和 Sa 與一片灌木地帶的露天沙質(zhì)區(qū)的規(guī)模和 總量有關(guān)聯(lián)。利用提供在表 2 中的數(shù)據(jù)構(gòu)造若干函數(shù)來(lái)針對(duì)不同地帶估計(jì) Fa ， Sj 和 Sa 。此外，構(gòu)造函數(shù)對(duì)給定地帶評(píng)估其承載灌木蜥蜴的能力 C。 表 2 關(guān)于 8 個(gè)灌木地帶的摘要數(shù)據(jù)，包括灌木蜥蜴的生命變化速率。對(duì)于每個(gè)地帶，雌蜥蜴的年產(chǎn)卵量（ Fa），幼小蜥蜴存活率（ Sj），以及成年蜥蜴存活率（ Sa），連同地帶規(guī)模和露天沙質(zhì)棲息地的總量列在一起。 灌木地帶 地帶規(guī)模 (公頃 ) 沙質(zhì)棲息地 (公頃 ) Fa Sj Sa 密度 (蜥蜴數(shù) /公頃 ) a 58 b 60 c 75 d 7 .55 55 e 80 f 82 g 40 h 115 任務(wù) 4：已有許多動(dòng)物研究表明，在一個(gè)棲息地帶中，食物，空間，掩 蔽地，抑或繁殖配偶可能受限制的，這就導(dǎo)致動(dòng)物個(gè)體在各個(gè)地帶之間遷徙。有關(guān)灌木蜥蜴的遷徙原因缺少明確的證據(jù)。不過(guò)，確有百分之十的幼年蜥蜴在各個(gè)地帶之間游走，而這種遷徙會(huì)影響一個(gè)地帶中群體規(guī)模。成年蜥蜴顯然不遷徙。利用下面直方圖中給出的數(shù)據(jù)估計(jì)在任何兩個(gè)地帶 i 和j 之間經(jīng)遷徙而存活的蜥蜴的概率。 表 3 直方圖 幼年蜥蜴的遷徙數(shù)據(jù)，是經(jīng)由個(gè)體標(biāo)記，釋放，再捕獲直到 6 個(gè)月后獲取的。對(duì)于再捕捉的測(cè)量工作是在距離釋放地點(diǎn)方圓 750m 內(nèi)進(jìn)行。 任務(wù) 5：對(duì)于表 3 中給出的地表形貌，建立模型估計(jì)灌木蜥蜴的整個(gè)群體規(guī)模。而 且，確定哪些地帶適于灌木蜥蜴棲息，哪些地帶會(huì)不支持一個(gè)有生存力的群體。 對(duì)于一個(gè)展布在 Avon Park Air Force Range 上面的具有 29 個(gè)地帶的地表形貌，下面的表格列出了各個(gè)地帶規(guī)模和露天沙質(zhì)棲息地。參看： 給出的一張地表形貌的地圖。 灌木帶標(biāo)識(shí) 地帶規(guī)模 (公頃 ) 沙質(zhì)棲息地 (公頃 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 任務(wù) 6：空中攝影業(yè)已確定，在佛羅里達(dá)灌木區(qū)域內(nèi)，植被密度一年增長(zhǎng) 6%左右。請(qǐng)針對(duì)一個(gè)可控燃燒政策提出建議。 MCM2020 問(wèn)題 A: 特技演員 影片在拍攝中 , 一個(gè)激動(dòng)人心的動(dòng)作場(chǎng)景將要攝入鏡頭 , 而你是特技協(xié)調(diào)員 ! 一位特技演員駕駛著摩托車跨越一頭大象，隨后跌 落在借以緩沖的一堆紙箱上 . 你需要保護(hù)特技演員 ,而且 , 也要使用相對(duì)而言較少的紙箱（較低的花費(fèi) , 不能進(jìn)入鏡頭 , 等等）。 你的工作如下： 確定所用紙箱的大小 ? 確定所用紙箱的數(shù)目 ? 確定紙箱的堆放辦法 ? 還請(qǐng)確定 , 通過(guò)對(duì)紙箱的各種調(diào)整 , 是否會(huì)有所幫助 ? 請(qǐng)把你的研究推廣到不同組合重量（特技演員 amp。 摩托車）和不同跨越高度的情形 留心一下 , 在影片“明日帝國(guó)”中，角色 James Bond 駕駛著摩托車飛過(guò)一架直升機(jī)。 MCM2020 問(wèn)題 B: Gamma 刀治療方案 立體定 位放射外科 , 用單一高劑量離子化射束在 X 光機(jī)精確界定下照射顱內(nèi)的一個(gè)小的 3D 腦瘤 , 與此同時(shí) , 并沒(méi)有處方劑量的任何顯著份額傷及周邊的腦組織 . 在這個(gè)領(lǐng)域中 ,一般有三種形式的射束可以采用，分別是 Gamma 刀單元 , 帶電重粒子射束 , 以及來(lái)自直線加速器的外用高能光子束 . Gamma 刀單元具備的單一高劑量離子化射束 , 是 201 個(gè)鈷 60 單位源通過(guò)厚重的盔狀物發(fā)射出來(lái)的。所有的 201 條射束同時(shí)交會(huì)于一個(gè)等中心 (最大放射劑量點(diǎn) )，從而在有效劑量的水平上形成一個(gè)近似球形的劑量分布 . 照射這個(gè)等中心來(lái)達(dá)到處方劑量稱為 一個(gè)“ shot” . 多個(gè) shot 可以表述為不同的球 . 四個(gè)可以互換的外部校準(zhǔn)的盔狀物分別具有 4， 8， 14 和18mm 的射束通道直徑 , 都可以用來(lái)照射不同尺寸的體積 . 對(duì)于大于一個(gè)“ shot”的目標(biāo)體積，可以用多個(gè) shot 來(lái)覆蓋整個(gè)目標(biāo) . 實(shí)際上 , 大多數(shù)目標(biāo)體積要用 1 到 15 個(gè)“ shot”加以處理 . 在這里 ,目標(biāo)體積是一個(gè)有界的通常包含數(shù)百萬(wàn)個(gè)點(diǎn)的三維數(shù)字圖象。 放射外科學(xué)的目的是消除腫瘤細(xì)胞同時(shí)保存正常的結(jié)構(gòu) . 由于治療過(guò)程中會(huì)涉及物理限制和生物不確定性，一個(gè)治療方案就需要考慮到所有那些限制和不確定性。一 般而言，一個(gè)最優(yōu)的治療方案需要符合如下的要求： ? 穿過(guò)目標(biāo)體積的劑量梯度最小 為目標(biāo)體積配置特異性的相同劑量輪廓線 ? 為目標(biāo)和關(guān)鍵器官配置特異性的劑量 體積限制條件 ? ? 對(duì)正常組織或器官的整個(gè)體積照射要?jiǎng)┝靠偤妥钚? 對(duì)指定的正常組織點(diǎn)的劑量要限制在忍耐劑量以下 ? 使關(guān)鍵體積所需的最大劑量達(dá)到最小 ? 在 Gamma 單元治療方案中，有以下限制： 禁止“ shot”伸展到目標(biāo)以外 ? 禁止“ shot”交迭（避免熱點(diǎn)） ? ? 用有效的劑量覆蓋盡可能多的目標(biāo)體積，但至少 90%目標(biāo)體積要被“ shot”覆蓋 用盡可能少的“ shot”? 你的任務(wù)是用球體填充問(wèn)題模型來(lái)建立最優(yōu)的 Gamma 刀