【正文】 _ E(S) 1010)(2 ??? SSS?)/( sr a dn ??? 1 ??n?? ??? fnd K???)(2 ???ndfK ? ??當(dāng) ξ d = ， 即引入速度反饋控制后的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量分別為： ?上例計(jì)算表明 ， 引入速度反饋控制后 ， 調(diào)節(jié)時(shí)間減小 、 超調(diào)量下降 ， 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到改善 。 )( 33%)5( stns???? ??%60%100%100% 22 ????? ????? ee ????)( 33%)5( stnds???? ??%%100%100% 22 ????? ????? ee dd ???? 高階系統(tǒng)分析 凡是由三階和三階以上微分方程描述的系統(tǒng) ， 稱為高階系統(tǒng) 。 在控制工程中的絕大多數(shù)系統(tǒng)都是高階系統(tǒng) 。 對(duì)于高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō) ， 其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確定是比較復(fù)雜的 。 工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析 ， 以便將高階系統(tǒng)在一定的條件下轉(zhuǎn)化為近似的一階或二階系統(tǒng)進(jìn)行分析研究 。 一、典型三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 下面以在 S左半平面具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)極點(diǎn)的分布模式為例 ， 分析三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) ， 其閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為： 其中 ， (–P )為三階系統(tǒng)的閉環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn) 。 當(dāng) 0 ξ 1和輸入為單位階躍函數(shù)時(shí) ， 輸出的拉氏變換式為 ))(2()()()(222PSSSPSRSCSnnn ????? ??? ??SpSSSpSRSSCnnn 1))(2()()()( 22 2 ?????? ??? ??0]1s i n1)1)2((1c o s)2([1)2(1)2(1)(2222222?????????????????ttteetcnnttp n????????????????????式中 。 三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖所示 （ ξ= ） 。 np??? ? 三階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線（ ξ= ） 由于 : 所以 ， 不論閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的左邊或右邊 ， 即β不論大于 1或是小于 1， 項(xiàng)的系數(shù)總是負(fù)數(shù) 。 因此 ， 實(shí)數(shù)極點(diǎn) s＝ –P可使單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量下降 ， 并使調(diào)節(jié)時(shí)間增加 。 由圖可見(jiàn) ， 當(dāng)系統(tǒng)阻尼比 ξ不變時(shí) ， 隨著增加的實(shí)數(shù)極點(diǎn) P向虛軸方向移動(dòng) ， 即隨著 β值的下降 ， 響應(yīng)的超調(diào)量不斷下降 ， 而峰值時(shí)間 、 上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間則不斷加長(zhǎng) 。 在 β≤1時(shí) ， 即閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)的數(shù)值小于或等于閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部數(shù)值時(shí) ， 三階系統(tǒng)將表現(xiàn)出明顯的過(guò)阻尼特性 ， 類似于二階系統(tǒng)的過(guò)阻尼情況 。 0)1()1(1)2( 2222 ??????? ??????pte?二、高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 高階系統(tǒng)的微分方程式為 式中 ， n≥3， n≥m ；系統(tǒng)參數(shù) (i＝ 0， )， 2， … ， n )、 (j＝ 0， 1，2， … ， m )為定常值 。 令初始條件為零 式中 ； (i＝ 0， 1， 2， … ， n ) 稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)； (j＝ 0，1， 2， … ， m ) 稱為系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn) 。 )()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn?????????????????)())(()())(()()()(212101110111nmgnnnnmmmmpspspszszszsKasasasabsbsbsbsRsCs??????????????????????????nmg abK ?三、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 設(shè) n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中 ， 有 n1 個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn) ． n2對(duì)共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn) ， 且閉環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)互不相等 。 由于一對(duì)共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)形成一個(gè) s的二階項(xiàng) ，因此 ， 上式的因式包括一階項(xiàng)和二階項(xiàng) 。 故其可寫為 式中 n1 + 2n2 = n。 當(dāng)輸人為單位階躍函數(shù)時(shí) ， 高階系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式為： ???????????2112211)2()()()( nkkkknllmjjgsspszsKs????ssspszsKsRsSC nkkkknlimjjg 1)2()()()()()(2112211 ????????????????? ? ?? ? ???????1 21 12202)(nlnk kkkkkllssCSBpsAsAsC???式中， A0為 C（ S）在原點(diǎn)處的留數(shù)， Al為 C（ S）在實(shí)數(shù)極點(diǎn)處的留數(shù)，其值為： 0000 )(lim absCsAS ??? ?),2,1()()(lim 1nlsCpsA lpSll????? ??? ???? ????????????21 21221 1201s i n11c os1)(nkkktkkkkkknlnkkktktpltteBCteBeAtckkkkl???????????? 由上式可知 ， 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)與一 、 二階系統(tǒng)的形式相同 ， 均由兩個(gè)分量組成 。 一是穩(wěn)態(tài)分量 “ 1”與時(shí)間 t無(wú)關(guān)；二是與時(shí)間 t有關(guān)的動(dòng)態(tài)分量 。 ① 若所有閉環(huán)極點(diǎn)都分布在 S的左半平面 ， 那么當(dāng)時(shí)間 t趨于無(wú)窮大時(shí) ， 動(dòng)態(tài)分量都趨于零 ， 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量為 “ 1”， 等于輸入量 ， 這時(shí) ， 高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的；只要有一個(gè)正極點(diǎn)或正實(shí)部的復(fù)數(shù)極點(diǎn)存在 ， 那么當(dāng) t趨于無(wú)窮大時(shí) ，該極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)分量就趨于無(wú)窮大 ， 系統(tǒng)輸出也就為無(wú)窮大 ， 這時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 ② 各分量衰減的快慢取決于指數(shù)衰減常數(shù) 。 若閉環(huán)極點(diǎn)位于 S的左半平面且遠(yuǎn)離虛軸越遠(yuǎn) ， 其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量衰減得越越快；反之 ， 則衰減越慢 。 ③ 各分量的幅值與閉環(huán)極點(diǎn) 、 零點(diǎn)在平面 S中的位置有關(guān)： 若某極點(diǎn)的位置離原點(diǎn)很遠(yuǎn) ， 那么其相應(yīng)的系數(shù)將很小 。 所以 ， 遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn) ， 其動(dòng)態(tài)分量幅值小 、 衰減快 ， 對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響很小 。 若某極點(diǎn)靠近一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)又遠(yuǎn)離原點(diǎn)及其它極點(diǎn) ， 則相應(yīng)項(xiàng)的幅值較小 ，該動(dòng)態(tài)分量的影響也較小 。 工程上常把處于這種情況的閉環(huán)零點(diǎn) 、 極點(diǎn) ， 稱之為 偶極子 ， 一般地這對(duì)閉環(huán)零 、 極點(diǎn)之間的距離要比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí) 。 偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)分量影響較小的現(xiàn)象 ， 稱之為 零極點(diǎn)相消 。 若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn) ， 則相應(yīng)的幅值就較大 。 因此 ， 離原點(diǎn)很近并且附近又沒(méi)有閉環(huán)零點(diǎn)的極點(diǎn) ， 其動(dòng)態(tài)分量項(xiàng)不僅幅值大 ， 而且衰減慢 ，對(duì)系統(tǒng)輸出量的影響最大 。 四、高階系統(tǒng)的分析方法 ? 由高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的求解過(guò)程和討論可知 ， 對(duì)高階系統(tǒng)的分析是十分煩瑣的事情 。 如果再試圖按性能指標(biāo)的定義 ， 求出高階系統(tǒng)的性能指標(biāo)解析式 ， 將會(huì)更加麻煩 。 因此 ， 為簡(jiǎn)單和方便起見(jiàn) ，常常采用 主導(dǎo)極點(diǎn) 的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析 。 ?主導(dǎo)極點(diǎn)的概念 在高階系統(tǒng)中 ， 如果存在某個(gè)離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn) ， 而其它閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸的距離比起這個(gè)極點(diǎn)與虛軸的距離（ 實(shí)部長(zhǎng)度 ） 大 5倍以上 ， 且其附近不存在閉環(huán)零點(diǎn) ， 則可以認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要由這個(gè)極點(diǎn)決定 。 稱這個(gè)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)為 主導(dǎo)極點(diǎn) 。 對(duì)應(yīng)地 ， 其它的極點(diǎn)稱為普通極點(diǎn)或非主導(dǎo)極點(diǎn) 。 在高階穩(wěn)定系統(tǒng)中 ， 主導(dǎo)極點(diǎn)往往是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) ，因?yàn)檫@可以得到系統(tǒng)最小的調(diào)節(jié)時(shí)間和較高的精度 。 根據(jù)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念 ， 在對(duì)高階系統(tǒng)性能進(jìn)行分析時(shí) ， 如果能找到一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn) ， 那么高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來(lái)分析 ， 并用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)公式來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的性能；如果能找到一個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn) ， 那么高階系統(tǒng)可以按一階系統(tǒng)來(lái)分析 。 同樣 ， 在設(shè)計(jì)一個(gè)高階系統(tǒng)時(shí) ， 也常常利用主導(dǎo)極點(diǎn)來(lái)選擇系統(tǒng)參數(shù) ， 使系統(tǒng)具有一對(duì)共軛主導(dǎo)極點(diǎn) ， 以利于近似地用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)定性系統(tǒng) 。 若高階系統(tǒng)不滿足應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的條件 ， 則高階系統(tǒng)不能近似為二階系統(tǒng) 。 這時(shí)高階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程必須具體求解 ， 其研究方法同一階 、 二階系統(tǒng) 。 有時(shí) ， 對(duì)于不大符合存在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)條件的高階系統(tǒng) ， 可設(shè)法使其符合條件 。 例如 ， 在某些不希望的閉環(huán)極點(diǎn)附近引入閉環(huán)零點(diǎn) ， 人為地構(gòu)成偶極子 ， 產(chǎn)生零極點(diǎn)相消 。 另外 ， 在許多實(shí)際應(yīng)用中 ， 比主導(dǎo)極點(diǎn)距離虛軸遠(yuǎn) 2～ 3倍的閉環(huán)零 、 極點(diǎn) ， 在某些條件下也可考慮為略去之列 。 由于數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及 ， 特別是已經(jīng)出現(xiàn)一些求解高階微分方程的軟件 ， 如 MATLAB等 ， 容易求出高階系統(tǒng)的輸出解及繪制出相應(yīng)的響應(yīng)曲線 。 例 34 某控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ①試?yán)L出單位階躍響應(yīng)曲線，并求動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) tr， tp， ts和 σ％。②用主導(dǎo)極點(diǎn)方法求解并對(duì)比。 解 系統(tǒng)為三階，其閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為 三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分別為 s1， 2 =–177。 , s 3 =– 三階系統(tǒng)的實(shí)極點(diǎn) P和 ξ， ωn為： P = s 3 =– ， ξ= ， ωn = ； 。因此， )(23 ???? ssss?))()(())(()(2222jsjssssss???????????????np??? ?) i o ()( tteetc t ???? ?? 相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線表示在圖中。由該圖求得系統(tǒng)響應(yīng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)： 上升時(shí)間 tr＝ 峰值時(shí)間 tp＝ 調(diào)節(jié)時(shí)間 ts＝ 超調(diào)量 σ％＝ 16％ ②該系統(tǒng)的實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù) 極點(diǎn)實(shí)部之比為 ，故復(fù)數(shù)極 點(diǎn) S1， 2 可視為主導(dǎo)極點(diǎn) 。 三階系統(tǒng)可用具有這 —對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)近似 。 近似的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 因此： tr＝ ， tp＝ ， ts＝ 7. 25s， σ％ ＝ ％ 。 C(t) 例題 34圖 222)(????? SSS?② 該系統(tǒng)的實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)實(shí)部之比為 ， 故復(fù)數(shù)極點(diǎn)s1， 2 可視為主導(dǎo)極點(diǎn) 。 三階系統(tǒng)可用具有這 —對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)近似 。 近似的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由二階系統(tǒng)性能指標(biāo)計(jì)算公式 ． 可求出 tr＝ ； tp＝ ； ts＝ 7. 25s； σ％ ＝ ％ 。 比較上兩種方法所求到的性能指標(biāo) ， 其數(shù)值都很接近 。這說(shuō)明系統(tǒng)由于存在一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) ， 三階系統(tǒng)可降階為二階系統(tǒng)進(jìn)行分析 ， 其結(jié)果不會(huì)帶來(lái)太大的誤差 。 222)(????? SS