【正文】 明 ,當(dāng) n充分 大 時(shí) ,有 nnXniism??? 1 近似地~ ,)1,0(N或 ??niiX1，),( 2sm nnN近似地~nX/sm? 近似地~ ,)1,0(N90 上述定理也稱 列維一林德伯格 (LevyLindberg)定理 . 下面給出上述定理的一個(gè)重要特例。 定理 4（ 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理 ） ))1((lim xpnpnpP nn??????.)(de21 22xttx??????? p設(shè)隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ， ，記 ，則 nZ( , )B n p 01p??1qp??91 ))1((lim xpnpnpP nn??????.)(de21 22xttx??????? p該定理表明 , 當(dāng) ??n 時(shí) , 二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布 . 實(shí)際應(yīng)用中 , 若隨機(jī)變量 ),(~ pnBX , 只要 n 充分大 , 即有 ，),( n p qnpNX 近似地~ 或 n p qnpX ? ，)1,0(N近似地~即有近似計(jì)算公式 .)()(}{n p qnpan p qnpbbXaP????????92 解 由 德莫弗 拉普拉斯 中心極限定理 ,有 良種數(shù) 1~ ( 60 00 , ) ,6XB50001000,6n p n p q??例 4 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占 ，現(xiàn)從中任取6000粒．求這 6000粒種子中良種所占的比例與 之差的絕對(duì)值不超過 ． 161610006000 5X ? (0,1)N近似地~93 ? ?11 0. 01 10 00 6060 00 6 10 0XP P X?? ? ? ? ? ?????1000 60600 0 5 600 0 5XP?????????2 ( 2 . 0 7 8 4 ) 1???2 0 . 9 8 1 2 4 1 0 . 9 6 2 5? ? ?－94 設(shè)在某保險(xiǎn)公司有 1萬 個(gè)人參加投保 ,每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi) .在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為 ,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得 1萬 元 ,問 :(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少 ?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于 40,60,80萬元的概率各是多少 ? 某射手打靶 ,得 10分 、 9分 、 8分 、 7分 、 6分的概率分別為 ,. 現(xiàn)獨(dú)立射擊100次 ,求總分在 900分與 930分之間的概率 . 補(bǔ) 充 例 題 1. 將一枚硬幣拋擲 10000次，出現(xiàn)正面 5800次，是否有理由認(rèn)為這枚硬幣不均勻 ? 2. 3. 95 假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布 ,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為 10分鐘 .設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立 . 問對(duì)序列 {Xk},能否應(yīng)用大數(shù)定律？ ，， 否則次取到號(hào)碼第???? 001 kXk(1)設(shè) k = 1,2, … 在一個(gè)罐子中 ,裝有 10個(gè)編號(hào)為 09的同樣的球 , 從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼 . 4. 5. (1)試求組裝 100件成品需要 15到 20小時(shí)的概率； (2)以 95%的概率在 16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品 ? 96 (2) 至少應(yīng)取球多少次才能使“ 0”出現(xiàn)的頻率在 ? (3) 用中心極限定理計(jì)算在 100次抽取中 , 數(shù)碼“ 0”出現(xiàn)次數(shù)在 7和 13之間的概率 . 97 將一枚硬幣拋擲 10000次，出現(xiàn)正面 5800次，是否有理由認(rèn)為這枚硬幣不均勻 ? 解 設(shè) X為 10000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)， 若硬幣是均勻的 , 則 X~B(10000, ), 505000)1(???? XpnpnpX1. 由 DL定理 , }5800{ ?XP,5000?np ,2 5 0 0?n p q近似地~ ，)1,0(N)50 50005800(1 ???? )16(1 ??? ，0?此概率接近于 0，故認(rèn)為這枚硬幣不均勻是合理的 . 98 某射手打靶 ,得 10分 、 9分 、 8分 、 7分 、 6分的概率分別為 ,. 現(xiàn)獨(dú)立射擊100次 ,求總分在 900分與 930分之間的概率 . 2. 解 設(shè)第 i 次射擊得分為 iX ，則 iX 的分布律為 iXP6 7 8 9 10 ,)( ?iXE .)( ?iXD由中心極限定理， sm???nnX i915? ?? iX近似地~ ，)1,0(N99 ? ??? }930900{ iXP1)(2 ???}1515{ ?????? ?smnnXP i.8 2 ?100 3. 設(shè)在某保險(xiǎn)公司有 1萬 個(gè)人參加投保 ,每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi) .在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為 ,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得 1萬 元 ,問 :(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少 ?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于 40,60,80萬元的概率各是多少 ? 解 設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為 X,則 ,)0 0 ,1 0 0 0 0(BX ?由 DL中心極限定理 , }1 2 0 0 0 0 01 0 0 0 0{)1( ?XP}120{n pqnpn pqnpXP ???? )60120(1?????)(1 ??? ,0?}1 2 0{ ?? XP即 保險(xiǎn)公司虧本的概率 幾乎 為 0. 101 }400000100001202200{)2( ?? XP }80{ ?? XP)9 6080(???? )5 8 (?? ,9 9 ?}6 0 0 0 0 01 0 0 0 01 2 0 0 0 0 0{ ?? XP }60{ ?? XP)6060(???? )0(?? ,?}8 0 0 0 0 01 0 0 0 01 2 0 0 0 0 0{ ?? XP }40{ ?? XP)6040(???? )(1 ??? .0 0 ?102 假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布 ,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為 10分鐘 .設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立 . 4. (1)試求組裝 100件成品需要 15到 20小時(shí)的概率； (2)以 95%的概率在 16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品 ? 解 設(shè)第 i件組裝的時(shí)間為 Xi分鐘 ,i=1,… ,100. 利用獨(dú)立同分布中心極限定理 . (1) ,10)( ?iXE ,10)( 2?iXD ,100,2,1 L?i}1 20 09 00{1001?? ??iiXP}101 0 0101 0 01 2 0 0101 0 0101 0 0101 0 0101 0 09 0 0{221 0 012 ??????????????iiXP103 }101 0 0101 0 01 2 0 0101 0 0101 0 0101 0 0101 0 09 0 0{221 0 012 ??????????????iiXP)1()2( ????? .8 1 8 ?(2) }1001096010010{ 1nnnnXPnii ??????，)10010960(nn??? 查表得 ,10010960 ??nn解得 ,?n 故 最多可組裝 81件成品。 104 諸 Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù) 定律 , 解 ,01~??????kXk=1,2, … E(Xk)=, 在一個(gè)罐子中 ,裝有 10個(gè)編號(hào)為 09的同樣的球 , 從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼 . 5. 問對(duì)序列 {Xk},能否應(yīng)用大數(shù)定律？ ，， 否則次取到號(hào)碼第???? 001 kXk(1)設(shè) k = 1,2, … 即 對(duì) Rx ?? , 一致地有 .1}|{|lim1???????nkkn XnP ?105 (2) 至少應(yīng)取球多少次才能使“ 0”出現(xiàn)的頻率在 ? 設(shè)應(yīng)取球 n次， 0出現(xiàn)頻率為 ，??nkkXn11,)1(1???nkkXnE ，nXnDnkk)1(1???由中心極限 定理 , nnXnkk1???nXnnkk11????解 近似地~ ，)1,0(N106 }{1?? ??nkkXnP }|1{|1??? ??nkkXnP}30|1{| 1nnXnPnkk?????1)30(2 ??? nnnXnkk1???nXnnkk11????近似地~ ，)1,0(N，?，9 7 )30( ??? n ，30 ?n查表得 .3458 ?? n107 (3) 用中心極限定理計(jì)算在 100次抽取中 , 數(shù)碼“ 0”出現(xiàn)次數(shù)在 7和 13之間的概率 . 在 100次抽取中 , 數(shù)碼“ 0”出現(xiàn)次數(shù)為 ，??1001kkX由中心極限定理 , ???????1 0 011 0 011 0 01)()(kkkkkkXDXEX3101 0 01???kkX即 E(Xk)=, D(Xk)=, 解 近似地~ ，)1,0(N近似地~ ，)1,0(N108 即在 100次抽取中，數(shù)碼“ 0”出現(xiàn)次數(shù)在 7和 13之間的概率為 . ????1001}137{kkXP}13101{1001 ???????kkXP1)1(2 ???3101 0 01???kkX近似地~ ，)1,0(N.?