【正文】 fTXn??Circular natural frequency 圓頻率 Amplitude 振幅 Phase angle 相角 Period 周期 Natural frequency 頻率 nT ?? /2?)2/( ?? nf ?2. 2 Free Vibration Undamped System A system’s period and frequency are determined by its physical properties. mk /n ??page 54 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering Discussion 討論 The displacement,velocity and acceleration of the system are as followed 系統(tǒng)的位移、速度、加速度分別為 )si n ( ??? tXx n?)2/si n ( ??? ???? tXx nn?)s i n (2 ??? ???? tXx nn??They are all harmonic function 可見系統(tǒng)的位移、速度、加速度都做簡諧變化，且速度、加速度分別比位移超前 90度和 180度角。這個相位差角是不變的。 2. 2 Free Vibration Undamped System page 55 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering From the equations of the amplitude and phase angle 00121220 ])[(0 xxtg，xxX nn ?? ???????We know that they are all determined by the initial conditions. This is the characteristics of natural vibration. 系統(tǒng)振動的振幅和相角都決定于初始條件，這正是振動系統(tǒng)自由振動的特性。 But a system’s period and frequency are determined by its physical properties. 但系統(tǒng)的周期和頻率則取決于它的物理特性 。 2. 2 Free Vibration Undamped System page 56 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering |the static displacement |The energy method |the equation of motion )(c o s n ?? ?? tAx)(c o s2121 n222 ?? ??? tAkxkU)(s i n2121 n22n22 ??? ??? tAmxmV ?m axm ax VU ?mk?n?02n ?? xx ???sgmgkgmk????n?The natural frequency of the undamped system can be determined by Vibration characteristics Free Vibration Undamped System 0?? kxxm ??page 57 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering kg11 ?mm/N1001 ?kkg42 ?mm/N1 0 02 ?kkg13 ?mm/N4003 ?kInitial displacement 103m Initial velocity 102m/s Example 28 What is the free vibration responses of the following systems? 2. 2 Free Vibration Undamped System page 58 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering )(c o s)( n ?? ?? tRtx?,)/( 2n020 ?xxR ???0t a na r cπ0t a na r c0n000n00???????xxxxxx??? ??,n mk??Example 28 Free Vibration Undamped System ( ) s i n ( )no r x t R t????s/ra d10/ 111n ?? mk?s/ra d5/ 222n ?? mk?s/ra d20/ 333n ?? mk?page 59 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering ? ? 3222321n0201??? ???????????????????????xxR ?? ? 3222322n0202??? ???????????????????????xxR ?? ? 3222323n0203??? ???????????????????????xxR ?Example 2. 2 Free Vibration Undamped System page 60 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering r a d7 8 10ta na r c 321 ??? ???r a 10ta na r c 322 ??? ???r a 10ta na r c 323 ??? ???∴ mm)7 8 (c o )(1 ?? ttxmm)1 0 (c o )(2 ?? ttxmm)(c o )(3 ?? ttxExample 2. 2 Free Vibration Undamped System page 61 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering Example 29求如右圖所示物體沿光滑斜面振動的方程及響應(yīng)。已知斜面傾角 α=30 176。 ,m=1千克， k=4900N/m。在開始運動時彈簧無伸長，速度為零。 Solution: Let’s erect the coordinate as shown in the figure,and take the equilibrium position as the origin point 建立坐標如圖所示，以系統(tǒng)靜平衡位置為坐標原點。 We may easily get the motion equation of the system 可列出系統(tǒng)的運動微分方程為 k m x α o 0?? kxxm ??txtxx nnn ??? c o ss i n 00 ?? ?As derived above,the solution of the equation is 按照前面的推導(dǎo)，它的解為 2. 2 Free Vibration Undamped System page 62 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering The initial condition of this question is that the velocity is zero and the displacement equals to the static distortion 對本題，系統(tǒng)的初始速度為零，初始位移為彈簧靜變形的負值。即 )( 30si n0 mkmgx ??????????)/1(7014 9 0 0 smkn ????而固有圓頻率為 所以，將初始條件代入解的表達式，得到 )(70c o s0 0 mtx ??2. 2 Free Vibration Undamped System page 63 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering Torsional vibration 2. 2 Free Vibration Undamped System 扭振系統(tǒng) 當(dāng)量系統(tǒng) 軸 ：只有彈性，沒有慣性 kt： Torsional stiffness （ Unit: kg m 2 ） 圓盤 ：只有慣性，沒有彈性 J： Moment of inertia （ Unit: Nm/rad ） Generalized coordinate θ Moment law 0?? ?? tkJ ??page 64 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering Problems ３ 1, 35 Home Works Pages 83amp。84 page 65 授課人 —— 柳貢民 2022年 5月 27日星期五 動力與能源工程學(xué)院 College of Power and Energy Engineering Thank you and have a nice day!