微積分學(xué)數(shù)列極限收斂準則-資料下載頁
2025-04-29 06:27本頁面
【正文】 1 解 . ! lim nn nn???求 . 11limlim , 11 enxnxnnnnnn ??????? ???????? ????????則有設(shè)nn nxxx ?????? ??????? ??????? ????? 11211111 2121 ??而 ,! )1(1 342312321nnnn nn ???????? ???????????????????? ?得式由幾何平均值的極限公 ,limlim 21 nnn nn xxxx ?????? ???? ? , limlim! 1lim 21 exxxxnn nnn nnnn ??????? ????????? ? . 1! 1lim! lim en nnnnn nnnn ??????? ???? ??????故 幾何平均值極限公式 nnn nn xxxx ?????? ???? limlim 21 ?例 12 解 例 13 ).1( lim ???? aannn求解 .11 , 1 nnnn xannxa nx ????? ?則令 , 11 ,1 有時故當由于 ??? ana ,111 ??? ann .}{ , 11 ??? nxan 數(shù)列時即. }{ ),( 0 有下界即數(shù)列而 nn xZnx ??? .lim , , bx nn ????不妨設(shè)該數(shù)列收斂由單調(diào)收斂準則 .0 ,lim1lim1lim 1 ???????????????babxnnaxb nnnnn故于是 )1( 0 l i m ?????aan nn 類似該例的做法 ,還可以得到下列結(jié)果 : )。 ,1( 0l i m ??????? Znaan nkn 。1lim ???? nn n)。0( 1l i m ????? aann例 14 解 .) , ( ,lim 2121????????Zkaaaaaakn nknnn為正常數(shù)其中求?? },m a x { 21 則有記 naaaa ?? , 21 nn nn nknnn n kakaaaaaa ??????? ? ,1lim 故由夾逼定理得而 ???? nn k }.,m a x {lim 2121 kn nknnn aaaaaaa ?? ????????除最大的一個外 , 其余的均取為零 . 例 15 解 ).1( lim ????aan nn求 .11 , 1 nnnn xannxa nx ???? ?則令 , 11 , ,11lim , 1 有時當所以因為 ???????? annnan ,111 ??? ann ,0 . }{ , ?nn xx 又從某一項開始單調(diào)減少數(shù)列從而 . }{ , }{ 收斂由收斂準則可知數(shù)列有界故數(shù)列 nn xx ,lim11limlim1lim 1 nnnnnnnxannxax????????????????由 .0limlim ???????? nnnn anx得例 16 .1lim : ???? nn n證明 ,0 ),1( 0lim 有故因為 ????????aa n nn 0,)1(lim ????? nnn? ,1 ,1)1( , ,0 ?? ??????? nn nnNnN 即時當故 , , ),( 1 必有時當所以而 NnZnnn ??? ? , |1| ???n n .1l i m ???? nn n故 ???? 11n n證 例 17 ).0( 1lim : ????? aann證明證 , 1 1][ , 1 nn naana ????? 就有只要時當及夾逼定理可知由 11lim ,1lim ?? ?????? nnn n)。1( 1lim ????? aann , 1 ,1 , 10 所以則令時當 ???? baba .11lim 1 limlim ???????????? nnnnnn bba . , 即得所證綜上所述 . , 1 結(jié)論是顯然的時?a四、施篤茲 ()定理及其應(yīng)用 運用施篤茲定理計算數(shù)列的極限 , 往往會使問題變得十分簡單 . 施篤茲定理 : }.{ }{ nn yx 和設(shè)有數(shù)列 ),( 1 或從某一項開始若 ?? ?? Znyy nn則且 , l i m ?????? nn y11limlim???????? ???nnnnnnnn yyxxyx . , ?為已知右邊的極限存在或其中 ), ( lim 求或為設(shè) ????? aa nn .lim 21 n aaa nn ?????? ?解 由施篤茲定理 , 令 , ,21 nyaaax nnn ????? ?則 1121 lim limlim ??????????? ???????nnnnnnnnnn yyxxyxnaaa ?)1()()(lim 12121?????????? ???? nnaaaaaa nnn?? .) ( lim ??? ??? 或為aa nn例 18 算術(shù)平均值 由此 , 利用對數(shù)函數(shù)可得出例 12的幾何平均的極限 . 例 19 證明：若 ,lim ,lim byax nnnn ?? ?????? .lim 1121 abn yxyxyx nnnn???? ?????證 分析： .限形式有點像算術(shù)平均值的極 , , nnnn byax ?? ????令 ).( 0,0 , ????? nnn ??其中 1121 n yxyxyx nnn ??? ? ?nyxyx nnnn ))(())(( 1111 ???? ??????? ?展開后得 nbnaab nn )()( 2121 ?????? ????????? ??nnnn 1121 ?????? ???? ? ?算數(shù)平均值 . || : }{ , ,0lim Mn nnnn ???????? ??? 有界時故由 , 有從而nnnn | | 0 1121 ?????? ???? ? ?nM nn |)||||(| 11 ??? ???? ? ?算數(shù)平均值 剩下的問題請同學(xué)自己解決。
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