【導讀】以工程中常見的拉壓與彎曲組合變形、彎曲和扭轉組合變形為例，上的基本變形的組合，由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的變形形式稱為組合。軸承受的是彎曲和扭轉的組合變形。之后，分析構件危險點處的應力狀態(tài)，用相應的強度條件公式進行計算。以圖8-10矩形懸臂梁為例，將力沿F平行軸線方向和垂直軸線方向進。因梁各橫截面上的軸力相等，均為。因此，梁的固定端截面A為危險截面。則沿截面高度呈線性分布，如圖8-10e所示。截面上的拉伸（壓縮）正應力和彎曲正應力，即最大工作應力不超過材料的許用應力，實際情況，依上述方法分別計算即可。，若不計梁自重，試按正應力強度準則選。橫梁可簡化為簡支梁，由于吊。力AyF、G和ByF使梁AB發(fā)生彎曲，而力BxF和AxF使梁AB產生軸向壓縮。梁AB在外力作用下發(fā)生軸向壓縮和彎曲組合變形。確定工字鋼型號。查型鋼表，選16號工字鋼，其363141cm14110mzW????選擇16號工字鋼能夠滿足強度要求。線，立桿的這種變形通常為偏心拉伸（或壓縮），

　　

【正文】 工程力學 教學單元名稱 質點的動力學方程 質點的動靜法 【教學內容】 質點的動力學方程 牛頓第二定律 R i m???F F a 單元能力培養(yǎng)目標 1．掌握質點動力學方程及其應用，解決動力學兩類問題； 2．理解質點的慣性力和達朗貝爾原理，掌握用動靜法求解動力學問題。 知識點 質點動力學方程、慣性力、 達朗貝爾原理 ； 單元教學設計 講清楚概念，突出應用，難以理解的結構輔助以多媒體 單元教學方式 多媒體 作業(yè) 習題 P132 99 917 質量是質點慣性大小的度量。 自然坐標式 在質點作曲線運動時，可式 R i m???F F a向軌跡的切線軸 ? 和法線軸 n 上投影（圖 1111a）得到 i i n nF m a F m a?????? 或者寫 為微分形式 22ddi sFmt? ?? 2in vFm??? 圖 1111 直角坐標式 將式 R i m???F F a向直角坐標系投影可得 ix xF ma?? ， iy yF ma?? 或者寫為 微分形式 22ddix xFmt??， 22ddiy yFmt?? 鏈傳動的動載荷 應用 質點的動力學方程 ，可用來解決質點動力學兩類基本問題。 1． 第一類問題 已知質點的運動，求質點所受的力 （ 包括約束反力 ） 。 —— 微分法求解 2． 第二類問題 已知質點所受的力，求質點的運動 。 —— 積分法求解 求解質點動力學問題的步驟大致如下： （ 1） 根據(jù)題意確定研究對象，選擇適當?shù)淖鴺溯S。 （ 2） 分析研究對象的受力情況，包括主動力和約束反力。如力為已知，則應表示 其變化 規(guī)律。 （ 3） 分析研究對象的運動情況，應當考慮研究對象在任意瞬時（既非開始瞬時，也非結束瞬時）的狀態(tài)。如運動規(guī)律已知，則求出其加速度。 （ 4） 列出坐標形式的質點運動微分方程，分清是第一類問題還是第二類問題，分別用微分法或積分法求解。如屬第二類問題，還需根據(jù)運動初始條件來確定積分常數(shù)。 例 113 如圖 1112a 所示，重 G = 98 N 的圓球放在框架內，框架以 a = 2g 的加速度沿水平方向運動。求球對框架鉛垂面的壓力。設 ?15?? ，接觸面間的摩擦不計 。 圖 1112 解 這屬于質點動力學中的第一類問題。 以圓球為研究對象，視為質點。其受力分析如圖 1112b 所示。 選固定坐標系 Oxy，由式（ 1129）則可建立圓球直角坐標形式的運動微分方程為 2N A N 2ds i n dB GxFF gt??? 2NB 2ddGyFG gt? ??cos 由于 atx?22dd 0dd22 ?ty 則有 N A N Bs in GF F ag??? NB cos 0FG? ?? 解得 ?cosNB GF ? N17015t a n298t a nNA ????????? ?????????? ?? ?gggaGF ? 例 114 橋式起重機如圖 1113 所示。起重機上的小車吊著重量為 G 的重物，沿橫梁以 0 5msν ? 的速度作勻速運動。因故急剎車后，重物由于慣性繞懸掛點 C 向前擺動。已知繩長 l =3 m，求急剎車后繩子的最大拉力。 圖 1113 解 根據(jù)題意，已知小車及重物在剎車前的速度以及剎車后重物將沿半徑為 l 的圓弧擺動，要求重物在剎車過程中對繩子的最大拉力，故為動力學第一類問題。 以重物為研究對象，畫出其在一般位置時的受力圖（圖 1113）。 剎車前重物作勻速直線運動，處于平衡狀態(tài)，繩子的拉力 GF ?1T ；剎車后，重物繞 C 點擺動（圖 1113），根據(jù)質點運動微分方程的自然坐標式（ 1127），并注意 切線軸的正向為 ? 角增加的一方，法線軸的正向為指向圓弧軌跡凹的一方，可得 ds indτ GvG m a gt?? ? ? （ 1） 2T c o s n GvF G m a gl?? ? ? （ 2） 由（ 2）式得 lvgGGF 2T c os ?? ? 式中 v 及 ?cos 均為變量，由（ 1）式知，重物作減速運動，故在初始位置，重物的速度 具有最大值 0v ；同時在此位置 0?? ， cos? 也取最大值 1，此時繩子的拉力具有最大值，其值為 GGGglGvGF 5 220T m a x ??????? 由此可知，繩子的拉力可以分為靜拉力 G 和附加動拉力glGv20兩部分。計算結果表明，最大拉力約為靜拉力的兩倍。 分析計算結果：（ 1） 附 加動反力 與哪些因素有關。（ 2）工程中遇到類似的問題如何應對。（ 3）舉例說明，加強學生工程意識的培養(yǎng)。 質點的動靜法 慣性力的概念 當物體受到其它物體的作用而發(fā)生運動狀態(tài)改變時，由于它具有慣性，力圖保持其原有的運動狀態(tài)，因此對于 施力物體以反作用力。這個反作用力稱為 慣性力 。 aF m??I （ 1130） 質點慣性力的大小等于質 點質量與其加速度的乘積，方向與加速度的方向相反，而作用在迫使質點改變運動狀態(tài)的施力物體上 。這里需要強調的是，質點的慣性力 IF 并非質點本身受到的力，而 向直角坐標系或自然軸系投影。例如向自然軸系的切向和法向的投影為 圖 1114 ? ?? ?I2IddττnnvF m a mtvF m a m??? ? ? ?????? ? ? ???切 向 慣 性 力法 向 慣 性 力 或 離 心 力 （ 1131） 舉例說明 慣性力在工程實際中有重要意義。 質點的達朗伯原理 設質量為 m 的非自由質 點 M，在主動力 F 和約束反力 FN 的作用下沿圖 1115a 所示的曲線運動，其加速度為 a 有 0IN ??? FFF （ 1132） 在質點運動的任一瞬時，質點所受的主動力、約束反力與質點的慣性力的矢量和等于零 。也可理解為： 在質點運動的任一瞬時，質點所受的主動力、約束反力與虛加的質點慣性力在形式上構成一平衡力系。 這就是 質點的達朗伯原理。 需要 特別強調： （ 1） 質點 在主動力和約束反力的作用下作變速運動 ，其加速度為 a。 （ 2）慣性力不是作用在質點上，而是假想的 虛加 在 質點 ，是虛構的。 （ 3）系統(tǒng)假想的牌平衡狀態(tài)， 靜力學 的平衡方程均可使用。因此 用靜力學方法來求解動力學問題稱為 質點的動靜法 。 圖 1115 例 117 加速度測定裝置是一個懸掛在車頂?shù)馁|量為 m 的單擺。當車廂作勻加速直線運動時，擺將偏向后方，穩(wěn)定在與鉛垂線成 ? 角的位置上。試求車廂的加速度 a 與偏角 ? 的關系。 解 以擺錘為研究對象，擺錘與車廂一樣，有向右的加速度 a 。它受到兩個力作用，重力 G 和繩子的拉力 TF 。按動靜法求解時，還應在擺錘上虛加它的慣性力 IF ，其大小為 maF?I ，方向與 a 相反，即水平向左，為與實際作用的力相區(qū)別，慣性力用虛線畫出，如圖 1116 所示。于是，問題在形式上轉化為 G、 TF 和 IF 三個匯交力的平衡問題。取 x 軸垂直于繩子，方向如圖 1116 所示。列平衡方程 0c o ss i n0 ???? ?? Iix FGF 所以 gamgmaGF ??? I?ta n 即 ?tanga? 由此可見，測定出 ? 角即可算出車廂的加速度。制作儀器時，可在讀數(shù)盤上直接標示出加速度數(shù)值。 工程實例：在乘坐車、船和電梯時，啟動瞬間人們經常感覺不舒適， 這是由于加速度較大的原因。在鐵路上經常利用加速度儀來測定列車的加速度，以檢查線路的高低不平順和方向的變化。 例 118 球磨機的滾筒以勻角速度繞水平軸 O 轉動，內裝鋼球和需要粉碎的物料。鋼球被筒壁帶到一定高度的 A 處脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料，如圖 117a 所示。設滾筒內壁半徑為 r，試求脫離處半徑 OA 與鉛直線的夾角 1? （脫離 圖 1116 角）。 解 先研究隨著筒壁一起轉動、沿未脫離筒壁的 某個鋼球的運動，然后考察它脫離筒壁的條件。鋼球未脫離筒壁時受到的力有重力 G、筒壁的法向反力 FN 和切向摩擦力F，如圖 117b 所示。此外，再虛加鋼球的慣性力 FI。因為鋼球隨著筒壁作勻速圓周運動，故只有法向慣性力，其大小為 2IF mrω? ，方向背離中心 O。根據(jù)動靜法，這四個力構成假想的平衡力系。 列出沿法線方向的平衡方程 0??niF 0c o s IN ??? FGF ? 由此可得 2N c o srωFG g ????????? 從上式可見，隨著鋼球的上升（即隨著 ? 角的減?。戳?FN 的值將逐漸減小。在鋼球即將脫離筒壁的瞬時，有條件 FN=0。代入上式后，得到脫離角 21 arccos rωg? ??? ???? 順便指出，當時 2 1rωg ?，有 01?? ，這相當于鋼球始終不脫離筒壁，使球磨機不能工作。記這種情況下的滾筒角速度為 rg?1? 對于球磨機，鋼球應在 適當?shù)慕嵌让撾x筒壁，故要求 1ωω? 。而對于離心澆鑄機，為了使金屬熔液在旋轉著的鑄型內能緊貼內壁而成型，則要求 1ωω? 。 圖 1117 課程名稱 工程力學 教學單元名稱 剛體的平行移動 剛體繞定軸轉動 單元能力培養(yǎng)目標 1．掌握剛體平動和繞定軸轉動的特征； 2．掌握剛體平動和定軸轉動的運動方程，以有剛體繞定軸轉動時其上任意點的速度和加速度的計算。 3．理解輪系轉動的規(guī)律和計算方法 知識點 剛體平動，剛體繞定軸轉動，角速度與角加速度，轉動剛體上各點的速度和加速度。 單元教學設計 結合工程實例，講清楚剛體基本運動特征；突出工程中應用，對難以理解的結構輔助以多媒體 單元教學方式 多媒體 作業(yè) 習題 P91 62 64 【教學內容】 剛體的平行移動 剛體在運動過程中，若其上任意直 線始終保持與初始位置平行，則這種運動稱為剛體的平行移動 （簡稱 平動 ） 。 圖 121 剛體平動時，其上所有各點的軌跡形狀都相同且互相平行；在同一瞬時，所有各點具有相同的速度和加速度。 剛體平動的問題可以歸結為一個點的運動問題。 例 121 曲柄導桿機構如圖 122 所示，曲柄 OA 繞固定軸 O 轉動，通過滑塊 A 帶動導桿 BC 在水平導槽內作直線往復運動。已知曲柄 OA=r， t??? （ ? 為常 量），求導桿有任一瞬時速度和加速度。 圖 1