【正文】 14a所示為一手搖絞車(chē)，絞車(chē)軸直徑 30mmd ? ，材料為 Q235 鋼，其許用應(yīng)力 ? ? 80MPa? ? 。試用最大切應(yīng)力理論確定絞車(chē)的許可吊重 ??W 。 解 （ 1）外力分析 將重 力向輪心平移，得到垂直向下的橫向力 W 和作用面與軸線垂直的力偶矩 eM WR? ，如圖 814b所示。所以軸的 AC 段將發(fā)生彎扭組合變形。 （ 2）內(nèi)力分析 繪出軸的彎矩圖和扭矩圖如圖 814c、 d 所示。由圖可知， AC 段的截面 C 為危險(xiǎn)截面，其上的彎矩 zM 和扭矩 yM 分別為 1 0. 2 ( N m )4zM W l W? ? ? 0. 18 ( N m )yM W R W? ? ? （ 3）確定許可吊重 ??W 由式（ 819）可得 ? ? ? ?2222r3 33 N m N m 80 MP a( 30 10 m )32zxzWWMMW? ? ?? ? ??? ? ??? 于是有 W ≤ 6 2 3 3228 0 1 0 N /m ( 3 0 1 0 m ) 7 8 8 . 1 N3 2 ( 0 . 2 m ) ( 0 . 1 8 m )? ?? ? ? ? ??? 所以 許可吊重 ??W ≤ 例 88 電動(dòng)機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器帶動(dòng)一個(gè)齒輪軸，如圖 815a 所示。已知兩軸承之間的距離 200mml ? ，齒輪嚙合力的切向分力 5kNF? ? ，徑向分力 2kNrF ? ，齒輪節(jié)圓直徑 200mmD? ，軸的直徑 50mmd ? ，材 料的許用應(yīng)力 ? ? 55MPa? ? 。試校核此軸強(qiáng)度。 圖 814 解 （ 1）外力分析 將切向力 ?F 向輪心平移，繪出軸的受力圖，如圖 815b 所示，得附加力偶矩為 0. 2 m5 kN m 0. 5 kN m22e DMF ?? ? ? ? ? 力 rF 使軸在鉛垂平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲變形，力偶 eM 使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，力 ?F 使 軸在水平平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲變形。所以，此軸為彎扭組合變形。 （ 2）內(nèi)力分析 畫(huà)軸的扭矩圖，如圖 815c 所示，扭矩值為 0 .5 k N mxeMM? ? ? 畫(huà)出軸在鉛垂平面內(nèi)的彎矩圖，如圖 815d 所示。最大彎矩發(fā)生在 C 截面，其值為 2 k N 0 . 2 m 0 . 1 k N m44rxc FlM ?? ? ? ? 由內(nèi)力圖可見(jiàn)， C 稍右截面為危險(xiǎn)截面。 （ 3）強(qiáng)度校核 按第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度，由式（ 821）得 ? ?2 2 233 2 3 2 3 233( 10 N m ) ( 10 N m ) ( 10 N m )50 10 m / 32 MP az c y c xrzM M MW?? ????? ? ? ? ? ? ? ????? 所以 3r? ＜ ? ? 55MPa? ? 此軸的強(qiáng)度能滿足要求。 課程名稱(chēng) 工程力學(xué) 圖 815 【教 學(xué)內(nèi)容】 教學(xué)單元名稱(chēng) 第 9 章 壓桿穩(wěn)定 壓桿穩(wěn)定的概念 壓桿穩(wěn)定的臨界力和臨界應(yīng)力 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 理解壓桿穩(wěn)定的概念、壓桿的失穩(wěn)現(xiàn)象、 壓桿的臨界力、臨界應(yīng)力以及柔度的概念。 掌 握壓桿的歐拉公式的適用范圍，會(huì)進(jìn)行壓桿穩(wěn)定性計(jì)算。 知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn) 壓桿穩(wěn)定性、壓桿的臨界力、臨界應(yīng)力、柔度、歐拉公式，會(huì)應(yīng)用歐拉公式求解壓桿的柔度及臨界應(yīng)力、判斷壓桿失穩(wěn)的方向。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 工程實(shí)例來(lái)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn)的理解來(lái)完成培養(yǎng)目標(biāo)。 單元教學(xué)方式 理論教學(xué)＋多媒體 作業(yè) 教材 P286 20－ 20－ 20－ 4 第九章 壓桿穩(wěn)定 壓桿穩(wěn)定的概念 壓桿的概念 工程 工程中把承受軸向壓力的直桿稱(chēng)為壓桿 。 從強(qiáng)度觀點(diǎn)看，桿件只要滿足壓縮強(qiáng)度條件，就能保證壓桿的正常工作。實(shí)踐證明，這個(gè)結(jié)論僅適用于短粗壓桿 。 . 2 失穩(wěn) 由于壓桿軸線不能維持原有的直線形狀平衡，喪失了穩(wěn)定性 的 現(xiàn)象簡(jiǎn)稱(chēng) 為 失穩(wěn) 。壓桿失穩(wěn)是不同于強(qiáng)度破壞的又一種失效形式，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)壓桿必須給予足夠的重視 。 為確保細(xì)長(zhǎng)壓桿 能 正常工作，不僅要進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計(jì)算，還要進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算。壓桿的失穩(wěn)是突然發(fā)生的，其后果十分嚴(yán)重 。 在機(jī)械工程中，有許多較細(xì)長(zhǎng)的受壓桿，如內(nèi)燃機(jī)中的連桿、液壓缸的活塞桿、起重機(jī)的吊臂等，都需要考慮穩(wěn)定性問(wèn)題。 壓桿的穩(wěn)定性 桿件在其原有幾何形狀下保持平衡的能力稱(chēng)為桿件的穩(wěn)定性 。 以 圖 91 所示的細(xì)長(zhǎng)壓桿為例 ， 說(shuō)明壓桿的失穩(wěn)過(guò)程 。 在桿端施加軸向壓力 F ， 當(dāng) F 較小時(shí)，桿件處于直線平衡形式（圖 91a），若施加一橫向干擾力，桿件將發(fā)生微小的彎曲變形（圖 91b），撤掉干擾力，桿件仍能恢復(fù)到原 來(lái)的直線平衡狀態(tài) (圖 91c)， 此時(shí)桿件處于穩(wěn)定性平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力 F 逐漸增大到某一值時(shí)，桿件在橫向干擾力作用下發(fā)生彎曲，撤去橫向干擾力后，桿件不能恢復(fù)到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)，而處于微彎的平衡狀態(tài)（圖 91d）。若壓力繼續(xù)增加，桿件因彎曲變形顯著增加而喪失工作能力 。 在軸向壓力逐漸增大的過(guò)程中，壓桿經(jīng)歷了從穩(wěn)定性平衡到不穩(wěn)定性平衡兩個(gè)階段。 壓桿能否保持穩(wěn)定，與其所承受的軸向壓 F 力大小有關(guān)。 壓桿由穩(wěn)定性平衡過(guò) 渡到非穩(wěn)定性平衡的極限狀態(tài)稱(chēng)為臨界狀態(tài)，與臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的軸向壓力 F 稱(chēng)為臨界壓力或臨界載荷，用 crF 表示 。臨界力 crF 大，壓桿不宜失穩(wěn)，臨界力 crF 小，壓桿宜失穩(wěn)。解決壓桿穩(wěn)定性的關(guān)鍵是確定臨界力 crF 的大小。 壓桿穩(wěn)定的臨界力和臨界應(yīng)力 壓桿的臨 界力 臨界力 crF 是判斷壓桿是否穩(wěn)定的依據(jù)。細(xì)長(zhǎng)桿的臨界力 crF 是壓桿發(fā)生彎曲而失穩(wěn)的最小壓力值。當(dāng)桿內(nèi) 應(yīng) 力不超過(guò)材料的比例極限 p? 時(shí)，臨界力的大小與壓桿的抗彎剛度成正比，與壓桿長(zhǎng)度的平方成反比，并與壓桿兩端的支承情況有關(guān)。各種不同約束情況下的臨界力公式，可用統(tǒng)一形式表示，稱(chēng)為計(jì)算臨界力的歐拉公式： ? ?2cr 2EIF l??? （ 91） 式中 E —— 材料的彈性模量； I —— 壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性矩（ 4mm ）； ? —— 與桿件橫截面兩端支承情況有關(guān)的長(zhǎng)度系數(shù)，其值見(jiàn)表 91； l —— 桿件的長(zhǎng)度； l? —— 與桿件支承情況有關(guān)的長(zhǎng)度系數(shù)，稱(chēng)為計(jì)算長(zhǎng)度。 壓桿的臨界應(yīng)力 壓桿在臨界力作用下橫截面上的壓應(yīng)力，稱(chēng)為臨界應(yīng)力，以 cr? 表示， ? ? ? ?22cr 2cr /F EEiA l l i??? ??? ? ? ? （ 92） 令 li??? ， 則得到臨界應(yīng)力的歐拉公式： 2cr 2E?? ?? （ 93） 式中 ? —— 壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比，是一個(gè)無(wú)量綱的量。 圖 91 圖 92 上式表明： cr? 與 2? 成反比， ? 愈大，壓桿愈細(xì)長(zhǎng)，臨界應(yīng)力 cr? 愈小，壓桿愈容易失穩(wěn)。反之， ? 愈小，壓桿愈粗短，臨界應(yīng)力 cr? 愈大，壓桿愈不易失穩(wěn)。 ? 綜合反映了桿件的長(zhǎng)度、截面形狀和尺寸以及桿兩端支承情況等因素對(duì)臨界應(yīng)力的影響。 例 91 如圖 92 所示一端固定 ， 一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿，用 22a 工字鋼制成 ,壓桿長(zhǎng)度 4ml? ， 彈性模量 210GPaE ? ,試用歐拉公式求此壓桿的臨界力。 解 壓桿一端固 定，一端自由， 2?? 。由型鋼表可查得 22a 工字鋼： 43400cmzI ? ，4225cmyI ? ，故壓桿的臨界力為 ? ? ? ? ? ?22 2 9 8 4 3m incr 2 2 2π 21 0 10 P a 22 5 10 m 72 .9 10 N = 72 .9 kN2 4 myEIEIFll???? ? ? ?? ? ? ? ?? 討論 當(dāng)壓桿在各彎曲平面內(nèi)具有相同的桿端約束時(shí)，用工字鋼作壓桿是否合理？ 歐拉公式的適用范圍 由于歐拉公式是在材料服從于胡克定律的條件下推導(dǎo)得出的，所以，只有當(dāng)桿內(nèi)臨界應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限 P? 時(shí)，歐拉公式才能適用，即 2cr 2E?? ??≤ p? 由此可導(dǎo)出對(duì)應(yīng)于比例極限時(shí)的柔度 p? 為 2p pE?? ?? （ 94） 則有歐拉公式的適用范圍是 ? ≥ p? 把 ? ≥ p? 的壓桿稱(chēng)為 細(xì)長(zhǎng)桿或大柔度桿 。歐拉公式只適用于細(xì)長(zhǎng)桿。 p? 的數(shù)值取決于材料的彈性模量及比例極限 P? 。各種材料的 E 和 P? 不同，其 p? 值也是不同的。對(duì)于 Q235 鋼制成的壓桿，當(dāng)實(shí)際柔度 ? ≥ 100時(shí)，才能用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力。 臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式 工程中的壓桿柔度往往小于 p? ，此時(shí)仍會(huì)發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，但歐拉公式已不適用。對(duì)于這類(lèi)壓桿的臨界應(yīng)力計(jì)算，工程中一般采用以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式，即 cr ab???? （ 95） 式中 a 、 b 與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)（見(jiàn)表 92），單位為 MPa 。 對(duì)于塑性材料制成的壓桿，其臨界應(yīng)力不得超過(guò)材料的屈服極限 s? ，即 cr ab???? ＜ s? 或 ?＞ ssa b? ?? ? 式中 s? —— 對(duì)應(yīng)于屈服極限的柔度值，稱(chēng)為屈服極限柔度。當(dāng)柔度 ? 在 60～ 100 之間時(shí)，才能使用經(jīng)驗(yàn)公式。公式（ 95）的適用范圍為 s? ＜ ? ＜ p? 柔度在 s? 和 p? 之間的壓桿， 稱(chēng)為中長(zhǎng)桿或中柔度桿 。 對(duì)于柔度 ? ≤ s? 的桿，稱(chēng)為小柔度桿和粗短桿。此類(lèi)桿失效的原因?qū)儆趶?qiáng)度不足，并非失穩(wěn)。 各類(lèi)桿的臨界應(yīng)力計(jì)算公式歸納如下： 1）當(dāng) ? ≥ p? 時(shí)，壓桿是細(xì)長(zhǎng)桿，采用歐拉公式 2cr 2E?? ?? 2）當(dāng) s? ＜ ? ＜ p? 時(shí)，壓桿是中長(zhǎng)桿，采用經(jīng)驗(yàn)公式 cr ab???? 3）當(dāng) ? ≤ s? 時(shí)，壓桿 是粗短桿，采用壓縮強(qiáng)度公式 cr s??? （塑性材料） cr b??? （脆性材料） 圖 93 所示為臨界應(yīng)力總圖，該圖表示了臨界應(yīng)力隨柔度 ? 的變化規(guī)律。 例 92 用 Q235 鋼制成三根壓桿 ， 兩端均為鉸接 ， 橫截面直徑為 50mmd ? ， 長(zhǎng)度分別為 1 2ml ? 、 2 1ml ? 、 3 ? 。試求三根壓桿的臨界壓力。 圖 93 解 （ 1）計(jì)算柔度，確定壓桿的臨界應(yīng)力公式。 三根壓桿的截面直徑相同， 464z dI ??， 24dA ??，則其橫截面的慣性半徑均為z 4I di A??，代入柔度計(jì)算公式得 111 1 2 0 0 0 m m 4 1604 5 0 m mllid??? ??? ? ? ? 1? ≥ p 100? ? ，桿 1 為細(xì)長(zhǎng)桿，用歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力。 222 1 1 0 0 0 m m 4 804 5 0 m mllid??? ??? ? ? ? s 60?? ＜ 2? ＜ p 100? ? ，桿 2 為中長(zhǎng)桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力。 333 1 5 0 0 m m 4 404 5 0 m mllid??? ??? ? ? ? 3? ＜ s 60?? ，桿 3 為粗短桿，其屈服點(diǎn)為臨界應(yīng)力。 （ 2）計(jì)算各桿的臨界壓力 2 2 21 c r1 22114E d EF A A ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? 23 3 9 325 0 1 0 m 2 0 6 1 0 Pa 1 5 6 1 0 N = 1 5 6 k N4 1 6 0? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?22 2 24dF A a b a b???? ? ? ? ? ? ? ?23 635 0 1 0 m 3 0 4 1 . 1 2 8 0 1 0 Pa 4 2 1