【正文】 課程名稱 工程力學 教學單元名稱 第 8 章 強度理論 組合變形 組合變形時的強度計算 單元能力培養(yǎng)目標 掌握直桿的拉（壓）與彎曲、圓軸的扭轉與彎曲的組合變形的強度計算。 具有對一般工程實際中發(fā)生較簡單的 拉（壓）與彎曲、圓軸扭轉與彎曲的組合變形的強度計算的能力 知識點 技能點 拉壓與彎曲組合變形、彎曲和扭轉組合變形的概念，學會分析其外力、內力和應力，并運用強度條件，解決組合變形時的強度計算能力。 單元教學設計 以工程中常見 的拉壓與彎曲組合變形、彎曲和扭轉組合變形為例，說明梁在受多種載荷作用時將產生組合變形，分析其外力、內力和應力，并以此分析梁危險截面上的最大工作應力，根據強度條件求解問題。 單元教學方式 理論授課＋多媒體 作業(yè) 81 8 82 822 【教學內容】 第八章 強度理論 組合變形 組合變形時的強度計算 組合變形―― 工程實 際中有些構件的受力情況比較復雜，往往會同時發(fā)生兩種及以上的基本變形的組合，由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的變形形式稱為組合。 組合變形實例 ――如圖 88 所示，其中圖 88a 所示的煙囪，除因自重而引起的軸向壓縮外，還有因水平方向風力作用而產生的彎曲變形，圖 88b、 c 所示的擋土墻和廠房立柱也屬于壓縮與彎曲的組合變形；圖 89 所示為電動機軸驅動一皮帶輪傳動，電動機軸承受的是彎曲和扭轉的組合變形。 組合變形時應力與應變計算的方法 ――在線彈性范圍內小變形條件下，各個基本變形所引起的應力和變形是各自獨立 的，可分別計算每組載荷作用下產生的一種基本變形，再計算構件在基本變形下的應力，最后將基本變形的應力疊加，進而得到構件在組合變形時的應力。之后，分析構件危險點處的應力狀態(tài)，用相應的強度條件公式進行計算。 構件組合變形有多種形式，下面主要介紹工程中常見的兩種組合變形，即拉壓與彎曲組合、彎曲和扭轉組合變形的強度計算。 圖 88 圖 89 拉 (壓 )與彎曲組合變形強度計算 1．拉（壓）彎組合變形的應力分析 拉壓變形與彎曲變形的組合是工程中常見的變形形式。以圖 810 矩形懸臂梁為例，說明其組合變形的強度計算方法。 （ 1） 外力分析 在自由端受力 F 作用，力F 位于梁縱向對稱平面內，并與梁軸線成夾角? 。將力沿 F 平行軸線方向和垂直軸線方向進行分解，得到分力 xF 和 yF ，其大小分別為 cosxFF?? sinyFF?? 分力 xF 使梁產生軸線拉伸變形，分力 yF使梁產生平面彎曲變形，在力 F 作用下，梁將產生拉彎組合變形。 （ 2） 內力分析 梁的內力圖如圖 810b、 c所示。因梁各橫截面上的軸力相等，均為 N cosxF F F ??? 梁固定端處的彎矩值最大，其值為 m a x sinyM F l Fl ??? 因此，梁的固定端截面 A 為危險截面。 （ 3） 應力分析 在危險截面上，拉應力 N? 是均勻分布的，如圖 810d 所示；彎曲正應力 M? 則沿截面高度呈線性分布，如圖 810e 所示。其值分別為 NN xFFAA? ?? ma xM zzMW? ? 根據疊加原理，可將 梁固定端處危險截面上的彎曲正應力和拉伸正應力相疊加，疊加后上、下邊緣危險點的應力分布如圖 810f所示，其值分別為 N m a xm a x N M z zFMAW? ? ?? ? ? ? ? _ N m a xm i n N M zzFMAW? ? ?? ? ? ? 對壓縮和彎曲的組合變形也采用相同的分析方法。 （ 4） 強度條件 對于抗拉強度和抗壓強度相等的塑性材料制成的構件，只要危險截面上的拉伸（壓縮）正應力和彎曲正應力，即最大工作應力不超過材料的許用應力，圖 810 就能滿足強度要求，其強度條件為 N z m a xm a x zFMAW? ??≤ ??? （ 818） 對于抗拉強度與抗壓強度不等的脆性材料，則根據危險截面上、下邊緣處的應力狀態(tài)及構件所選用材料的實際情況，依上述方法分別計算即可。 2．拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的強度計算 根據上述所建立的拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的強度條件，即可對拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的構件進行三類計算，即強度校核、尺寸設計和許可載荷的確定。 例 84 如圖 811 所示為簡易吊車，其 最大起重量為 15kNG? ，橫梁 AB 采用工字鋼，許用應力? ? 100MPa? ? ，若不計梁自重，試按正應力強度準則選擇工字鋼的型號。 解 （ 1）外力分析。橫梁可簡化為簡支梁，由于吊車帶著載重可沿橫梁移動，梁跨中處的彎矩最大，有危險截面，其受力圖如圖 811b 所示。由平衡方程 A ( ) 0iM ?? F s in 3 0 3 . 4 m 1 . 7 m 0BFG? ? ? ? 15 kNBFG?? 將 BF 分解得到沿軸線方向和垂直于軸線方向的兩個分力 c o s 3 0 1 5 k N 0 . 8 6 6 1 3 k NB x BFF? ? ? ? s i n 3 0 1 5 k N 0 . 5 7 . 5 k NB y BFF? ? ? ? 力 AyF 、 G 和 ByF 使梁 AB 發(fā)生彎曲，而力 BxF 和 AxF 使梁 AB 產生軸向壓縮。因此，梁 AB 在外力作用下發(fā)生軸向壓縮和彎曲組合變形。 （ 2）內力分析 繪梁的彎矩圖和軸力圖分別如圖 811c、 d 所示，梁 AB 跨中截面為危險截面，其上的軸力和彎矩分別為 N 13 kNBxFF?? m a x 15 kN 3. 4 m 12 .7 5 kN m44z GlM ?? ? ? ? （ 3）選擇工字鋼型號 由于橫梁跨中截面上的彎矩最大，故此截面的最大壓應力發(fā)生在該截面的上邊緣各點處。由強度條件 圖 811 N m axm ax zzFMAW? ?? ≤ ??? 確定工字鋼型號。因強度準則中有截面 A 和抗彎截面系數 zW 未知，不易確定。為此，可先考慮按彎曲正應力強度條件進行初步選擇，然后再按拉（壓）與彎曲組合變形強度條件進行校核。由彎曲正應力強度條件 maxmax zzMW? ? ≤ ??? 得 zW ≥ ? ? 3 6 3 3m a x6212 .7 5 10 N m 12 7. 5 10 m 12 7. 5 c m10 0 10 N /mzM ? ???? ? ? ?? 查型鋼表，選 16 號工字鋼，其 3 6 31 4 1 c m 1 4 1 1 0 mzW ?? ? ?， 2 4 22 6 .1 c m 2 6 .1 1 0 mA ?? ? ? （ 4）校核截面 按拉（壓）與彎曲組合變形強度條件進行校核 3 3N m a xm a x 4 2 6 31 3 1 0 N 1 2 . 7 5 1 0 N m2 6 . 1 1 0 m 1 4 1 1 0 mz zFMAW? ??? ??? ? ? ??? 69 5 . 4 1 0 P a 9 5 . 4 M P a? ? ?≤ ??? 選擇 16 號工字鋼能夠滿足強度要求。 例 85 夾具的受力如圖 812 所示。已知2kNF? ， 60mme? ， 10mmb? ， 22mmh? ，材料的許用應力 ? ? 170MPa? ? 。試校核夾具立桿的強度。 解 外力與立桿軸線平行，但不通過立桿軸線，立桿的這種變形通常為偏心拉伸（或壓縮），也是拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形。 （ 1）計算立桿所受力 由于夾具立桿發(fā)生偏心拉伸變形，可將力 F 向立桿軸線簡化，得到軸向力 F 和作用面在立桿縱向對稱面內的力偶，為 332 1 0 N 6 0 1 0 m 1 2 0 N meM F e ?? ? ? ? ? ? ? 一對軸向拉力 F 使立桿產生軸向拉伸變形，一對力 偶 eM 使立桿發(fā)生彎曲變形，故立桿為拉伸與彎曲組合變形。 （ 2）計算立桿截面上的內力 立桿橫截面上的軸力 NF 和彎矩 M 分別為 N 2kNFF?? ， 120 N meMM? ? ? （ 3）校核立桿強度 由于立桿為拉彎組合變形，故只需校核拉應力強度條件，其強度條件為 圖 812 3N z m a xm a x 2z2 1 0 N 1 2 0 N m10 . 0 1 m 0 . 0 2 2 m 0 . 0 1 m ( 0 . 0 0 2 m )6FMAW???? ? ? ?? ?? 61 5 7 .9 1 0 P a = 1 5 7 .9 M P a?? ≤ ??? 故立桿的強度足夠。 彎曲與扭轉組合變形強度計算 1．彎扭組合變形的應力分析 工程中的軸類構件，大多發(fā)生彎曲和扭轉組合變形。以圖 813 示的電動機軸為例，說明圓軸截面在彎曲和扭轉組合變形時的應力情況。 （ 1）外力分析 如圖 813b 所示，將電動機軸外伸部分簡化為懸臂梁，作用在帶輪兩側的的拉力分別為緊邊拉力 T2F 和松邊拉力 TF ，又因帶拉力作用在帶輪邊緣，需向軸橫截面形心簡化，故得到一個力 F 和矩為 eM 的力偶，其值分別為 T3FF? T T T12 2 2 2e DDM F F F D? ? ? 力 F 使軸沿鉛垂平面內發(fā)生彎曲變形，力偶 eM 使圓軸產生扭轉變形，所以電動機軸發(fā)生彎曲與扭轉的組合變形。 （ 2）內力分析 畫出圓軸的內力圖如圖 813c、 d 所示，圓軸各橫截面上的扭矩都相同，軸上各點彎矩是變化的，在固定端 A 截面上的彎矩值為最大，所以橫截面 A 為危險截面，其上的彎矩值和扭矩值分別為 T3zM Fl F l?? T12xeM M F D?? （ 3）應力分析 在危險截面上同時作用著彎矩和扭矩，所以該截面上必然同時存在彎曲正應力和扭轉切應 力。切應力與危險截面相切，截面外輪廓上各點的切應力為最大；彎曲正應力與橫截面垂直，截面的上、下兩點的彎曲正應力為最大。其彎曲正應力和切應力分布規(guī)律如圖 814e、 f所示，由圖可看出，鉛垂直徑上、下兩端的 C 和 E 點處，為彎矩和扭矩組合變形的危險點其應力值分別為 zzMW?? pxMW?? （ 4）強度條 件 在危險截面的 C 或 E 點處，切取一單元體，如圖 813g、 h 所示?？煽闯?C 點為平面應力狀態(tài)，其中 xW??? ， 0y?? ， xy???? 。由于機械傳動中的圓軸一般是用塑性材料制成的，所以 C 點 的強度可采用第三或第四強度理論進行強度計算。 若用第三強度理論的強度條件，由式（ 816）可知 22r3 4? ? ???≤ ??? 對于圓截面軸 332z dW ?? 3pp216dWW???，將以上各值代入到式（ 816），得到 22zr3 xzMMW? ?? ≤ ??? （ 819） 同理，由式（ 817）可得到第四強度理論的強度條件為 22r3 5zxzMMW? ?? ≤ ??? （ 820） 一般情況下，軸所受到的橫向力可能有若干個，并且可能來自不同的方向，此時，可將這些橫向力沿鉛垂方向和水平方向進行分解，然后按垂直和水平平面內的彎矩 zM和 yM ，分別畫出其彎矩圖，再求出圓軸橫截面上的總彎矩值為 22xyM M M?? 之后，建立圓軸的強度條件 第三強度理論的強度條件為 222r3 z y xzMMMW???? ≤ ??? （ 821） 第四強度理論的強度條件為 2 2 2r30 .7 5z y xzM M MW???? ≤ ??? （ 822） 2．彎扭組合 變形的強度計算 根據上述所建立的彎扭組合變形的強度條件，同樣可對彎扭組合變形的構件進行三類計算，即強度校核、尺寸設計和許可載荷的確定。下面舉例說明。 圖 813 例 86 如圖 8