【正文】 2cr /F EEiA l l i??? ??? ? ? ? （ 92） 令 li??? ， 則得到臨界應(yīng)力的歐拉公式： 2cr 2E?? ?? （ 93） 式中 ? —— 壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比，是一個(gè)無(wú)量綱的量。 壓桿穩(wěn)定的臨界力和臨界應(yīng)力 壓桿的臨 界力 臨界力 crF 是判斷壓桿是否穩(wěn)定的依據(jù)。 壓桿能否保持穩(wěn)定，與其所承受的軸向壓 F 力大小有關(guān)。 在桿端施加軸向壓力 F ， 當(dāng) F 較小時(shí)，桿件處于直線平衡形式（圖 91a），若施加一橫向干擾力，桿件將發(fā)生微小的彎曲變形（圖 91b），撤掉干擾力，桿件仍能恢復(fù)到原 來(lái)的直線平衡狀態(tài) (圖 91c)， 此時(shí)桿件處于穩(wěn)定性平衡狀態(tài)。壓桿的失穩(wěn)是突然發(fā)生的，其后果十分嚴(yán)重 。實(shí)踐證明，這個(gè)結(jié)論僅適用于短粗壓桿 。 知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn) 壓桿穩(wěn)定性、壓桿的臨界力、臨界應(yīng)力、柔度、歐拉公式，會(huì)應(yīng)用歐拉公式求解壓桿的柔度及臨界應(yīng)力、判斷壓桿失穩(wěn)的方向。最大彎矩發(fā)生在 C 截面，其值為 2 k N 0 . 2 m 0 . 1 k N m44rxc FlM ?? ? ? ? 由內(nèi)力圖可見(jiàn)， C 稍右截面為危險(xiǎn)截面。試校核此軸強(qiáng)度。所以軸的 AC 段將發(fā)生彎扭組合變形。下面舉例說(shuō)明。其彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分布規(guī)律如圖 814e、 f所示，由圖可看出，鉛垂直徑上、下兩端的 C 和 E 點(diǎn)處，為彎矩和扭矩組合變形的危險(xiǎn)點(diǎn)其應(yīng)力值分別為 zzMW?? pxMW?? （ 4）強(qiáng)度條 件 在危險(xiǎn)截面的 C 或 E 點(diǎn)處，切取一單元體，如圖 813g、 h 所示。以圖 813 示的電動(dòng)機(jī)軸為例，說(shuō)明圓軸截面在彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形時(shí)的應(yīng)力情況。 解 外力與立桿軸線平行，但不通過(guò)立桿軸線，立桿的這種變形通常為偏心拉伸（或壓縮），也是拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形。由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 maxmax zzMW? ? ≤ ??? 得 zW ≥ ? ? 3 6 3 3m a x6212 .7 5 10 N m 12 7. 5 10 m 12 7. 5 c m10 0 10 N /mzM ? ???? ? ? ?? 查型鋼表，選 16 號(hào)工字鋼，其 3 6 31 4 1 c m 1 4 1 1 0 mzW ?? ? ?， 2 4 22 6 .1 c m 2 6 .1 1 0 mA ?? ? ? （ 4）校核截面 按拉（壓）與彎曲組合變形強(qiáng)度條件進(jìn)行校核 3 3N m a xm a x 4 2 6 31 3 1 0 N 1 2 . 7 5 1 0 N m2 6 . 1 1 0 m 1 4 1 1 0 mz zFMAW? ??? ??? ? ? ??? 69 5 . 4 1 0 P a 9 5 . 4 M P a? ? ?≤ ??? 選擇 16 號(hào)工字鋼能夠滿足強(qiáng)度要求。 （ 2）內(nèi)力分析 繪梁的彎矩圖和軸力圖分別如圖 811c、 d 所示，梁 AB 跨中截面為危險(xiǎn)截面，其上的軸力和彎矩分別為 N 13 kNBxFF?? m a x 15 kN 3. 4 m 12 .7 5 kN m44z GlM ?? ? ? ? （ 3）選擇工字鋼型號(hào) 由于橫梁跨中截面上的彎矩最大，故此截面的最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面的上邊緣各點(diǎn)處。 解 （ 1）外力分析。其值分別為 NN xFFAA? ?? ma xM zzMW? ? 根據(jù)疊加原理，可將 梁固定端處危險(xiǎn)截面上的彎曲正應(yīng)力和拉伸正應(yīng)力相疊加，疊加后上、下邊緣危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力分布如圖 810f所示，其值分別為 N m a xm a x N M z zFMAW? ? ?? ? ? ? ? _ N m a xm i n N M zzFMAW? ? ?? ? ? ? 對(duì)壓縮和彎曲的組合變形也采用相同的分析方法。將力沿 F 平行軸線方向和垂直軸線方向進(jìn)行分解，得到分力 xF 和 yF ，其大小分別為 cosxFF?? sinyFF?? 分力 xF 使梁產(chǎn)生軸線拉伸變形，分力 yF使梁產(chǎn)生平面彎曲變形，在力 F 作用下，梁將產(chǎn)生拉彎組合變形。 構(gòu)件組合變形有多種形式，下面主要介紹工程中常見(jiàn)的兩種組合變形，即拉壓與彎曲組合、彎曲和扭轉(zhuǎn)組合變形的強(qiáng)度計(jì)算。 單元教學(xué)方式 理論授課＋多媒體 作業(yè) 81 8 82 822 【教學(xué)內(nèi)容】 第八章 強(qiáng)度理論 組合變形 組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算 組合變形―― 工程實(shí) 際中有些構(gòu)件的受力情況比較復(fù)雜，往往會(huì)同時(shí)發(fā)生兩種及以上的基本變形的組合，由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的變形形式稱為組合。 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 第 8 章 強(qiáng)度理論 組合變形 組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 掌握直桿的拉（壓）與彎曲、圓軸的扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形的強(qiáng)度計(jì)算。 組合變形實(shí)例 ――如圖 88 所示，其中圖 88a 所示的煙囪，除因自重而引起的軸向壓縮外，還有因水平方向風(fēng)力作用而產(chǎn)生的彎曲變形，圖 88b、 c 所示的擋土墻和廠房立柱也屬于壓縮與彎曲的組合變形；圖 89 所示為電動(dòng)機(jī)軸驅(qū)動(dòng)一皮帶輪傳動(dòng)，電動(dòng)機(jī)軸承受的是彎曲和扭轉(zhuǎn)的組合變形。 圖 88 圖 89 拉 (壓 )與彎曲組合變形強(qiáng)度計(jì)算 1．拉（壓）彎組合變形的應(yīng)力分析 拉壓變形與彎曲變形的組合是工程中常見(jiàn)的變形形式。 （ 2） 內(nèi)力分析 梁的內(nèi)力圖如圖 810b、 c所示。 （ 4） 強(qiáng)度條件 對(duì)于抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料制成的構(gòu)件，只要危險(xiǎn)截面上的拉伸（壓縮）正應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力，即最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力，圖 810 就能滿足強(qiáng)度要求，其強(qiáng)度條件為 N z m a xm a x zFMAW? ??≤ ??? （ 818） 對(duì)于抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度不等的脆性材料，則根據(jù)危險(xiǎn)截面上、下邊緣處的應(yīng)力狀態(tài)及構(gòu)件所選用材料的實(shí)際情況，依上述方法分別計(jì)算即可。橫梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，由于吊車(chē)帶著載重可沿橫梁移動(dòng)，梁跨中處的彎矩最大，有危險(xiǎn)截面，其受力圖如圖 811b 所示。由強(qiáng)度條件 圖 811 N m axm ax zzFMAW? ?? ≤ ??? 確定工字鋼型號(hào)。 例 85 夾具的受力如圖 812 所示。 （ 1）計(jì)算立桿所受力 由于夾具立桿發(fā)生偏心拉伸變形，可將力 F 向立桿軸線簡(jiǎn)化，得到軸向力 F 和作用面在立桿縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶，為 332 1 0 N 6 0 1 0 m 1 2 0 N meM F e ?? ? ? ? ? ? ? 一對(duì)軸向拉力 F 使立桿產(chǎn)生軸向拉伸變形，一對(duì)力 偶 eM 使立桿發(fā)生彎曲變形，故立桿為拉伸與彎曲組合變形。 （ 1）外力分析 如圖 813b 所示，將電動(dòng)機(jī)軸外伸部分簡(jiǎn)化為懸臂梁，作用在帶輪兩側(cè)的的拉力分別為緊邊拉力 T2F 和松邊拉力 TF ，又因帶拉力作用在帶輪邊緣，需向軸橫截面形心簡(jiǎn)化，故得到一個(gè)力 F 和矩為 eM 的力偶，其值分別為 T3FF? T T T12 2 2 2e DDM F F F D? ? ? 力 F 使軸沿鉛垂平面內(nèi)發(fā)生彎曲變形，力偶 eM 使圓軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，所以電動(dòng)機(jī)軸發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。可看出 C 點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)，其中 xW??? ， 0y?? ， xy???? 。 圖 813 例 86 如圖 814a所示為一手搖絞車(chē)，絞車(chē)軸直徑 30mmd ? ，材料為 Q235 鋼，其許用應(yīng)力 ? ? 80MPa? ? 。 （ 2）內(nèi)力分析 繪出軸的彎矩圖和扭矩圖如圖 814c、 d 所示。 圖 814 解 （ 1）外力分析 將切向力 ?F 向輪心平移，繪出軸的受力圖，如圖 815b 所示，得附加力偶矩為 0. 2 m5 kN m 0. 5 kN m22e DMF ?? ? ? ? ? 力 rF 使軸在鉛垂平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲變形，力偶 eM 使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，力 ?F 使 軸在水平平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲變形。 （ 3）強(qiáng)度校核 按第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度，由式（ 821）得 ? ?2 2 233 2 3 2 3 233( 10 N m ) ( 10 N m ) ( 10 N m )50 10 m / 32 MP az c y c xrzM M MW?? ????? ? ? ? ? ? ? ????? 所以 3r? ＜ ? ? 55MPa? ? 此軸的強(qiáng)度能滿足要求。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 工程實(shí)例來(lái)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn) 技能點(diǎn)的理解來(lái)完成培養(yǎng)目標(biāo)。 . 2 失穩(wěn) 由于壓桿軸線不能維持原有的直線形狀平衡，喪失了穩(wěn)定性 的 現(xiàn)象簡(jiǎn)稱 為 失穩(wěn) 。 在機(jī)械工程中，有許多較細(xì)長(zhǎng)的受壓桿，如內(nèi)燃機(jī)中的連桿、液壓缸的活塞桿、起重機(jī)的吊臂等，都需要考慮穩(wěn)定性問(wèn)題。當(dāng)壓力 F 逐漸增大到某一值時(shí)，桿件在橫向干擾力作用下發(fā)生彎曲，撤去橫向干擾力后，桿件不能恢復(fù)到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)，而處于微彎的平衡狀態(tài)（圖 91d）。 壓桿由穩(wěn)定性平衡過(guò) 渡到非穩(wěn)定性平衡的極限狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)，與臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)的軸向壓力 F 稱為臨界壓力或臨界載荷，用 crF 表示 。細(xì)長(zhǎng)桿的臨界力 crF 是壓桿發(fā)生彎曲而失穩(wěn)的最小壓力值。 圖 91 圖 92 上式表明： cr? 與 2? 成反比， ? 愈大，壓桿愈細(xì)長(zhǎng)，臨界應(yīng)力 cr? 愈小，壓桿愈容易失穩(wěn)。 解 壓桿一端固 定，一端自由， 2?? 。各種材料的 E 和 P? 不同，其 p? 值也是不同的。 對(duì)于塑性材料制成的壓桿，其臨界應(yīng)力不得超過(guò)材料的屈服極限 s? ，即 cr ab???? ＜ s? 或 ?＞ ssa b? ?? ? 式中 s? —— 對(duì)應(yīng)于屈服極限的柔度值，稱為屈服極限柔度。此類(lèi)桿失效的原因?qū)儆趶?qiáng)度不足，并非失穩(wěn)。 圖 93 解 （ 1）計(jì)算柔度，確定壓桿的臨界應(yīng)力公式。 （ 2）計(jì)算各桿的臨界壓力 2 2 21 c r1 22114E d EF A A ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? 23 3 9 325 0 1 0 m 2 0 6 1 0 Pa 1 5 6 1 0 N = 1 5 6 k N4 1 6 0? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?22 2 24dF A a b a b???? ? ? ? ? ? ? ?23 635 0 1 0 m 3 0 4 1 . 1 2 8 0 1 0 Pa 4 2 1 1 0 N = 4 2 1 k N4? ???? ? ? ? ? ? ?? ? 23 63sπ 5 0 1 0 m 2 3 5 1 0 Pa4FA ? ?? ? ? ? 34 6 1 1 0 N = 4 6 1 k N?? 例 93 一壓桿長(zhǎng) 200mml ? ，矩形截面寬 2mmb? ，高 10mmh ? ，壓桿兩端為球鉸支座，材料為 Q235 ， 200GPaE ? ，試計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力。因兩端可簡(jiǎn)化為鉸支， 1?? ，故 1 20 0 m m 1212 34 m mllib??? ???? ? ? ?＞ p? （ 3）用歐拉公式計(jì)算其臨界應(yīng)力 ? ?2 2 9 6cr 222 0 0 1 0 Pa 1 6 . 4 1 0 Pa3 4 6 . 2E??? ? ??? ? ? ? 課程名稱 工程力 學(xué) 教學(xué)單元名稱 第 9 章 壓桿穩(wěn)定 壓桿穩(wěn)定性計(jì)算 提高壓桿穩(wěn)定性的措施 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 掌握 壓桿穩(wěn)定性校核的方法以及提高壓桿穩(wěn)定性的方法，初步具