【導讀】程的作用、工程力學課程的任務。力學的性質；掌握工程力學的任務。單元教學設計以工程實例為任務進行引領，采用多媒體、教學模式培養(yǎng)能力。各種機械設備和工程結構都是由若干基本的零、部件按照一定規(guī)律組成的，響到工件的加工精度，變形是剛度問題。此外，某些機構、結構或構件除進行強度、剛。過大的軸向壓力，就會突然發(fā)生彎曲，失去原有穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這種現象稱之為失穩(wěn)。使物體運動狀態(tài)改變是力的外效應；使物體變形是力的內效應。衡是指物體相對于地球處于靜止狀態(tài)或作勻速直線運動狀態(tài)。力系平衡條件以及利用平衡方程求解未知力，即研究剛體在力作用下的平衡規(guī)律。化與其受力之間的關系。的功能的現象，稱為失效。小變形的影響，而將其簡化為“剛體”。將變形固體視為剛體。不同，有時要看作質點，有時要看作剛體。于現有理論還不能解決的某些復雜的工程力學問題，有時要依靠試驗方法得以解決。上述工程力學的三種研究方法是相輔相成、互為

　　

【正文】 力系 若取 x 軸與各力的作用線垂直。則不論平行力系是否平衡。各力在 x 軸上的投影均為零。即 ΣFix = 0 是恒等式。因此平面平行力系獨立的平衡方程為 0( ) 0iyOiFM???? F 二矩式為 ( ) 0( ) 0AiBiMM????FF 其中， 矩心 A、 B 兩點的連線不能與各力的作用線平行。 平面匯交力系或平面平行力系只有兩個獨立平衡 方程。 故此 只能求解兩個未知量。 38 若力在一定范圍內連續(xù)均勻分布于物體上，則稱之為 均布載荷 ，即 q=常數。載荷集度的單位是 N/m或 kN/m。如圖 233 所示為沿桿件軸線均勻、連續(xù)分布的載荷，在進行受力分析計算時常將均布載荷簡化為一個集中力 F，其大小為 F ql? (l 為載荷作用的長度 )，作用線通過作用長度的中點如圖 233。 例 211 如圖所示 ,物重 20kNG? ,用鋼絲繩經過滑輪 B 再纏繞在絞車 D 上。桿 AB與 BC 鉸接 ,并以鉸鏈 A、 C 與墻連接。設兩桿和滑輪的自重不計 ,并略去摩擦和滑輪的尺寸 ,求平衡時桿 AB 和 BC 所受的力。 解 （ 1）由于滑輪 B 上作用著已知力和未知力，故取滑輪 B 為研究對象，畫其受力圖?；喪茕摻z繩拉力 FT1 與 FT2 作用，且 T1 T2F F G???；喭瑫r還受到二力桿 AB與 BC 的約束反力 FBA 和 FBC作用，滑輪在四個力作用下處于平衡，由于滑輪尺寸不計，這些力可看作平衡的平面匯交力系，滑輪 B 的受力圖如圖 234d 所示。 （ 2）由于兩未知力 FBA 和 FBC相互垂直，故選取坐標軸 x， y 如圖 234d 所示。 （ 3）列平衡方程并求解。 T 1 T 20 c o s 6 0 c o s 3 0 0i x B AF F F F? ? ? ? ? ? ?? T 1 T 20 c o s 3 0 c o s 6 0 0i y B CF F F F? ? ? ? ? ?? 圖 233 39 T 1 T 21 3 1 3 7. 32 kN2 2 2 2BAF F F G G? ? ? ? ? ? T 1 T 23 1 3 1 2 7 .3 2 k N2 2 2 2BCF F F G G? ? ? ? ? FAB 為負值，表示此力的實際指向與圖示相反，即 AB 桿受壓力。 例 212 在水平雙伸梁上作用有集中載荷 FP，力偶矩為 M 的力偶和集度為 q 的均 布載荷，如圖 235a 所示。 P 2 0 k N , 1 6 k N m , 2 0 k N / m , = 0 . 8 mF M q a? ? ?。求支座 A、 B 的約束反力。 解 （ 1）取 AB 梁為研究對象，畫受力圖。作用于梁上的主動力有集中力 FP、力偶矩為 M 的力偶和均布載荷 q、均布載荷可以合成為一個力，其大小為2 0 0 .8 1 6 k Nqa ? ? ?，方向與均布載荷相同，作用于分布長度的中點， B 支座反力 FB鉛垂向上；因以上各力（力偶）均無水平分力，故 A 支座反力 FA 必定沿鉛垂方向。這些力組成一平衡的平面平行力系，如圖 235b 所示。 （ 2）選取坐標系 Axy,矩心為 A，如圖 235b 所示。 （ 3）列平衡方程如下： P( ) 0 2 0A i B qaaM F a M F a? ? ? ? ?? 2F ① P00y A BF F F q a F? ? ? ? ?? ② 解方程 ① 、 ② 得： P 2 0 k N /m 0 .8 m 1 6 k N m2 2 2 0 k N 1 2 k N2 0 .8 mB q a MFF a ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 P 2 0 k N 2 0 k N / m 0 . 8 m 1 2 k N 2 4 k NABF F q a F? ? ? ? ? ? ? ? 圖 235 40 【教學內容】 課程名稱 工程力學 教學單元名稱 2． 5 物體系統(tǒng)的平衡問題 單元能力培養(yǎng)目標 了解靜定與靜不定問題的概念及物體系統(tǒng)平衡問題的解法。 知識點 技能 點 靜定與靜不定問題的概念；物體系統(tǒng)平衡問題的解法。 單元教學設計 以工程實例 、動畫 幫助學生對知識點 技能點的理解來完成培養(yǎng)目標。 單元教學方式 理論教學 +多媒體 作業(yè) 教材 P36 習題 21 211 41 2． 5 物體系統(tǒng)的平衡 問題 靜定和靜不定問題的概念 如下圖所示， a圖為一平面匯交力系，可以建立兩個獨立的平衡方程，而未知量只有兩個 FTA、 FTB，因此可以全部求出，這樣的問題就是靜定問題； b圖為一平面匯交力系，可以建立兩個獨立的平衡方程 ，而未知量有三個 FTA、 FTB、 FTC， 因此無法通過平衡方程求出，這樣的問題就是靜不定問題。 1． 靜定問題 ：所有 未知量的數目少于或等于獨立的平衡方程的數目的問題 。 2． 靜不定問題或超靜定問題 ： 所有 未知量的數目多于獨立平衡方程數目的問題 。 3． 靜不定問題 的次數 =所有 未知量的數目 — 獨立平衡方程數目 如下圖所示， a圖為靜定問題， b圖為靜不定問題。 在工程實際中為了提高構件的可靠性，常常使用增加多余約束 來實現，這樣就出現了靜不定問題。靜不定問題的解法將在第二篇材料力學中介紹。 物體系統(tǒng)的平衡問題 1．概念 ① 物體系統(tǒng) ：由兩個或兩個以上單個物體通過一定的約束聯(lián)系起來的系統(tǒng)。 ② 系統(tǒng)外力： 物體 系統(tǒng)所受的 主動力和 外部約束反力 。 ③ 系統(tǒng)內力： 系統(tǒng)內各物體之間的相互作用力 2． 物體系統(tǒng)平衡問題的解法 42 當整個物體系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，組成該系統(tǒng)的每一物體必處于平衡狀態(tài)。 例 214 如圖 239a 所示的組合梁由梁 AB 和 BC 用中間鉸 B 連接而成，支承和載荷情況如圖所示。已知： 2 0 k N, 5 k N, 4 5Fq ?? ? ? ?。試求支座 A、 C 的約束反力。 解 為說明問題，取組合梁中每一部分梁 AB 和 BC 為分離體，作出它們的受力圖，如圖 239b、 c 所示，圖上 FAx、 FAy、 MA 是固定端 A 的反力， FC是活動鉸鏈支座 C 的反力， FBx、 FBy 是梁 AB 作用于 BC 的反力， BxF? 、 ByF? 則是梁 BC 反作用于 AB 的力， FBx、FBy 與 BxF? 、 ByF? 應符合牛頓第三定律?？梢?，梁 AB 和 BC 均受平面任意力系的作用，對兩部分總可以列出 23=6 個獨立的平衡方程。而圖 239b、 c 上的未知力有： FAx、 FAy、MA、 FC、 FBx（ = BxF? ）、 FBy（ = ByF? ），共計 6 個。因此， 本題是靜定的 問題 。 為了確定一個合適的解題方案，不妨再作出整個組合梁的受力圖 （ 圖 239d），以便作全面的考慮。這時， FBx、 FBy、 BxF? 、 ByF? 屬于內力，不必畫出。檢查 b、 c、 d 三圖上未知力的數目，它們分別為 4 個。我們可以從未知力數目較少的圖 c 著手，求出 FC后，再由圖 d 求出其余的三個未知量 FAx、 FAy、 MA。 （ 1） 考察梁 BC 的平衡 （ 圖 c） ,列出平衡方程： ( ) 0 c o s 2 1 0B i CM F F?? ? ? ? ? ?? F 解得： 1 20 kN 1 m kN2 c os 2 m c os 45C FF ???? ? ??? (1) 通過另兩個 平衡方程可以求出 FBx、 FBy，因題意無此要求，故不列出。 （ 2）考察組合梁整體的平衡（圖 d） ，列出平衡方程： 圖 239 43 0 s i n 0i x A x CF F F ?? ? ? ?? (2) 0 c o s 2 0i y A y CF F F q F?? ? ? ? ? ? ?? (3) ( ) 0 c o s 4 2 3 0A i A CM M F q l F?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? F (4) 將（ 1）代入（ 2）、（ 3）、（ 4）式分別解得： 10kN20kN30kNmAxAyAFFM??? 考察梁 AB、 BC 和組合梁整體的平衡 （ 圖 b、 c、 d），總共可列出 9 個平衡方程，但其中只有 6 個是獨立的。實際上，對整體列出的平衡方程可由對整體中每一物體列出平衡方程的線性組合而成。所以，計算獨立平衡方程總數時，只對每個物體的平衡方程數計算后相加，而不應將整體的平衡方程數目包括在內。但是，在列寫解題所需的平衡方程時，要根據具體情況，既可以選單個物體，也可以選整體作為考察對象，列出適用的平衡方程。 例 215 三鉸拱廠房屋架如圖 240a 所示，每一半拱架重 G=45 kN，風壓力的合力 R 12kNF ? ，各力的作用線位置如圖，長度單位為 m。試求鉸鏈 A、 B、 C 的約束反力。 解 本題是求解由兩個半拱組成的物體系統(tǒng)的平衡問題。最多能列出獨立平衡方程數目 23=6 個。經分析題中的未知量也是 6 個 （ 圖 240c、 d），故此題是靜定問題。若分別取整體，左、右半拱研究發(fā)現它們都是一次靜不定問題，但是取整體研究時，如圖 240b 所示，共有四個未知力 FAx、 FAy、 FBx、 FBy，其中 FAx、 FBx 共線，這樣，分別以A、 B 為矩心建立力矩平衡方程，可解出約束反力 FBy、 FAy。 （ 1）考察整體的平衡，作其受力圖，如圖 240b 所示。分別選取 A、 B 為矩心，水平、垂直方向為坐標 x,y 方向，建立二矩式平衡方程求解。 RR( ) 0 16 2 14 5 0( ) 0 14 2 16 5 01( 12 kN 5 m 45 kN 2 m 45 kN 14 m ) kN161( 12 kN 5 m 45 kN 2 m 45 kN 14 m ) kN16A i B yB i A yByAyM F G G FM G G F FFF? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???解 得 ：FF R00i x A x B xF F F F? ? ? ?? ① 尚有兩個未知力 FAx 和 FBx 不能從方程 ① 中解出。為了求解 FAx 和 FBx，必須進而考 44 察與這些未知力有關的其它物體的平衡，為了方便起見可以考察右半拱的平衡。 （ 2）考察右半拱 CB的平衡，作其受力圖，如圖 239d 所示。選坐標軸 x、 y，矩心為 C，建立平衡方程并求解： ( ) 0 8 1 2 6 000001( 4 8 .7 5 k N 8 m 4 5 k N 6 m ) 1 0 k N121 0 k N4 8 .7 5 k N 4 5 k N 3 .7 5 k NC i B y B xix Cx B xiy B y CyBxCx B xCy B yM F F F GF F FF F G FFFFF F G? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ????解 得 ： 將 10kNBxF ? 代入 ① 式得 : R 1 0 k N 1 2 k N 2 k NA x B xF F F? ? ? ? ? ? 負值表示實際方向與圖示假定方向相反。 至此 A、 B、 C 三個鉸鏈處的約束反力已全部求出。左半拱的平衡條件可用來進行校核 。由左半拱的受力圖，如圖 239a 所示，這時應注意 FCx 與 F′Cx、 FCy與 F ′Cy 互為作用力 與反作用力。列出相應的三個平衡方程，將上面所得的解代入。如果這些解是正確的，應能滿足這些方程。例如： 圖 240 45 R( ) 1 2 8 7 62 m 1 2 k N 4 1 . 2 5 k N 8 m 1 2 k N 7 m 4 5 k N 6 m 0C i A x A yM F F F W? ? ? ? ? ? ? ??