【導讀】蟻螂膁羋莁薅肇莇蒃螀羃莇薆薃衿莆芅蝿螅蒞蕆薂膃莄薀袇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀蒁薆襖肆蒀蠆蚆葿莈袂袈肅薁蚅襖肅蚃羀膃肄莃螃肈肅蒅羈羄肂薇螁袀膁蝕薄腿膀荿螀肅腿蒁薂肁腿蚄螈羇膈莃蟻袃膇蒆袆膂膆薈蠆肈膅蝕襖羄芄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆膄節(jié)莄羈肀芁蕆螄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁薅肇莇蒃螀羃莇薆薃衿莆芅蝿螅蒞蕆薂膃莄薀袇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀蒁薆襖肆蒀蠆蚆葿莈袂袈肅薁蚅襖肅蚃羀膃肄莃螃肈肅蒅羈羄肂薇螁袀膁蝕薄腿膀荿螀肅腿蒁薂肁腿蚄螈羇膈莃蟻袃膇蒆袆膂膆薈蠆肈膅蝕襖羄芄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆膄節(jié)莄羈肀芁蕆螄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁薅肇莇蒃螀羃莇薆薃衿莆芅蝿螅蒞蕆薂膃莄薀袇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀蒁薆襖肆蒀蠆蚆葿莈袂袈肅薁蚅襖肅蚃羀膃肄莃螃肈肅蒅羈羄肂薇螁袀膁蝕薄腿膀荿螀肅腿蒁薂肁腿蚄螈羇膈莃蟻袃膇蒆袆膂膆薈蠆肈膅蝕襖羄芄莀蚇袀芃蒂袃螆芃薅蚆膄節(jié)莄羈肀芁蕆螄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁薅肇莇蒃螀羃莇薆薃衿莆芅蝿螅

　　

【正文】 ? ??? ??????? ∴原式 1 1 1 1 1( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 1 1 1 32 3 4 2 2f f f f f f f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 48． 你知道儲蓄、貸款問題嗎？ △零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型： 若每期存入本金 p 元，每期利率為 r， n 期后，本利和為： ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 2 1 2n nnS p r p r p n r p n r???? ? ? ? ? ? ? ? ?????… … … …等差問題 △若按復利，如貸款問題 ——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款 ——分期等額歸還本息的借款種類） 若貸款（向銀行借款） p 元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第 n 次還清。如果每期利率為 r（按復利），那么每期應還x 元，滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?12 1 1 1 1( 1 ) 1 1 1 11 nnnnn rrp r x r x r x r x x x?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????… … ∴ ? ?? ?111nnpr rxr???? p——貸款數， r——利率， n——還款期數 49． 解排列、組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。 （ 1）分類計數原理： 12 nN m m m? ? ? ?… …（ im 為各類辦法中的方法數） 分步計 數原理： 12 nN m m m? … … （ i 為各類辦法中的方法數） （ 2） 排列：從 n 個不同元素中，任取 m（ m≤n）個元素，按照一定的 順序 排成一 列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列，所有排列的個數記為 mnA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?!1 2 1 !mn nA n n n n m m nnm? ? ? ? ? ? ??… …，規(guī)定 0! 1? （ 3）組合：從 n 個不同元素中任取 m（ m≤n）個元素并組成一組，叫做從 n 個不 同元素中取出 m 個元素的一個組合，所有組合的個數記為 mnC ? ? ? ? ? ?11 !! ! !mm nn mmn n n mA nC A m m n m? ? ?? ? ? ?… …，規(guī)定 0 1nC? （ 4）組合數性質： 1 0 11 2m n m m m m n nn n n n n n n nC C C C C C C C?? ?? ? ? ? ? ? ?， ， … … 50． 解排列與組合問題的規(guī)律是： 相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數量不大時 可以逐一排出結果。 如：學號為 1， 2， 3， 4 的四名學生的考試成績 ? ?89 90 91 92 93ix ? ， ， ， ，( 1234)i? ， ， ， ，且滿足 1 2 3 4x x x x? ? ? ， 則這四位同學考試成績的所有可能情況是 A． 24 B． 15 C． 12 D． 10 解析：可分成兩類： （ 1）中間兩個分數不相等 有 45 5C? （種） （ 2）中間兩個分數相等 1 2 3 4x x x x? ? ? 相同兩數分別取 90， 91， 92，對應的排列可以數出來，分別有 3， 4， 3 種， ∴ 有 10 種。 ∴ 共有 5＋ 10＝ 15（種）情況 51． 二項式定理 0 1 1 2 2 2() n n n n r n r r n nn n n n na b C a C a b C a b C a b C b? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?… … 二項展開式的通項公式： 1 ( 0 1 )r n r rrnT C a b r n?? ?? ， … …， rnC 為二項式系數（區(qū)別于該項的系數） 性質： （ 1）對稱性： ? ?0 1 2r n rnnC C r n??? ， ， ， … … ， （ 2）系數和： 01 2nnn n nC C C? ? ? ?… ， 1 3 5 0 2 4 12 nn n n n n nC C C C C C ?? ? ? ? ? ? ? ?… … （ 3）最值： n 為偶數時， n＋ 1 為奇數，中間一項的二項式系數最大且為第 12n???????項，二項式系數為 2nnC ； n 為奇數時， ( 1)n? 為偶數，中間兩項的二項式系數最大，即第 12n?項及第 1 12n? ?項，其二項式系數為 1122nnCC??? 如：在二項式 ? ?111x? 的展開式中，系數最小的項系數為（用數字 表示） ∵ 11n＝ ，∴共有 12 項，中間兩項系數的絕對值最大，且為第 1262? 或第 7 項 由 1111 ( 1)r r rCx? ? ，∴取 5r? ，即第 6 項系數為負值為最小 6511 11 426CC? ? ? ? ? 又如： ? ? ? ?2020 2 2 0 0 40 1 2 2 0 0 412 x a a x a x a x x R? ? ? ? ? ? ?… …，則? ? ? ? ? ? ? ?0 1 0 2 0 3 0 2 0 0 4a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?… … （用數字作答） 令 0x? ，得 0 1a? ；令 1x? ，得 0 2 2 0 0 4 1a a a? ? ? ?… … ∴原式 ? ?0 0 1 2 0 0 42 0 0 3 2 0 0 3 1 1 2 0 0 4a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?… … ） 52． 你對隨機事件之間的關系熟悉嗎？ （ 1）必然事件 )1P? ?? ?， ，不可能事件 ( ) 0P???， （ 2）包含關系 ： AB? ，“ A 發(fā)生必導致 B 發(fā)生”稱 B 包含 A A B （ 3）事件的和（并）： AB? 或 AB，“ A 與 B 至少有一個發(fā)生”叫做 A 與 B 的和（并）。 （ 4）事件的積（交）： AB 或 AB，“ A 與 B 同時發(fā)生”叫做 A 與 B 的積 （ 5）互斥事件（互不相容事件）： AB?? ，“ A與 B不能同時發(fā)生 ” 叫做 A、 B互斥。 （ 6）對立事件（互逆事件）： A A A A? ? ? ?， ，“ A不發(fā)生”叫做 A發(fā)生的對立（逆）事件 A （ 7）獨立事件： A 與 B獨立， A 與 B ， A 與 B 也相互獨立， A發(fā)生與否對 B 發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。 53． 對某一事件概率的求法： 分清所 求的是：（ 1 ）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即() AmPA n??包 含 的 等 可 能 結 果一 次 試 驗 的 等 可 能 結 果 的 總 數 （ 2）若 AB、 互斥，則 ? ? ( ) ( )P A B P A P B? ? ? （ 3）若 AB、 相互獨立，則 ? ? ? ? ? ?P A B P A P B? （ 4） ( ) 1 ( )P A P A?? （ 5）如果在一次試驗中 A發(fā)生的概率是 p，那么在 n 次獨立重復試驗中 A恰好發(fā)生 k次的概率： ? ?( ) 1 nkkknnP k C p p ??? 如：設 10 件產品中有 4 件次品， 6 件正品，求下列事件的概率。 （ 1）從中任取 2 件都是次品 ： 241 210 215CP C???????? （ 2）從中任取 5 件恰有 2 件次品 ： 23462 510 1021CCP C???????? （ 3）從中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品 ： 解析： 有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件）， ∴ n＝ 103 而至少有 2 件次品為 “恰有 2 次品 ”和 “三件都是次品 ”， ∴ 2 2 1 33 4 6 4mC?? 2 2 333 34 6 4 441 0 1 2 5CP ??? （ 4）從 中依次取 5 件恰有 2 件次品 ： 解析： ∵ 一件一件抽?。ㄓ许樞颍?， ∴ 5 2 2 310 4 5 6n A m C A A??， ， ∴ 2 2 34 5 64 510 1021C A AP A?? 分清（ 1）、（ 2）是組合問題，（ 3）是可重復排列問題，（ 4）是無重復排列問題。 54． 抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數表法）常常用于總體個數較少時，它的特征是從總體中逐個抽??；系統抽樣，常用于總體個數較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現了抽樣的客觀性和平等性。 55． 對總體分布的估計 ——用樣本的頻率作 為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法： （ 1）算數據極差 ? ?max minxx? （ 2）決定組距和組數； （ 3）決定分點； （ 4）列頻率分布表； （ 5）畫頻率直方圖。 其中，頻率 =小長方形的面積 =組距 頻 率組 距 樣本平均值： ? ?121 nx x x xn? ? ? ?… … 樣本方差： ? ? ? ? ? ?2 2 22121 nS x x x x x xn ??? ? ? ? ? ? ???… … 如：從 10 名女