【正文】 在處的調(diào)節(jié)映射:為一個(gè)集值映射 ()當(dāng)非空時(shí),稱是嚴(yán)格的,滿足上式()的一個(gè)u稱為系統(tǒng)(U,f)的一個(gè)生存選擇.調(diào)節(jié)映射是系統(tǒng)”魯棒性”指示器, 越大,系統(tǒng)的生存選擇范圍越大,抗干擾能力也就越強(qiáng),可生存性越強(qiáng).(生存解) 對(duì)于系統(tǒng)(U,f),稱是一個(gè)生存解,如果x(t)滿足 . () (生存域) 如果對(duì)于每一個(gè),至少存在一個(gè)生存選擇 ,則稱K為該決策系統(tǒng)懂得一個(gè)生存域. (慢解) 對(duì)于動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)(U,f),如果控制u(x(t))滿足:對(duì)幾乎所有的t,在RK(x) 中達(dá)到范數(shù)最小,則稱這樣的狀態(tài)x為系統(tǒng)的慢解,此時(shí)最小.慢解是針對(duì)達(dá)到最小而言的,同樣我們可以選取達(dá)到最小,這就涉及到集值映射的微分學(xué)問題. (相依導(dǎo)數(shù)) 考慮一個(gè)集值映射, X,Y為賦范線性空間,集值映射的相依導(dǎo)數(shù)DF(x,y)定義為一個(gè)X到Y(jié)的集值映射: ()其中,表示集值映射的圖,TGr(F)(x,y)表示集值映射F的圖在Gr(F) 在點(diǎn)(x,y)相依錐.上式()的意義可以表達(dá)為:F的圖像在點(diǎn)(x,y)處的相依錐是F在該點(diǎn)的相依導(dǎo)數(shù)DF(x,y)的圖.現(xiàn)在對(duì)生存選擇: 的兩端求導(dǎo),得到”一階調(diào)節(jié)律”: 由此,可定義重生存解,即它是在集合中使控制速度的范數(shù)達(dá)到最小的可生存解,用數(shù)學(xué)描述為: 在一些經(jīng)典系統(tǒng)中,控制往往就是狀態(tài)的速度,于是控制的速度就是狀態(tài)的加速度,使加速度最小就是使加速度具有最大慣性,這就是重解這個(gè)名稱的由來,這個(gè)觀點(diǎn)導(dǎo)致引入與控制相關(guān)的K的生存穴N(u)的概念,它定義為: 在這樣的生存穴中,狀態(tài)是在控制維持不變的作用下進(jìn)行演化的。四 生存選擇及選擇措施對(duì)一個(gè)決策系統(tǒng)(U,f),假定其約束為,生存選擇要解決的問題是(i) 是否存在可生存解軌跡(相當(dāng)于是否存在生存選擇,即 K是否是生存域或RK(x) 是否是嚴(yán)格的)。(ii) 如果RK(x)是嚴(yán)格的,可能有多個(gè)生存選擇和相應(yīng)的生存軌跡,如何選擇和.第一個(gè)問題由下面的生存選擇定理回答. (生存選擇定理) 考慮Marchaud 決策系統(tǒng) (U,f),閉子集為其生存域,則RK(x)是嚴(yán)格的,當(dāng)且僅當(dāng)K是一個(gè)生存域。并且,任何一個(gè)決定生存解的開環(huán)生存選擇遵循生存選擇律,若K不是(U,f)的生存域,則存在一個(gè)生存核Viab(K).對(duì)第二個(gè)問題的回答，需要確定一種選擇準(zhǔn)則，選擇準(zhǔn)則有多種，最基本的要求是軌跡必須是生存的，更嚴(yán)格的要求有下面三種[42]： (i) 在生存集內(nèi)，要求軌跡盡可能長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定地處于生存集內(nèi)；(ii) 在生存集內(nèi)，要求軌跡變化滿足一定的偏序數(shù)；(iii) 在生存集內(nèi)，要求軌跡能達(dá)到某一目標(biāo)集等.除了選擇準(zhǔn)則以外，還要一種選擇機(jī)制，選擇機(jī)制是通過選擇措施來實(shí)現(xiàn)的。（選擇措施） 設(shè)Z是一個(gè)賦范空間，生存策略映射的選擇程序是一個(gè)集值映射滿足：(i)(ii) 的圖是閉的.并稱集值映射是的選擇.第二節(jié) 模型的建立一 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和生產(chǎn)函數(shù)1. 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論是現(xiàn)代西方宏觀經(jīng)濟(jì)理論的一個(gè)重要組成部分。經(jīng)濟(jì)持續(xù)、穩(wěn)定地增長(zhǎng)已成為世界各國(guó)政府追求的目標(biāo)。同時(shí)，西方經(jīng)濟(jì)理論界也在探索著經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)因素的奧秘，、,經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)因素的分析取得了很大的成果,索洛為此還榮獲了1987年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng).決定經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的因素很多,諸如勞動(dòng)力、生產(chǎn)資料、及其在生產(chǎn)過程中的社會(huì)結(jié)合和改進(jìn) 、,技術(shù)進(jìn)步因素是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的重要因素,其作用表現(xiàn)為內(nèi)涵的擴(kuò)大再生產(chǎn),不是靠增加勞動(dòng)力和資金的投入量,而是靠提高生產(chǎn)要素的使用效率. 中國(guó)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)在已經(jīng)處于市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)階段。隨著改革開放的進(jìn)一步擴(kuò)大和深入,市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的程度也就越來越高,從經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)方式來看,:企業(yè)來看,實(shí)現(xiàn)收入或利潤(rùn)持續(xù)、穩(wěn)定地增長(zhǎng)是其最主要的目標(biāo),我們可以借鑒索洛等人關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的研究成果應(yīng)用到企業(yè)的生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)中,主要應(yīng)用的模型為索洛的新古典單一部門的增長(zhǎng)模型[43].2. 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)是描述生產(chǎn)過程中投入的生產(chǎn)要素的某種組合同它可能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式,即Y=F (A, K, L) ()其中，Y為產(chǎn)出量，A、K、L等分別表示技術(shù)、資本、勞動(dòng)力等投入生產(chǎn)要素。它們具體的含義分別如下：Y：指一個(gè)經(jīng)濟(jì)實(shí)體的國(guó)民收入或產(chǎn)值，即某時(shí)期內(nèi)該經(jīng)濟(jì)實(shí)體所生產(chǎn)的各種物品和勞動(dòng)，通常用貨物或勞務(wù)的市場(chǎng)價(jià)格來衡量，這里的經(jīng)濟(jì)實(shí)體指企業(yè)。A：技術(shù)進(jìn)步包括科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展和管理方法的改進(jìn)，例如設(shè)計(jì)出高效率的機(jī)器、設(shè)備、或改進(jìn)勞動(dòng)組織等。K：指資本存量，即任何一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上一個(gè)廠商或一個(gè)經(jīng)濟(jì)實(shí)體現(xiàn)有的被生產(chǎn)出來的生產(chǎn)資料存量—即固定資本設(shè)備的存量，包括土地、住宅和非住宅建筑、設(shè)備和存貨。L：指勞動(dòng)力，這里用相對(duì)勞動(dòng)來衡量，即用勞務(wù)支出和數(shù)額來表示，一般地，這個(gè)支出是對(duì)勞動(dòng)者工作能力和知識(shí)水平等的認(rèn)可，反映了勞動(dòng)者的年齡、工作時(shí)間 、教育水平、工作經(jīng)驗(yàn)等的差別。生產(chǎn)要素對(duì)產(chǎn)出量的作用和影響，主要是由一定的技術(shù)條件決定的，在一定的技術(shù)條件下，就有一定的生產(chǎn)函數(shù)，所以從本質(zhì)上講，生產(chǎn)函數(shù)反映了生產(chǎn)過程中投入要素與產(chǎn)出量之間的技術(shù)關(guān)系。生產(chǎn)要素對(duì)產(chǎn)出的彈性系數(shù)：某投入要素對(duì)產(chǎn)出的彈性指的是，當(dāng)其它生產(chǎn)要素不變時(shí)，產(chǎn)出量增加的百分比與該要素增加的百分比的比例。它是從動(dòng)態(tài)變化的角度來衡量生產(chǎn)要素投入與產(chǎn)出間經(jīng)濟(jì)效益的指標(biāo)。例如，勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性為： .3. 企業(yè)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的基本微分方程式在引入基本方程式之前，我們作出如下假設(shè)：(i) 企業(yè)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，對(duì)于不同部門的產(chǎn)品可以進(jìn)行同值化處理，這種產(chǎn)品可有多種用途，既可用于消費(fèi)，又可用于投資；(ii) 產(chǎn)出Y和儲(chǔ)蓄S之間的關(guān)系滿足S=sY,這里的s是儲(chǔ)蓄或投資比例且滿足0s1,儲(chǔ)蓄自動(dòng)轉(zhuǎn)化為投資，即有S=I，I為企業(yè)為生產(chǎn)活動(dòng)進(jìn)行的投資；(iii) 資本存量并不折舊，投資I不過是這種復(fù)合商品的資本存量增加率，即：；(iv) 勞動(dòng)力L按一個(gè)比例率n增長(zhǎng)，即，其中為L(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)，一般認(rèn)為n為常數(shù)，因?yàn)槠髽I(yè)一般每隔一段時(shí)間或者增加工人工資，或者增加工人人數(shù)以維持生產(chǎn)活動(dòng)；(v) 該企業(yè)的技術(shù)可能性可以用Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù)表示，它是連續(xù)的，并且規(guī)模報(bào)酬不變：Y=f(A,K,L)=A(t)KαL1α 01 ()另外，我們還假定（）滿足以下條件：（1） 產(chǎn)出—資本比例，是可變的，資本—?jiǎng)趧?dòng)比也是可變的；（2） 邊際生產(chǎn)力遞減(當(dāng)增加某生產(chǎn)要素時(shí)，等量生產(chǎn)要素投入的產(chǎn)出增加量變得越來越小)，即有 ， 其中，f =f(A,K,L)為生產(chǎn)函數(shù)。（3） 無投入就無產(chǎn)出，即如果沒有使用任何資本或勞動(dòng)，則不能產(chǎn)出任何產(chǎn)品：即已知Y=f(A,K,L),如果K=0,則Y=0。（4） 當(dāng)時(shí)，資本的邊際產(chǎn)量為0,在k非常高的水平上,資本的邊際產(chǎn)量變得非常小,即 (5) 當(dāng)k趨于0時(shí),資本的邊際產(chǎn)量趨于無窮大,即: (6) 每個(gè)勞動(dòng)者的無限高的產(chǎn)出水平是與資本對(duì)勞動(dòng)的無限大的比率相聯(lián)系的,即:滿足上述條件的總體生產(chǎn)函數(shù)被認(rèn)為是性質(zhì)良好的,這些條件被稱為稻田石條件[44]。由上,可以得出關(guān)于企業(yè)增長(zhǎng)的模型(此時(shí)的技術(shù)進(jìn)步因素包含在資本或勞動(dòng)力要素投入上，并且只考慮C—D生產(chǎn)函數(shù)，):Y= f (K,L) () () () ()由式()有: 所以有以下關(guān)于k的一階非線性微分方程: ()上式()中: k: 為人均占有的資本存量。sf(k):為每個(gè)工人所分配的投資流量。nk: 勞動(dòng)者按n增長(zhǎng)的條件下,為保持k不變所要求的投資量,即“資本加寬”.上式（）的含義即為：資本—?jiǎng)趧?dòng)比的變化率是由每一工人的投資量在勞動(dòng)力增長(zhǎng)時(shí)為保持資本—?jiǎng)趧?dòng)比不變所要求的量的差額量所決定的。如果該企業(yè)中每一工人的儲(chǔ)蓄大于這個(gè)量，那么很明顯，資本存量將比勞動(dòng)力增長(zhǎng)得更快，而資本—?jiǎng)趧?dòng)比就會(huì)隨之提高。二 企業(yè)增長(zhǎng)過程中的Walras均衡模型（1） Walras 均衡的概念這里，我們借用亞當(dāng)斯密的系統(tǒng)分散化的思想:企業(yè)系統(tǒng)是由若干部門小企業(yè)組成,每個(gè)部門都有自己的目標(biāo),使各部門都追求自己的目標(biāo),而其結(jié)果是更好地促進(jìn)了企業(yè)的總目標(biāo),這個(gè)手段就是前面提到的綜合投入SDP,它是通過評(píng)判的方法得到的,因而是看得見的,也感覺得到的.設(shè)部門DPi(i=1,2,…,M)的綜合投入為SDPi(i=1,2,…,M),SDPi又包括兩個(gè)因素SDPKi和SDPLi,而技術(shù)進(jìn)步是認(rèn)為包含在資本的投入(如設(shè)備的改造等)或勞動(dòng)力的投入上(如勞動(dòng)者技能培訓(xùn)等),所以我們有: ()另外，我們?cè)O(shè)部門DPi(i=1,2,…,M)的實(shí)際資本投入為Ki,實(shí)際勞動(dòng)力投入為L(zhǎng)i,則有: Ki= SDPKiK () Li= SDPLiL ()令企業(yè)可供支配資源向量為S, 部門DPi(i=1,2,…,M)的需求函數(shù)為θi,則有： S:= () θi:= ()則式（）和式（）滿足下式： （）上式即為： （）確定上式（）的SDPi的一個(gè)解稱為一個(gè)“Walras均衡”。（2） 均衡模型 設(shè)企業(yè)有兩種要素投入K和L，而技術(shù)進(jìn)步的投入則包含在K和L中。我們可以用下面的模型描述企業(yè)系統(tǒng)：（1） 資源向量；（2） 設(shè)企業(yè)有M個(gè)部門DPi(i=1,2,,M), 部門DPi的生產(chǎn)要素投入為需求函數(shù)，定義一個(gè)分配，即部門DPi資源的供給函數(shù)為，則有：，同時(shí)滿足M個(gè)部門總要素投入量落在資源集S中，我們記： ()為企業(yè)系統(tǒng)的生存域,即在內(nèi)我們認(rèn)為系統(tǒng)是生存的,上式()中, , 為部門DPi的產(chǎn)出, TGi為部門DPi的產(chǎn)出目標(biāo)集.我們記: , i=1,2,…,M.下面我們定義一個(gè)均衡部門綜合投入集合為: ()上式()中,為對(duì)部門DPi的保持為初值時(shí)的一個(gè)常數(shù),上式的意思就是為了保持企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)均衡增長(zhǎng),即企業(yè)生產(chǎn)能力和勞動(dòng)力配置達(dá)到平衡,此時(shí),必存在滿足條件的一個(gè)SDP,當(dāng)企業(yè)按這個(gè)SDP在部門之間分配資源時(shí),企業(yè)必能保持均衡增長(zhǎng)[45]。我們把勞動(dòng)力增長(zhǎng)變化反映到資本變化當(dāng)中去,即在SDPi中,我們就考慮SDPKi的作用，設(shè)ki為部門DPi的人均資本占有，Ii為部門DPi的人均投資,si為部門DPi 的儲(chǔ)蓄(或投資)的比例,ni為部門DPi的勞動(dòng)力增長(zhǎng)率,則處理后的結(jié)果為:,而相應(yīng)總的企業(yè)人均投資變?yōu)镮=nsf(k).函數(shù)刻劃了部門DPi的投資量需求,而支持函數(shù)可以看作M個(gè)部門在綜合投入SDP下占有的總的生產(chǎn)資源供給,則此時(shí)有： （）于是有:由此,我們將尋求一個(gè)均衡部門投入,使下式達(dá)到平衡: () 滿足式()的部門綜合投入稱為一個(gè)“Walras均衡”或“出清市場(chǎng)”。由式()還可以看出,這個(gè)模型是分散化的,所謂分散化是指一個(gè)由許多不同目標(biāo)的行為激勵(lì)的復(fù)雜系統(tǒng)分配有限資源的能力。第DPi部門的投入要素的需求只與該部門的綜合投入及該部門的分配的投入要素有關(guān),對(duì)整個(gè)企業(yè)來說,應(yīng)該有一個(gè)人均資本投入不能超過最大人均資本產(chǎn)出的儲(chǔ)蓄(或投資)比例數(shù),即: ()上式()即為廣義的 Walras律，即企業(yè)人均投資需求不能超過人均供給。同樣對(duì)于各個(gè)部門的個(gè)體而言,我們有狹義的Walras律: () 為推出企業(yè)系統(tǒng)中Walras均衡的的存在,下面不加證明地引入KyFan定理。 (KyFan定理) 如果K為緊凸集,函數(shù)滿足:(i) 是下半連續(xù)的。(ii) 是凸的。(iii) 那么,存在,使: 很明顯,根據(jù)上述式()及().我們可以得出如下定理: 如果:I、 資源集S是閉凸的。II、 ,部門要素投入集是閉凸的,且有下界。III、 需求函數(shù)連續(xù),且滿足廣義Walras律()那么,該企業(yè)系統(tǒng)存在一個(gè)Walras平衡.證明: 令為定義在上的函數(shù), 函數(shù)對(duì)SDP來說顯然是下半連續(xù)的，因?yàn)閷?duì)SDP是下半連續(xù)的,對(duì)I來說顯然是凸的,所以有: 因此,由KyFan不等式,可以推出:存在一個(gè)Walras