高等代數(shù)張禾瑞版教案-第3章行列式-資料下載頁
2025-04-17 12:50本頁面
【正文】 D （1）這個(gè)行列式叫做方程組（1）系數(shù)的行列式. (克萊姆(Cramer)規(guī)則) 一個(gè)含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組當(dāng)它的行列式D185。0時(shí),有且僅有一個(gè)解 x= , x=,……，x=， （2）此處D是把行列式D的第j列的元素?fù)Q以方程組的常數(shù)項(xiàng)b，b，…… 證 n=,2,……，,A,…A乘方程組（1）的第一，第二，…，第n個(gè)方程然后相加，得 （a A+ a A+…+ a A）x +………………………………………… +（a A+a A+…+ a A）x +…………………………………………… +（a A+ a A+…+ a A x= b A+ b A+… b A, x的系數(shù)等于D而x(i185。j)的系數(shù)都是零；因此等式左端等于D x，而等式右端剛好是n階行列式 D=這樣，我們得到 D x= D .令j=1,2,…，n我們得到方程組 D x =D ，D x=D，…，D x=D. （3） 方程組(1)的每一解都是方程組(3),設(shè)α，α，…α是方程組（1）的一個(gè)解。那么在（1）中把x代以α（i=1，2，…，n），就得到一組等式。對(duì)于這一組等式施以方程組（1）到方程組（3）的變換，顯然得到下面的一組等式： D α= D ，D α= D，D α= D.這就是說，α，α，…α也是方程組（3）的一個(gè)解。 當(dāng)D185。0時(shí)，方程組（3）有唯一解，就是（2）。因此方程組（1）也最多有這一個(gè)解。 我們證明（2）是（1）的解。為此，把（2）代入方程組（1），那么（1）的第i(i=1,2,…，n)個(gè)方程的左端變?yōu)? a +a+…a而 D= b A+ b A+… b A，j=1，2，…n計(jì)算出來，我們得到 a（b A+…b A+… bA） +a（bA+…+ bA+… bA）+… +a（b A+…+ bA+… bA） = b（a A +aA+…+ a A）+… + b（a A +aA+…+ a A）+… + b（a A +aA+…+ a A）=b,(2)是方程組(1)的解. 因此,當(dāng)D185。0時(shí),方程組有且僅有一個(gè)解,這個(gè)解由公式(2)給出. 例 解線性方程組 2 x+ x5x+x=3, x3x6x=9 2xx+ 2 x=5 x+4x7x++6 x=0這個(gè)方程組的行列式D==27因?yàn)镈185。0, D ==81,D ==103,D ==27D==27又克萊姆規(guī)則,得方程組的解是: x=3, x=4, x=1, x=1克萊姆規(guī)則只在D185。0時(shí)才能應(yīng)用.
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