【正文】 比如：對于前面擲硬幣打賭的例子（出 A 面你投一虧一，出 B面你投一賺二），賭注全部下在一個硬幣上，標(biāo)準(zhǔn)方差是? =[（0?） 2+（3?） 2]=而如果將賭注均等地下在兩個硬幣上，則? =[（0?） 2+（?） 2+（3?） 2]=即風(fēng)險系數(shù)由 減小為 。雖然 Markowitz 理論的成就是巨大的，但是其缺陷也是不容忽視的。缺陷之一：不認(rèn)為有客觀的最優(yōu)投資比例，或者說并不提供使資金增值最快的投資比例（當(dāng)然也就不能解決前面的打賭問題）；缺陷之二：標(biāo)準(zhǔn)偏差并不能很好反映風(fēng)險。下面我們舉例說明。例 兩種證券當(dāng)前價格皆是 1 元，證券 I（像是期權(quán)）未來價格可能是 0 元和 2 元，概率分別為 1/4 和 3/4。證券II（像是可轉(zhuǎn)換債券）的收益的期望和標(biāo)準(zhǔn)方差同樣是 和 ，但是收益的概率分布以 為中心（產(chǎn)出比以42 / 257 為中心）對稱反轉(zhuǎn)了一下（見圖 ），兩者投資價值分析如表 所示（這里忽略銀行利息和交易手續(xù)費，R r是本書定義的風(fēng)險測度，參見 節(jié)）。表 兩種證券的投資價值分析E ? Rr Rg(q=1) 優(yōu)化比例（%）優(yōu)化后的幾何平均收益證券 I 0 50 證券 II ?100 ? P 證 券 I(風(fēng) 險 大 ) (概 率 ) 證 券 II(風(fēng) 險 小 ) 3/4 1/4 0 1 2 3 (產(chǎn) 出 比 ) R0圖 期望和標(biāo)準(zhǔn)方差相同但風(fēng)險不同的兩個證券最優(yōu)投資比例?100%意味著：如果可以貸款或透支，投更多更好。按 Markowitz 理論， I 和 II 投資價值相同，43 / 257而按常識和本書理論，II 遠優(yōu)于 I。對于存在大比例虧損可能的投資，比如期權(quán)、期貨、放貸（可能收不回本金），Markowitz 理論的缺陷尤為明顯。44 / 257優(yōu)化投資組合的數(shù)學(xué)方法本章敘述新的投資組合數(shù)學(xué)理論。對數(shù)學(xué)不感興趣的讀者可以掠過數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)而只注意其中結(jié)論。 優(yōu)化投資組合的最大增值熵原理令 N 種證券價格構(gòu)成 N 維矢量，設(shè)第 k 種證券價格有 nk 種可能取值，k=1 ，2， ...，N，則共有W=n1n2...nN 種可能的價格矢量。設(shè)第 i 種價值矢量為 xi = （x i1， xi2，...，x iN） ，i =1，2，...，W；當(dāng)前價格矢量為 x0=（x 01，x 02，...，x 0N） ；假設(shè)單位時間（比方說一年）后，價格矢量 xi 發(fā)生，則第 k 種證券價格增長為原來的 Rik 倍，總的價值增長為原來的 （）??NkikiRq0倍。其中 qk，k =1，2，...，N 是在第 k 種證券上的投資比例，q 0 是投資人所持現(xiàn)金比例；R 0k=R0=（1+r 0） ，r 0=存款利率或市場利率。市場利率比如：拆借利率，國債回購利率。45 / 257產(chǎn)出比Rik=xik/x0k （）當(dāng)采用保證金交易時，它變?yōu)镽ik=1+K（x ik?x0k） /x0k （）其中 K?1 是杠桿倍數(shù)，意味交易者可以按交易額的 1/K 倍交納保證金，價格漲跌 r%時交易者盈虧 Kr %。這里我們假定投資收益和投入的資金量成正比。實際上，當(dāng)投資某一項目或股票的資金增大到一定程度，比如投資某一股票達數(shù)千萬元時，收益將呈非線性變化（效益遞減） 。這時我們可以用 qkRik 的非線性函數(shù)代替它（不贅述） 。 設(shè)做 m 次確定價格矢量的投資實驗， xi 或 ri 發(fā)生的次數(shù)是 mi ，則 m 次投資后資金增值為原來的倍數(shù)是 （）??Wimi1平均每次投資后資金增長為原來的倍數(shù)，即幾何平均產(chǎn)出比是 （）?WimigR1/筆者最近了解到 Henry. A. Latane 和 Donald. L. Tuttle 1967 年在一篇文章中提出了上式所示投資組合數(shù)學(xué)模型 [22]，并稱之為財富最大化模型。但是本書下面的研究結(jié)果和他們的研究結(jié)果完全不同，原因之一是期望和標(biāo)準(zhǔn)方差不再46 / 257充當(dāng)重要角色；原因之二是本書使用一種廣義熵——增值熵——作為分析工具。對上式取對數(shù)并令 m?∞ ，得 （）???WiNkiiiiigRqxPH101lo)(lg)(l我們稱 H 為增值熵，它是廣義熵的一種，其量綱和信息量綱相同。設(shè) log 以 2 為底，這時 H 的單位為比特（bit） ，表示資金的翻番數(shù)。這一熵函數(shù)和 K. J. Arrow 曾使用的效用函數(shù)表面上有些相似 [17]，但實質(zhì)不同（參見 節(jié)） 。和信息論中的廣義熵 [5]相比，增值熵少一負號。 幾何平均收益是 rg=Rg?1=2H?1。設(shè)幾何平均產(chǎn)出比為Rg 的證券組合在 T 年后增值為 M，即RgT=M （）則 （）Hglol?比較物理學(xué)公式 時間=距離/速度可見 H 反映了資金的增值速度。 后面我們簡記矢量 Pi=P（x i）=P（x i1，x i2， ……，x iN） ，記概率分布為 P=（P i）=（P 1， P2，……，P W） ，記投資比例矢量 q=（q k）47 / 257=（q 0，q 1，……，q N） ， 其它類推。改變 q 可使 H 達最大，使 H 達最大的投資比例矢量 q=q*=（q k*）就是最優(yōu)的。投資比例矢量是有限制條件的。比如通常的股票投資有下面三個限制條件：條件 I： （）??Nkq01這意味著可用現(xiàn)金和各項投資資產(chǎn)之和等于自有資產(chǎn)的 1倍，是在任何情況下成立的條件；條件 II：q k?1，k =0，1，...，N ；并且 （）??kq1或 q0?0，這意味著不許透支或貸款；條件 III：q k?0，k =1，2，...，N；這意味著不許賣空（賣空比如：期貨做空或股票先融券賣空，等低價買回平倉） 。在給定 q 的限制條件下求使增值熵 （）???iNkiiRqxPH0log)(48 / 257達極大的 q，這是一個非線性規(guī)劃問題，可用已有方法解決。 這一問題只有在某些簡單情況下才有代數(shù)解。在一般情況下需要通過計算機編程得到數(shù)值解。單硬幣打賭下注優(yōu)化下面我們通過最簡單的投資模型——單硬幣打賭模型——討論最優(yōu)投資比例的代數(shù)解。定義 我們稱前面的投資模型是單硬幣打賭模型，如果1) 投資項目或證券種數(shù) N=1；2) 可能的贏虧種數(shù) n1=2（贏虧概率未必相等） ；3) 要確定的投資比例有兩個：現(xiàn)金（或國債）和非現(xiàn)金比例，k=0，1。單硬幣打賭的優(yōu)化問題是最簡單的，也是最有代表性的投資比例優(yōu)化問題， 節(jié)所述的擲硬幣打賭問題是它的一個特例（贏虧概率相等） 。對于單硬幣打賭問題，增值熵是 （）)log()log(1120201?????qRPqRPrrH其中 P1 和 P2 是贏虧的概率，R 1 和 R2 是相應(yīng)的兩種產(chǎn)出比；r 1 和 r2 是相應(yīng)的兩種收益（率） ；R 0=1+r0，r 0 是存款利率或市場利率；49 / 257q0=1?q； ?1=R1?R0=r1?r0，? 2=R2?R0=r2?r0，? 1 和? 2 是扣除銀行利率或市場利率的收益，簡稱超常收益（excess return） 。如果? 2?10（只贏不虧） ，最優(yōu)比例顯然是 1。如果?1?20（只虧不贏） ，最優(yōu)比例顯然是 0（不許賣空時） 。為了討論方便，后面我們只討論 ?10?2 的情況。下面我們用求極值方法求最優(yōu)比例。令 dH/dq=0，得 （） 02022??qRP整理得最優(yōu)投資比例公式 （）021*q???注意上式中的分子正好是期望超常收益。在不許透支也不許賣空的情況下（條件 I，II ，III 成立） ，最優(yōu)投資比例是，1 q’0 （）021Rq0Pq?????????????,*令 q39。=1 得滿倉條件 （）012/RP???令期望收益等于 R0，于是得到空倉（投資 0%）條件 （）22/)(???50 / 257圖 直觀地顯示了 q*和（r 1，r 2）的關(guān)系。注意r2/r1 不變的點， q*隨兩者增大而減小，這說明期望收益不變時，收益波動越大，優(yōu)化的投資比例應(yīng)越小。 圖 單硬幣打賭優(yōu)化投資比例 ——r1r2 平面圖上的等 q*線（不可透支和賣空， R0=；左邊：P 1=P2=；右邊：P 1=， P2=）對于 節(jié)的打賭問題，將，P 1=P2=1/2，? 1=1，? 2=2，R 0=1 代入（）得 q*=，這就是說，最優(yōu)下注比例是 25%。由（）可得出一個非常有意義的結(jié)論。令? 1 =1（虧損 100%） ，R 0=1，于是有（）121221/* PPPq ?????????這就是說：只要虧光資金的概率是 P1，則不管可能的盈利幅度? 2 有多大，都不要投入比例超過 1?P1 的資金。比如說，只要虧光的概率不是 0，就一定不要滿倉；只要51 / 257虧光的概率達 ，就一定不要超過半倉——哪怕有 10 倍20 倍利潤的可能。此結(jié)論對期貨、期權(quán)、配股權(quán)證、放貸等投資特別有意義。許多人在期貨、期權(quán)、外匯等交易中損失巨大，或者玩不了多久就賠光出場，原因就在于他們受到可能的高額利潤誘惑，持倉比例往往過大。允許透支和賣空時的增值熵 及投資比例優(yōu)化公式（）假設(shè)條件 I，II，III 同時成立。如果條件 II 不成立，則意味可以從銀行或證券公司透支或貸款去投資（比如買股票） 。這時增值熵變?yōu)???? ?????????????01),log()log( ),l()l( 1ogog202101 202101 qRPqRPqqqH（）其中 R039。=（1+ r039。） （r 039。r0 是貸款利率） ；q0=max（0，1?q） ，q 039。=max（0，q?1） 是貸款比例；?139。=R1?R039。=r1?r039。，? 239。同理。最優(yōu)投資比例是52 / 257 （）????????????? ???? 0,1,*21021qRPqMq其中M=可用資金相對自有資金的倍數(shù)=（1+ 可透支或貸款的倍數(shù)）如果存款利率和貸款利率相同，則有 R0=R039。，上式簡化為 （） ??????????????0,*21qMPq如果限制條件 III 也不存在，即允許qk0，k=1 ，2，...，N；則意味著可以賣空。什么是賣空? 在股票和國債市場上，通常我們只能先買后賣。如果可以借別人的股票或國債先賣出，然后買回來補還券主（期望高價賣低價買） ，則說可以融券賣空。在期貨市場上，賣出自己未必擁有的未來的商品，叫拋空，也是賣空的一種。下面我們以可融券股票買賣為例說明投資比例優(yōu)化。期貨的投資比例優(yōu)化還涉及保證金比例問題。方法類似。假設(shè)融券用同樣價值的資金抵押，這時剩余資金比例是 q0=max（0，1?| q|） ，貸款比例是 q039。=max（0，|q|?1） ；53 / 257（）變?yōu)椋海???? ????????????????????????????????1),log()log( 0,ll )()( 1,1|(log)|1(0||l 0),log()( 11og202101 2020220221201 qRPqRPqrqPrqrPqqrH）其中? ?1= r1?（ ?r0）=r 1+r0，意味 r1 在負方向超出r 0 的部分，? ?2 同理；?39。 ?1 = r1+r39。0，?39。 ?2 同理。允許透支和賣空時的最優(yōu)投資比例公式是： （）????????????????? ???????????MqqRPrEqqMRPM, 1,0,01,*21021054 / 257上式劃分的各個區(qū)域（包括空倉區(qū)、拋空區(qū)、透支區(qū)、透支滿倉區(qū)等）及等 q*線如圖 所示。圖 單硬幣打賭下注比例優(yōu)化（可透支和賣空，P 1=P2=；r 0=，r 039。=；M=2）對于一般的投資組合（多證券或項目） ，在允許貸款和賣空時，增值熵由（）變?yōu)? （）??????????? ??????????1,)log(0,1,)log(,100qRPqRHiNkiki iiNkii ik55 / 257其中 ??Nkq1（）其它變量參考（）類推。而最優(yōu)投資比例需用電腦搜索投資矢量空間才能得到?？紤]轉(zhuǎn)移成本的增量優(yōu)化公式轉(zhuǎn)移成本或者說交易手續(xù)費（包括證券公司和交易所收取的交易費用和稅金等）對交易的影響是顯然的，如果轉(zhuǎn)移證券增加的收益抵不上轉(zhuǎn)移成本，轉(zhuǎn)移就不該發(fā)生。前面的優(yōu)化公式中沒有考慮交易手續(xù)費，從而也沒有考慮如何優(yōu)化轉(zhuǎn)移量。下面我們以單硬幣打賭模型（一種證券，兩種可能收益）為例說明如何