【正文】 前面的優(yōu)化公式中沒(méi)有考慮交易手續(xù)費(fèi)，從而也沒(méi)有考慮如何優(yōu)化轉(zhuǎn)移量。圖 單硬幣打賭下注比例優(yōu)化（可透支和賣空，P 1=P2=；r 0=，r 039。 ?1 = r1+r39。期貨的投資比例優(yōu)化還涉及保證金比例問(wèn)題。什么是賣空? 在股票和國(guó)債市場(chǎng)上，通常我們只能先買后賣。? 239。r0 是貸款利率） ；q0=max（0，1?q） ，q 039。如果條件 II 不成立，則意味可以從銀行或證券公司透支或貸款去投資（比如買股票） 。比如說(shuō)，只要虧光的概率不是 0，就一定不要滿倉(cāng)；只要51 / 257虧光的概率達(dá) ，就一定不要超過(guò)半倉(cāng)——哪怕有 10 倍20 倍利潤(rùn)的可能。注意r2/r1 不變的點(diǎn)， q*隨兩者增大而減小，這說(shuō)明期望收益不變時(shí)，收益波動(dòng)越大，優(yōu)化的投資比例應(yīng)越小。下面我們用求極值方法求最優(yōu)比例。對(duì)于單硬幣打賭問(wèn)題，增值熵是 （）)log()log(1120201?????qRPqRPrrH其中 P1 和 P2 是贏虧的概率，R 1 和 R2 是相應(yīng)的兩種產(chǎn)出比；r 1 和 r2 是相應(yīng)的兩種收益（率） ；R 0=1+r0，r 0 是存款利率或市場(chǎng)利率；49 / 257q0=1?q； ?1=R1?R0=r1?r0，? 2=R2?R0=r2?r0，? 1 和? 2 是扣除銀行利率或市場(chǎng)利率的收益，簡(jiǎn)稱超常收益（excess return） 。在一般情況下需要通過(guò)計(jì)算機(jī)編程得到數(shù)值解。投資比例矢量是有限制條件的。 幾何平均收益是 rg=Rg?1=2H?1。對(duì)上式取對(duì)數(shù)并令 m?∞ ，得 （）???WiNkiiiiigRqxPH101lo)(lg)(l我們稱 H 為增值熵，它是廣義熵的一種，其量綱和信息量綱相同。實(shí)際上，當(dāng)投資某一項(xiàng)目或股票的資金增大到一定程度，比如投資某一股票達(dá)數(shù)千萬(wàn)元時(shí)，收益將呈非線性變化（效益遞減） 。其中 qk，k =1，2，...，N 是在第 k 種證券上的投資比例，q 0 是投資人所持現(xiàn)金比例；R 0k=R0=（1+r 0） ，r 0=存款利率或市場(chǎng)利率。44 / 257優(yōu)化投資組合的數(shù)學(xué)方法本章敘述新的投資組合數(shù)學(xué)理論。證券II（像是可轉(zhuǎn)換債券）的收益的期望和標(biāo)準(zhǔn)方差同樣是 和 ，但是收益的概率分布以 為中心（產(chǎn)出比以42 / 257 為中心）對(duì)稱反轉(zhuǎn)了一下（見(jiàn)圖 ），兩者投資價(jià)值分析如表 所示（這里忽略銀行利息和交易手續(xù)費(fèi)，R r是本書定義的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，參見(jiàn) 節(jié)）。雖然 Markowitz 理論的成就是巨大的，但是其缺陷也是不容忽視的。對(duì)于有 N 種證券的組合 P，期望收益變?yōu)? （）??kPEq1其中 Ek 是第 k 種證券的期望收益，q k 是相應(yīng)的投資比例；標(biāo)準(zhǔn)偏差變?yōu)? （）kllklkllPqc???其中 ckl 是協(xié)方差系數(shù)， ?k 和 ?l 是兩種證券的標(biāo)準(zhǔn)方差， ?kl 是相關(guān)系數(shù)，即 （）))()(,lkl klkl Err??優(yōu)化投資組合實(shí)際上是在 qk 的某些限制下（比如?qi=1），改變投資比例 q1， q2，... ，q N，使（） ?????klklkPcEEa??達(dá)最小。Markowitz 用收益的期望 E 和標(biāo)準(zhǔn)方差?表示一種證40 / 257券的投資價(jià)值，期望越大越好，而標(biāo)準(zhǔn)方差越小越好。 從本章前面內(nèi)容，我們可以看出投資組合的意義：1）在收益不確定且可能虧損的情況下，改變投資比例可以提高資金的平均增值速度；2）如果有多個(gè)收益和風(fēng)險(xiǎn)相同且彼此互不相關(guān)的品種，適當(dāng)分散投資比集中投資風(fēng)險(xiǎn)小，且資金增值的平均速度快；3）同時(shí)投資反相關(guān)的品種可以減小總的投資風(fēng)險(xiǎn)，提高資金平均增值速度。 e_2同理；r I 和 rII 是兩個(gè)品種的投資收益，比例 q 和 q* 是在每種證券上的投資比例和優(yōu)化的投資比例。我們用一對(duì)硬幣的兩面表示投資一個(gè)期貨品種或打賭的收益，同時(shí)是 A 面你虧 200%，同時(shí)是 B 面你賺38 / 257300%，一 A 一 B 你賺 50%。 從擲硬幣打賭看收益相關(guān)性對(duì) 投資效果的影響在前面我們假設(shè)幾個(gè)籃子被打翻是相互獨(dú)立的，如果幾個(gè)籃子被打翻是相關(guān)的會(huì)怎么樣呢？顯然，如果兩個(gè)籃子總是一道被打翻，那么，將雞蛋放在兩個(gè)籃子里和放在一個(gè)籃子里是一樣的，并不能降低風(fēng)險(xiǎn)并提高收益。210。190。186。192。182。表 優(yōu)化比例和幾何平均收益隨籃子數(shù)目變化籃子數(shù)目 1 2 3 4 N??最優(yōu)投資比例（%） 1?25 2?23 3? 4? N?100/N幾何平均收益（%） 500204060801001 2 3 4 N238。下面我們將說(shuō)明這是有數(shù)學(xué)道理的。因?yàn)橘Y金是按乘積方式增長(zhǎng)的（如表 所示），和盈虧順序無(wú)關(guān)。比如概率預(yù)測(cè)變?yōu)?Fr ={|?，|}時(shí)，和前面相比，期望收益沒(méi)有變，但是盈虧幅度減小了，風(fēng)險(xiǎn)也小了，最優(yōu)投資比例增大為 2/3，優(yōu)化的幾何平均收益增大為%。202。205。205。192。180。這樣可以看出，使幾何平均收益達(dá)最大的比例也就是使累積收益達(dá)最大的比例。假設(shè)平均兩次，你輸一次贏一次，則你的資金會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的（1+ ）（1?）= 倍?？墒侵灰幸淮文爿斄?，你就會(huì)變成窮光蛋，并且永遠(yuǎn)失去發(fā)財(cái)機(jī)會(huì)；你可能每次下注 10 元。國(guó)內(nèi)30 / 257許多股市期貨炒手對(duì)穩(wěn)定的 30％的年收益不屑一顧，他們情愿冒高風(fēng)險(xiǎn)追求 100%－200 ％的年收益，但是一旦虧損，就前功盡棄。彼得可見(jiàn)幾何增長(zhǎng)的厲害。幾何平均小于算術(shù)平均可以通過(guò)圖 得到說(shuō)明。比如，對(duì)于上面的擲硬幣打賭，如果你下注資金比例總是 1，則算術(shù)平均收益是 。上式中 q 增大時(shí)，幾何平均收益變化類似于拋物線，先大后小。當(dāng)一種投資的可能收益有多種時(shí)，期望收益變?yōu)?6 / 257 （）??iiarP我們稱相應(yīng)于期望收益的產(chǎn)出比 Ra 是期望產(chǎn)出比，于是有 Ra =1+ra 。假設(shè)有一種可以不斷重復(fù)的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現(xiàn)的可能性相同；出 A 面你投一虧一，出 B 面你投一賺二，則我們把收益的概率預(yù)測(cè)寫成 Fr ={P1|r1，P 2|r2}={|?1，|2}產(chǎn)出比的概率預(yù)測(cè)寫成FR ={P1|R1，P 2|R2}={|0，|3}其中 r1，r 2 是兩種可能的收益（相對(duì)于賭注），R 1，R 2 是兩種可能的產(chǎn)出比，P 1 和 P2 是兩種收益出現(xiàn)的概率，在0 和 1 之間變化。比如說(shuō)，投資股票 100 元，贏利 20 元，收益為r=20/100==20%；產(chǎn)出比 R=120/100==120%；如不買股票買國(guó)債的收益是 r0=，則超常收益是?=?==10%。我們用 r0 表示存款利息或國(guó)債收益，稱 ?＝r ?r0 為超常收益（excess return）。優(yōu)化投資組合說(shuō)具體一點(diǎn)就是：在給定未來(lái)收益的概率分布的情況下優(yōu)化投資比例。他只要把全部資金投入到收益最大的證券或項(xiàng)目中去就行了。證券種數(shù)更多且包括預(yù)測(cè)的軟件正在研制之中。讀者不妨各取所需。閱讀建議和聯(lián)系電話 本書是為有關(guān)領(lǐng)域的大專學(xué)生、教師和研究人員，以及有一定文化水平的投資或決策者寫的。我是完全站在 Buffett 一邊的?？梢哉f(shuō)，就投資組合模型來(lái)說(shuō)，Markowitz 是對(duì)的而 Arrow 錯(cuò)了，但就給定概率預(yù)測(cè)是否存在客觀的最優(yōu)組合來(lái)說(shuō)，Markowitz 是錯(cuò)的而 Arrow 是對(duì)的。這是兩本諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)叩臅阂槐臼?W. F. Sharpe 的著作 《證券投資理論與資本市場(chǎng)》[16]（ W. F. Sharpe 和 H. M. Markowitz 及 M. Miller 共獲1990 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)）；這是一本深入淺出的好書，然而其中的理論基礎(chǔ)——Markowitz 證券組合理論——關(guān) 于最優(yōu)證券組合問(wèn)題存在重大缺憾。我不知道這一新理論的命運(yùn)是否會(huì)比前面的幾個(gè)好一些。我們這個(gè)時(shí)代似乎已失去了對(duì)理論的激情；可能是因?yàn)檫@些理論離我們的日常生活太遠(yuǎn)，了解它們并不能增加我們的收入；也可能是因?yàn)檫@些理論太抽象，鑒別它們沒(méi)有簡(jiǎn)單明了的方法；還可能是因?yàn)橄驒?quán)威挑戰(zhàn)就像在拳壇上向老拳王挑戰(zhàn)一樣，你必須明確無(wú)誤打倒對(duì)手，而決不能指望以點(diǎn)數(shù)取勝；也可能是因?yàn)槭赖廊韵耵斞赶壬裕何要?dú)不解中國(guó)人何以于舊狀況那么心平氣和，于較新的機(jī)遇就這么疾首蹙額，于已成之局那么委屈求全，于初興之事就這么求全責(zé)備，知 識(shí)高超而目光 遠(yuǎn)大的先生們開(kāi)導(dǎo)我們：生下來(lái)的尚不是圣賢、豪杰、天才，就不要生；寫出來(lái)的尚不是不朽之作，就不要寫；改革的事尚不是一下子就變成極樂(lè)世界，或者，至少能（! ）有更多的好處，就萬(wàn)萬(wàn)不要?jiǎng)?！……我相信我的色覺(jué)模型能夠得到神經(jīng)生理學(xué)實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，我的信息理論也能得到天氣預(yù)報(bào)、預(yù)測(cè)編碼和模式識(shí)別的檢驗(yàn)……然而我沒(méi)有條件也沒(méi)有時(shí)間。后來(lái)我看到北京的鄧曉明在《潛科學(xué)》上發(fā)表了同樣的模型 [15]，他用時(shí)間乘上一個(gè)系數(shù)作為球的半徑，數(shù)據(jù)檢驗(yàn)吻合得很好。我又興奮起來(lái)，又以為我的理論會(huì)很快傳遍世界。雖然《光學(xué)學(xué)報(bào)》發(fā)表了，可是注意它的人并不多。這一模型能使色覺(jué)的三色素說(shuō)和頡頏說(shuō)得到巧妙的統(tǒng)一。到目前為止，我的分析哲學(xué)理論和我的美學(xué)理論命運(yùn)類似。其基本思想是：語(yǔ)言一致，比如同樣稱花紅草綠，而感覺(jué)不同是可能的；感覺(jué)是模擬符號(hào)，一種感覺(jué)并不一定反映特定的物性，感覺(jué)系列中的差異或者說(shuō)信息才是客觀的；語(yǔ)言所指不能是感覺(jué)、要素（馬赫用法）或現(xiàn)象界（康德用法）中的東西，而是現(xiàn)象界后面的客觀存在；我對(duì)語(yǔ)言和感覺(jué)的分析反倒證明馬赫的要素論和邏輯經(jīng)驗(yàn)主義是自相矛盾的 [10，11] 。市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下同樣是適者生存，太保守不行，太冒險(xiǎn)也不行；首先要能安全生存，然后才能考慮賺大錢。有了好的決策，可以以不變應(yīng)萬(wàn)變。有的機(jī)構(gòu)為了一點(diǎn)小利出租在天津國(guó)債回購(gòu)市場(chǎng)的席位，結(jié)果被遼國(guó)發(fā)之類害得很慘，不得不承擔(dān)他人欠下的巨額債務(wù)。大家知道，1996 年上半年，上海股市漲了 50%，深圳股市漲了 100%，可是許多上市基金賺的還錢不到其凈資產(chǎn)的 10%。理由是湘中意有合資概念，有莊家拉抬，湘中意“活躍”。我親眼目睹了國(guó)債期貨 327 事件瘋狂悲壯的一幕，了解到廣東 1995 年 11月秈米期貨多頭主力如何覆滅的過(guò)程；體會(huì)到了玉米、天然膠、豆粕、膠合板…………期貨的大起大落帶來(lái)的大悲大喜…………有散戶如兔如羊——死了（輸光了）；有機(jī)構(gòu)如虎如狼——也死了。正是因?yàn)橛行碌臄?shù)學(xué)理論指導(dǎo)決策，我才有幸成為不多的同在股市和期市賺錢的贏家之一，所管理的合作帳戶由1993 年 5 月的 1 元，到 1997 年 7 月（我修改本節(jié)內(nèi)容時(shí)）已變?yōu)?11 元多，漲了 10 倍；而同期深圳股市上漲不到 1倍，上海股市上漲不到 倍（比較見(jiàn)圖 ）。我曾做多滬市32337 國(guó)債，做空大連 1995 年 11 月玉米，買過(guò)海南1995 年 5 月咖啡，同時(shí)拋空 7 月咖啡——賺了；也曾做空廣東 1996 年 1 月豆粕，做多上海 1996 年 5 月大豆——虧了。為了檢驗(yàn)理論，我于 1995 年初投身期貨市場(chǎng)。炒過(guò)股票的人都知道，如果你總是將所有的資金買入股票，先賺 50% 再虧 50%；或者先虧后賺，這樣一來(lái)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你的資金變少了（變成 = 倍）。1882 年，玻爾茲曼（Boltzmann ）發(fā)展了熵理論，并把熵解釋為“失去的信息”。但是筆者炒股票也沒(méi)有因此而終止。原因之三是想向美國(guó)一些權(quán)威挑戰(zhàn)。我所著的《廣義信息論》 [4]中關(guān)于信息價(jià)值的討10 / 257論并不理想，而基于新的投資組合理論的信息價(jià)值理論正好可以彌補(bǔ)《廣義信息論》的不足。要想在風(fēng)險(xiǎn)投資領(lǐng)域生存和發(fā)展，好的預(yù)測(cè)和好的決策缺一不可。用“投資組合”而不是“組合投資”也是為了使它和 portfolio 原意更相近。當(dāng)很多人在說(shuō)為香港回歸而感到驕傲和自豪的時(shí)候，作者卻說(shuō)：“翻開(kāi)我們的教科書，比較中國(guó)人和英國(guó)人在科學(xué)史上的貢獻(xiàn)，我覺(jué)得中國(guó)人還需不懈努力，如果有一天中國(guó)人在科學(xué)技術(shù)上的進(jìn)步使得英美學(xué)生受罪學(xué)中文——像中國(guó)學(xué)生現(xiàn)在受罪學(xué)英文那樣，那時(shí)我才能真正自豪起來(lái)。作者還是期貨導(dǎo)報(bào)副刊專欄作者，筆名：魯莽；他寫過(guò)許多別有風(fēng)味的股市雜談和一篇連載的股市諧趣小說(shuō)，在小說(shuō)中以拿筆桿子的堂本書理論已被作者的實(shí)踐證明是有用的。強(qiáng)調(diào)風(fēng)險(xiǎn)控制而不反對(duì)使用賣空和透支的策略，看來(lái)這是奇怪的；而原來(lái)在這本書里，使資金快速增值(以幾何平均速度) 和控制投資風(fēng)險(xiǎn)壓根兒就是一回事。這本書是為與投資、預(yù)測(cè)和決策有關(guān)的學(xué)者寫的——所以書中有大量的數(shù)學(xué)公式；同時(shí)也是為有一定文化水平的股民、投資者或經(jīng)營(yíng)決策者寫的——所以書中有大量的投資組合實(shí)例分析，其中涉及股票、期貨、期權(quán)、貸款、保險(xiǎn)、賭博……書中關(guān)于股市的分析內(nèi)容尤為豐富。36 定價(jià)： 元3 / 257投資組合的熵理論和信息價(jià)值——兼 析 股 票 期 貨 等 風(fēng) 險(xiǎn) 控 制魯晨光 著中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社1997合肥4 / 257圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)投資組合的熵理論和信息價(jià)值——兼析股票期貨等風(fēng)險(xiǎn)控制/魯晨光 著—合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1997 年 10 月ISBN 7312009522 /F近些年來(lái)投資市場(chǎng)的大風(fēng)大浪使人們?cè)絹?lái)越意識(shí)到：面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)極大的投資市場(chǎng)，我們太需要一個(gè)關(guān)于如何使資金快速增值而又有助于控制投資風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)理論了。用作者的話來(lái)說(shuō)：最穩(wěn)妥的進(jìn)攻就是最好的防守。作