【正文】 C FAy FBy x y x 彎矩方程為 ? ?22222xqxqlxqxFxM Ay????? ?lx ??0(2) 建立梁的撓曲線近似微分方程，并積分 ? ? 222 xqxqlxMyEI ???????積分一次得 CxqxqlEIyEI ?????? 32 64?再積分一次得 DCxxqxqlE I y ????? 43 2412(b) (a) 彎曲變形 (3) 由邊界條件確定積分常數(shù)。 簡支梁在支座處撓度為零，即 0?Ay 0?By將 x=0時(shí)， yA=0代 入 (b)式得 D=0 將 x=l時(shí)， yB=0代 入 (b)式得 243qlC ?(4) 確定轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。 ???????? ????24641 332 qlxqxqlEI????????? ???? xqlxqxqlEIy 2424121 343（ ?） 轉(zhuǎn)角方程： 撓曲線方程 彎曲變形 EIqlA 243??EIqlB 243??? 由于該簡支梁的外力及邊界條件均對(duì)稱于跨中截面，因此梁的撓曲線也對(duì)稱于跨中截面，由撓曲線可知，最大撓度一定在跨中截面 C處。 EIqlyyC 3845 4m a x ??求指定的轉(zhuǎn)角和撓度 彎曲變形 四、 疊加法計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角 所謂 疊加法 ，就是指結(jié)構(gòu)在多個(gè)荷載作用下產(chǎn)生的某量值（包括反力、內(nèi)力或變形等）等于在每個(gè)荷載作用下產(chǎn)生的該量值的代數(shù)和。 必須注意此法只適合于線彈性范圍之內(nèi)。 用疊加法求撓度和轉(zhuǎn)角的步驟是： ⑴ 將作用在梁上的復(fù)雜荷載分解成幾個(gè)簡單荷載，簡稱荷載分組。 ⑵ 查表求梁在簡單荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。 ⑶ 疊加簡單荷載作用下的各撓度和轉(zhuǎn)角，求出復(fù)雜荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。 彎曲變形 = + q FP A B C a a FP A B q A B 例 按疊加原理求 A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和 C點(diǎn)撓度。 解： 載荷分解如圖。由表，查簡單載荷引起的變形。 EIaFyFC 63??EIaFFA 42???EIqayqC 245 4?EIqaqA 33?? 疊加 EIqaEIaFqAFAA 3432 ????????EIqaEIaFyyyqCFCC 245643???? ?彎曲變形 例 外伸梁受荷載如圖示，梁的抗彎剛度 EI為常數(shù)，試求 C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。 解 : ⑴ 將圖 a的荷載分解成圖 b和圖 c兩種情況。 ⑵ 由表分別求圖 b、圖c兩種情況下外伸梁 C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。 q 2a a A C B (a) C q A B (b) A C B q (c) 彎曲變形 A C B q C q A B (b) (c) EIqaEIaaqaEIalqaC 26)2(6)( 3221 ??????EIqaaaEIqaalEIqayC 2411)324(24)34(244331 ??????在圖 b中 C截面的轉(zhuǎn)角和撓度為 在圖 c中 C截面的轉(zhuǎn)角為 EIqaEIaqEIqlBC 324)2(243332 ??????? ??EIqaayBC 342 ???? ?（ ?） （ ?） （ ?） （ ?） 彎曲變形 ⑶ C截面的轉(zhuǎn)角和撓度均為上述兩部分疊加。 (a) q A C B EIqaEIqaEIqaCCC 63233321 ????? ???EIqaEIqaEIqayyyCCC 832411 44421 ?????（ ?） （ ?） 彎曲變形 五、梁的剛度條件 對(duì)梁進(jìn)行剛度校核就是檢查梁的變形是否在工程上允許的范圍內(nèi)。對(duì)梁進(jìn)行剛度校核的目的是為了保證梁的正常使用。若梁的變形超過了規(guī)定的范圍，則意味著它已不能正常工作，應(yīng)重新設(shè)計(jì)梁。 在土木工程中對(duì)梁進(jìn)行剛度校核時(shí)，通常只對(duì)撓度進(jìn)行校核。梁的撓度容許值通常用許可撓度與梁跨長的比值 [f/l]作為標(biāo)準(zhǔn)。 按照梁的工程用途，在有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范中，對(duì) [f/l]有具體規(guī)定。在土建工程方面， [f/l]的值常限制在 1/250～ 1/1000范圍內(nèi)。 彎曲變形 ⒈ 梁的剛度條件 在土建工程中，梁的剛度條件式為 ???????lfly m a x式中： ymax為梁在荷載作用下的最大撓度。 ⒉ 梁的剛度條件在工程中的應(yīng)用 三方面的應(yīng)用：剛度校核、設(shè)計(jì)截面、計(jì)算容許荷載。 對(duì)于土建工程中的梁，一般情況下強(qiáng)度條件能滿足要求時(shí)，剛度條件也能滿足要求。所以，通常在設(shè)計(jì)梁時(shí)是按強(qiáng)度條件計(jì)算截面或容許荷載，按剛度條件進(jìn)行校核。若剛度不滿足要求時(shí)，才再按剛度設(shè)計(jì)截面或求容許荷載。 彎曲變形 例 如圖示簡支木梁。橫截面為圓形。已知 FP=， l=4m木材的容許應(yīng)力 [σ]=10MPa，彈性模量 E=10 103MPa,容許相對(duì)撓度 [f/l]=1/250，試選擇木梁的直徑。 FP 2m A B C 2m z d M圖 解 (1) 畫梁的彎矩圖。 a x ??M彎曲變形 （ 2）由梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)截面 ][m a xm a x ?? ??zWM由得滿足正應(yīng)力強(qiáng)度時(shí)梁的抗彎截面系數(shù)為： 3536m a x 10][ ??????MWz又圓形截面的抗彎截面系數(shù)計(jì)算公式為 323dW z ??所以梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度時(shí)應(yīng)有 53 32 ??d?mm154?d取 。 mm160?d彎曲變形 (3) 對(duì)直徑為 d=160mm，的梁進(jìn)行剛度校核 由表查得該梁的最大撓度發(fā)生在跨中，其值為： ? ?6416 10104848 433333m a x ?????????????????????? ?EIlFy?????????? lfly26911043m a x滿足剛度要求因此，該木梁的直徑取為 d=160mm， 彎曲變形 二、提高梁剛度的措施 從計(jì)算梁的撓度公式很容易發(fā)現(xiàn)，梁的撓度與作用在梁上的荷載、梁跨度的 n次方成正比，與梁的抗彎剛度成反比，并且與梁的形式、荷載的作用方式和位置等有關(guān)。 梁的撓度與各種因素間的關(guān)系可以用以下表達(dá)式來描述： EIly n???系數(shù)荷載 要提高梁的剛度，就應(yīng)設(shè)法降低撓度。 彎曲變形 FP l/2 A B C l/2 q=FP/l A B l ⒈ 改變荷載的作用方式 在結(jié)構(gòu)和使用條件允許的情況下，合理調(diào)整荷載的位置及分布情況，使梁的撓度減小。 EIlFy3848 3m a x?? EIlFy3 8 45 3m a x??彎曲變形 ⒉ 減小梁的跨度 梁的撓度與其跨度的 n次方成正比。因此，設(shè)法減小梁的跨度，將能有效地減小梁的撓度，從而提高梁的剛度。 EIqly 4m a x ?EIqly 43m a x ??? EIqly 43m a x ???l/5 q l/5 q l/2 l/2 q l 彎曲變形 ⒊ 增大梁的抗彎剛度 梁的撓度與抗彎剛度成反比，材料的彈性模量 E增大或梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩增大均能使梁的撓度減小。 不同材料的彈性模量 E值不同，而同類材料的彈性模量 E值相差不大，比如對(duì)鋼材來說采用高強(qiáng)度鋼可以提高梁的強(qiáng)度，但由于高強(qiáng)度鋼與普通低碳鋼屬于同類材料，彈性模量 E值很接近。所以，用高強(qiáng)度鋼并不能顯著提高梁的剛度。 彎曲變形 工程中增大梁的抗彎剛度主要是從增大梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩這方面考慮，就是設(shè)法在截面面積不變的情況下，采用合理的截面形狀，使截面面積盡可能分布在遠(yuǎn)離中性軸的部位。 如：優(yōu)先采用工字形、箱形、環(huán)形、 T形等截面。 彎曲變形