【正文】 C FAy FBy x y x 彎矩方程為 ? ?22222xqxqlxqxFxM Ay????? ?lx ??0(2) 建立梁的撓曲線近似微分方程，并積分 ? ? 222 xqxqlxMyEI ???????積分一次得 CxqxqlEIyEI ?????? 32 64?再積分一次得 DCxxqxqlE I y ????? 43 2412(b) (a) 彎曲變形 (3) 由邊界條件確定積分常數(shù)。 簡支梁在支座處撓度為零，即 0?Ay 0?By將 x=0時， yA=0代 入 (b)式得 D=0 將 x=l時， yB=0代 入 (b)式得 243qlC ?(4) 確定轉角方程和撓曲線方程。 ???????? ????24641 332 qlxqxqlEI????????? ???? xqlxqxqlEIy 2424121 343（ ?） 轉角方程： 撓曲線方程 彎曲變形 EIqlA 243??EIqlB 243??? 由于該簡支梁的外力及邊界條件均對稱于跨中截面，因此梁的撓曲線也對稱于跨中截面，由撓曲線可知，最大撓度一定在跨中截面 C處。 EIqlyyC 3845 4m a x ??求指定的轉角和撓度 彎曲變形 四、 疊加法計算梁的撓度和轉角 所謂 疊加法 ，就是指結構在多個荷載作用下產(chǎn)生的某量值（包括反力、內力或變形等）等于在每個荷載作用下產(chǎn)生的該量值的代數(shù)和。 必須注意此法只適合于線彈性范圍之內。 用疊加法求撓度和轉角的步驟是： ⑴ 將作用在梁上的復雜荷載分解成幾個簡單荷載，簡稱荷載分組。 ⑵ 查表求梁在簡單荷載作用下的撓度和轉角。 ⑶ 疊加簡單荷載作用下的各撓度和轉角，求出復雜荷載作用下的撓度和轉角。 彎曲變形 = + q FP A B C a a FP A B q A B 例 按疊加原理求 A點轉角和 C點撓度。 解： 載荷分解如圖。由表，查簡單載荷引起的變形。 EIaFyFC 63??EIaFFA 42???EIqayqC 245 4?EIqaqA 33?? 疊加 EIqaEIaFqAFAA 3432 ????????EIqaEIaFyyyqCFCC 245643???? ?彎曲變形 例 外伸梁受荷載如圖示，梁的抗彎剛度 EI為常數(shù)，試求 C截面的撓度和轉角。 解 : ⑴ 將圖 a的荷載分解成圖 b和圖 c兩種情況。 ⑵ 由表分別求圖 b、圖c兩種情況下外伸梁 C截面的撓度和轉角。 q 2a a A C B (a) C q A B (b) A C B q (c) 彎曲變形 A C B q C q A B (b) (c) EIqaEIaaqaEIalqaC 26)2(6)( 3221 ??????EIqaaaEIqaalEIqayC 2411)324(24)34(244331 ??????在圖 b中 C截面的轉角和撓度為 在圖 c中 C截面的轉角為 EIqaEIaqEIqlBC 324)2(243332 ??????? ??EIqaayBC 342 ???? ?（ ?） （ ?） （ ?） （ ?） 彎曲變形 ⑶ C截面的轉角和撓度均為上述兩部分疊加。 (a) q A C B EIqaEIqaEIqaCCC 63233321 ????? ???EIqaEIqaEIqayyyCCC 832411 44421 ?????（ ?） （ ?） 彎曲變形 五、梁的剛度條件 對梁進行剛度校核就是檢查梁的變形是否在工程上允許的范圍內。對梁進行剛度校核的目的是為了保證梁的正常使用。若梁的變形超過了規(guī)定的范圍，則意味著它已不能正常工作，應重新設計梁。 在土木工程中對梁進行剛度校核時，通常只對撓度進行校核。梁的撓度容許值通常用許可撓度與梁跨長的比值 [f/l]作為標準。 按照梁的工程用途，在有關設計規(guī)范中，對 [f/l]有具體規(guī)定。在土建工程方面， [f/l]的值常限制在 1/250～ 1/1000范圍內。 彎曲變形 ⒈ 梁的剛度條件 在土建工程中，梁的剛度條件式為 ???????lfly m a x式中： ymax為梁在荷載作用下的最大撓度。 ⒉ 梁的剛度條件在工程中的應用 三方面的應用：剛度校核、設計截面、計算容許荷載。 對于土建工程中的梁，一般情況下強度條件能滿足要求時，剛度條件也能滿足要求。所以，通常在設計梁時是按強度條件計算截面或容許荷載，按剛度條件進行校核。若剛度不滿足要求時，才再按剛度設計截面或求容許荷載。 彎曲變形 例 如圖示簡支木梁。橫截面為圓形。已知 FP=， l=4m木材的容許應力 [σ]=10MPa，彈性模量 E=10 103MPa,容許相對撓度 [f/l]=1/250，試選擇木梁的直徑。 FP 2m A B C 2m z d M圖 解 (1) 畫梁的彎矩圖。 a x ??M彎曲變形 （ 2）由梁的正應力強度條件設計截面 ][m a xm a x ?? ??zWM由得滿足正應力強度時梁的抗彎截面系數(shù)為： 3536m a x 10][ ??????MWz又圓形截面的抗彎截面系數(shù)計算公式為 323dW z ??所以梁滿足正應力強度時應有 53 32 ??d?mm154?d取 。 mm160?d彎曲變形 (3) 對直徑為 d=160mm，的梁進行剛度校核 由表查得該梁的最大撓度發(fā)生在跨中，其值為： ? ?6416 10104848 433333m a x ?????????????????????? ?EIlFy?????????? lfly26911043m a x滿足剛度要求因此，該木梁的直徑取為 d=160mm， 彎曲變形 二、提高梁剛度的措施 從計算梁的撓度公式很容易發(fā)現(xiàn)，梁的撓度與作用在梁上的荷載、梁跨度的 n次方成正比，與梁的抗彎剛度成反比，并且與梁的形式、荷載的作用方式和位置等有關。 梁的撓度與各種因素間的關系可以用以下表達式來描述： EIly n???系數(shù)荷載 要提高梁的剛度，就應設法降低撓度。 彎曲變形 FP l/2 A B C l/2 q=FP/l A B l ⒈ 改變荷載的作用方式 在結構和使用條件允許的情況下，合理調整荷載的位置及分布情況，使梁的撓度減小。 EIlFy3848 3m a x?? EIlFy3 8 45 3m a x??彎曲變形 ⒉ 減小梁的跨度 梁的撓度與其跨度的 n次方成正比。因此，設法減小梁的跨度，將能有效地減小梁的撓度，從而提高梁的剛度。 EIqly 4m a x ?EIqly 43m a x ??? EIqly 43m a x ???l/5 q l/5 q l/2 l/2 q l 彎曲變形 ⒊ 增大梁的抗彎剛度 梁的撓度與抗彎剛度成反比，材料的彈性模量 E增大或梁橫截面對中性軸的慣性矩增大均能使梁的撓度減小。 不同材料的彈性模量 E值不同，而同類材料的彈性模量 E值相差不大，比如對鋼材來說采用高強度鋼可以提高梁的強度，但由于高強度鋼與普通低碳鋼屬于同類材料，彈性模量 E值很接近。所以，用高強度鋼并不能顯著提高梁的剛度。 彎曲變形 工程中增大梁的抗彎剛度主要是從增大梁橫截面對中性軸的慣性矩這方面考慮，就是設法在截面面積不變的情況下，采用合理的截面形狀，使截面面積盡可能分布在遠離中性軸的部位。 如：優(yōu)先采用工字形、箱形、環(huán)形、 T形等截面。 彎曲變形