【正文】 本題考查了勾股定理的運(yùn)用、矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形．　32．（2016?安徽模擬）定義：若三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是x、y和z，滿足x2+y2=z2，則稱這個(gè)三角形為勾股三角形．（1）根據(jù)上述定義，“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題；（2）已知一勾股三角形三個(gè)內(nèi)角從小到大依次為x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如圖，△ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求證：△ABC是勾股三角形．【分析】（1）直接根據(jù)“勾股三角形”的定義，判斷得出即可；（2）利用已知得出等量量關(guān)系組成方程組，進(jìn)而求出x+y的值；（3）過B作BH⊥AC于H，設(shè)AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，進(jìn)而得出∠A=45176。，∠C=60176。，∠B=75176。，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命題；理由如下：∵對(duì)于任意的三角形，設(shè)其三個(gè)角的度數(shù)分別為x176。、y176。和z176。，若滿足x2+y2=z2，則稱這個(gè)三角形為勾股三角形，∴無法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命題；（2）解：由題意可得：，解得：x+y=102；（3）證明：過B作BH⊥AC于H，如圖所示：設(shè)AH=xRt△ABH中，BH=，Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2=4，解得：x=，∴AH=BH=，HC=1，∴∠A=∠ABH=45176。，∴tan∠HBC===，∴∠HBC=30176。，∴∠BCH=60176。，∠B=75176。，∴452+602=752∴△ABC是勾股三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了新定義、多元方程組解法、勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系，利用勾股定理得出AH，HC的長是解題關(guān)鍵．　33．（2016?蘇州模擬）如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30176。夾角，長為20km，BC段與AB、CD段都垂直．長為10km，CD段長為30km，求兩高速公路間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】過B點(diǎn)作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)求得BE，在Rt△BCF中，根據(jù)三角函數(shù)求得BF，在Rt△DFG中，根據(jù)三角函數(shù)求得FG，再根據(jù)EG=BE+BF+FG即可求解．【解答】解：過B點(diǎn)作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB?sin30176。=20=10km，在Rt△BCF中，BF=BC247。cos30176。=10247。=km，CF=BF?sin30176。==km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF?sin30176。=（30﹣）=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故兩高速公路間的距離為（25+5）km．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．　34．（2016?海寧市一模）如圖是某學(xué)校主樓梯從底樓到二樓的樓梯截面圖，已知BC=7米，AB=6+3米，中間平臺(tái)DE與地面AB平行，且DE的長度為2米，DM、EN為平臺(tái)的兩根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分別為M、N，∠EAB=30176。，∠CDF=45176。，樓梯寬度為3米．（1）若要在樓梯上（包括平臺(tái)DE）鋪滿地毯，求地毯的長度；（2）沿樓梯從A點(diǎn)到E點(diǎn)鋪設(shè)價(jià)格為每平方米100元的地毯，從E點(diǎn)到C點(diǎn)鋪設(shè)價(jià)格為每平方米120元的地毯，求用地毯鋪滿整個(gè)樓梯共需要花費(fèi)多少元錢？【分析】（1）由圖可知：地毯的總長度是（AB+BC）的長，已知了樓道的寬度，可由矩形的面積公式求出地毯的總面積；（2）關(guān)鍵是求出AN、NE、DF、FC的長，可設(shè)AN=x，然后用x表示出EN、DF、CF的長，由于△CDF是等腰直角三角形，則DF=CF，根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系，可求出x的值，進(jìn)而可求出AN、NE、DF、CF的長，然后再根據(jù)兩段地毯的單價(jià)求出鋪滿樓梯所花費(fèi)的總價(jià)錢．【解答】解：（1）地毯的長度=AB+BC=7+6+3=13+3（米）；（2）設(shè)EN=DM=BF=x，則BM=DF=CF=7﹣x，∵EN⊥AB，∠EAB=30176。，∴AN=EN=x，∵AB=AN+MN+MB，∴x+2+（7﹣x）=6+3，解得：x=3，即平臺(tái)的高度為3m，所需費(fèi)用為1003（AN+EN）+1203（ED+DF+CF）=1003（3+3）+1203（2+4+4）=900+4500（元）；答：用地毯鋪滿整個(gè)樓梯共需要花費(fèi)（900+4500）元錢．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、解直角三角形中特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，能夠正確的求出AN的長是解答此題的關(guān)鍵．　35．（2016春?潮州期末）如圖，在△ABC中，E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，其中BD=1，DC=3，BC=，AD=，求DE的長．【分析】首先根據(jù)勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形且∠BDC=90176。，再利用勾股定理可求出AC的長，進(jìn)而可求出DE的長．【解答】解：∵BD=1，DC=3，BC=，又∵12+32=（）2，∴BD2+CD2=BC2，∴△BCD是直角三角形且∠BDC=90176。，∴∠ADC=90176。，∴AC==4，又∵E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)∴DE==2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及其逆定理的運(yùn)用，首先要證明三角形BCD是直角三角形且∠BDC=90176。是解題的關(guān)鍵．　36．（2016春?嘉祥縣期末）在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上．　　（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為、請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．【分析】（1）利用△ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案；（2）利用△ABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）如圖①所示：△ABC的面積為：33﹣12﹣23﹣13=；故答案為：；（2）如圖②所示：24﹣14﹣12﹣22=3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，根據(jù)題意正確畫出△ABC是解題關(guān)鍵．　37．（2016秋?雅安期末）在△ABC中，已知AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D在BC上，且BD=，連接AD，求證：AD⊥AC．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性質(zhì)得出BE=BC=8，由勾股定理得：AE=6，AD2=AE2+DE2=，DC2=（BC﹣BD）2=，AC2=100，得出AC2+AD2=DC2，證出△DAC為直角三角形即可．【解答】證明：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，如圖所示：∵AB=AC=10，BC=16，∴BE=BC=8，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2=AE2+DE2=，在△ADC中：DC2=（BC﹣BD）2=，AC2=100，∴AC2+AD2=DC2，∴△DAC為直角三角形，∴DA⊥AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．　38．（2016秋?大同期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=28cm，BC=20cm，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在CA邊上由點(diǎn)C向A運(yùn)動(dòng)．（1）P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為3cm/s，經(jīng)過2秒后，△BPD與△CPQ是否全等，說明理由（2），是否存在某一時(shí)刻，使△BPD≌△CQP．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△BPD≌△CPQ，可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度時(shí)間公式，先求得BP，CQ，PC，若△BPD≌△CPQ必須有BP=CP，可得方程求解即可．【解答】解：（1）△BPD≌△CPQ，∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD=14．又∵BP=32=6，∴CP=20﹣6=14，CQ=32=6，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CPQ中，∴△BPD≌△CPQ．（2）存在，設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)△BPD≌△CPQ．依題意BP=，CQ=，PC=20﹣．若△BPD≌△CPQ必須有BP=CP，=20﹣，解得t=4．故當(dāng)t=4秒時(shí)△BPD≌△CPQ．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，全等三角形的判定，主要運(yùn)用了路程=速度時(shí)間的公式，要求熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)．　39．（2016春?寧都縣期末）如圖，將一根25cm長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為8cm、6cm和10cm的長方體無蓋盒子中，求細(xì)木棒露在盒外面的最短長度是多少？【分析】長方體內(nèi)體對(duì)角線是最長的，當(dāng)木條在盒子里對(duì)角放置的時(shí)候露在外面的長度最小，這樣就是求出盒子的對(duì)角線長度即可．【解答】解：由題意知：盒子底面對(duì)角長為=10cm，盒子的對(duì)角線長：=20cm，細(xì)木棒長25cm，故細(xì)木棒露在盒外面的最短長度是：25﹣20=5cm．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力及勾股定理的應(yīng)用．　40．（2016秋?丹江口市期末）“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點(diǎn)E，南門點(diǎn)F分別是AB、AD的中點(diǎn)，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG=15里，HG經(jīng)過點(diǎn)A，問FH多少里？【分析】首先根據(jù)題意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式求得答案即可．【解答】解：∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，HG經(jīng)過點(diǎn)A，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠AEG=∠HFA=90176。，∠EAG=∠FHA，∴△GEA∽△AFH，∴=．∵AB=9里，AD=7里，EG=15里，∴AF=，AE=，∴=，∴FH=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形，難度不大．　第54頁（共54頁）