20xx屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)理試解析版-資料下載頁
2025-04-04 02:48本頁面
【正文】 方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)l⊥x軸時不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．將y＝kx－2代入＋y2＝1消去y整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.當(dāng)Δ＝16(4k2－3)0，即k2時，x1+x2=16k1+4k2x1x2=121+4k2|PQ|＝|x1－x2|＝.又點O到直線PQ的距離d＝.所以△OPQ的面積S△OPQ＝d|PQ|＝.設(shè)＝t，則t0，S△OPQ＝＝.因為t＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝177。時等號成立，且滿足Δ0.所以當(dāng)△OPQ的面積最大時，l的方程為y=72x2或y=72x2.【點睛】本題主要考查了橢圓及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題. 求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立a,b,c的方程，求出a2,b2即可，注意a2=b2+c2,e=ca的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出x1+x2,x1?x2，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．21．（Ⅰ）a=0，切線方程為3x－ey＝0．（Ⅱ） a的取值范圍為[92,+∞)．【解析】【分析】(Ⅰ)根據(jù)f39。(0)=0可求a，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率（Ⅱ）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上小于等于零恒成立，可分類討論二次函數(shù)求a的范圍.【詳解】(Ⅰ)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝＝.因為f(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.當(dāng)a＝0時，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)0得0x2；由f′(x)0得x0或x2,故 a=0時f(x)在x=0處取得極值．此時可得f(1)＝，f′(1)＝，所以曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－＝ (x－1)，即3x－ey＝0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.當(dāng)xx1時，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1xx2時，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)為增函數(shù)；當(dāng)xx2時，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)為減函數(shù)．由f(x)在[3，＋∞)上為減函數(shù)，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范圍為[92,+∞).【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想，分離參數(shù)的方法，推理能力與計算能力，屬于難題.22．（Ⅰ）增區(qū)間為(0,12m) ，減區(qū)間為(12m，+∞)．（Ⅱ）整數(shù)的最小值為2.【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)定義域，然后求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)大于零得到增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零得到減區(qū)間（2）關(guān)于x的不等式F(x)≤mx1恒成立，即為lnx12mx2+(1m)x+1≤0 恒成立，令h(x)=lnx12mx2+(1m)x+1，求導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，討論m的符號，由最大值小于等于0，通過分析即可得到m的最小值.【詳解】（1）由題意得函數(shù)的定義域為(0,+∞)，∵f(x)=lnxmx2，∴f39。(x)=1x2mx=12mx2x．①當(dāng)m≤0時f39。(x)0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).②當(dāng)m0時，由f39。(x)0，解得0x12m；由f39。(x)0，解得 x12m．∴函數(shù)的增區(qū)間為(0,12m)，減區(qū)間為(12m，+∞)．（2）法一：令 .所以.當(dāng)時，因為，所以所以在上是遞增函數(shù)，.當(dāng)時， .令得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因為，又因為在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時，.所以整數(shù)的最小值為2. 法二：由恒成立知恒成立，令，則，令，因為，則為增函數(shù).故存在，使，即，當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù).所以，而，所以，所以整數(shù)的最小值為2.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的基本思路，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解的方法，屬于難題.
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