20xx屆黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學高三上學期開學考試數學理試解析版-資料下載頁
2025-04-04 02:48本頁面
【正文】 方程為＋y2＝1. (2)當l⊥x軸時不合題意，故設l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．將y＝kx－2代入＋y2＝1消去y整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.當Δ＝16(4k2－3)0，即k2時，x1+x2=16k1+4k2x1x2=121+4k2|PQ|＝|x1－x2|＝.又點O到直線PQ的距離d＝.所以△OPQ的面積S△OPQ＝d|PQ|＝.設＝t，則t0，S△OPQ＝＝.因為t＋≥4，當且僅當t＝2，即k＝177。時等號成立，且滿足Δ0.所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為y=72x2或y=72x2.【點睛】本題主要考查了橢圓及直線與橢圓的位置關系，屬于難題. 求橢圓方程的方法一般就是根據條件建立a,b,c的方程，求出a2,b2即可，注意a2=b2+c2,e=ca的應用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據題目條件設直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數關系寫出x1+x2,x1?x2，再根據具體問題應用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．21．（Ⅰ）a=0，切線方程為3x－ey＝0．（Ⅱ） a的取值范圍為[92,+∞)．【解析】【分析】(Ⅰ)根據f39。(0)=0可求a，根據導數的幾何意義可求切線的斜率（Ⅱ）由函數在區(qū)間上單調遞減，知導函數在區(qū)間上小于等于零恒成立，可分類討論二次函數求a的范圍.【詳解】(Ⅰ)對f(x)求導得f′(x)＝＝.因為f(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.當a＝0時，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)0得0x2；由f′(x)0得x0或x2,故 a=0時f(x)在x=0處取得極值．此時可得f(1)＝，f′(1)＝，所以曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－＝ (x－1)，即3x－ey＝0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.當xx1時，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)為減函數；當x1xx2時，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)為增函數；當xx2時，g(x)0，即f′(x)0，故f(x)為減函數．由f(x)在[3，＋∞)上為減函數，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范圍為[92,+∞).【點睛】本題主要考查了導數的運算法則，導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性極值，考查了分類討論思想，分離參數的方法，推理能力與計算能力，屬于難題.22．（Ⅰ）增區(qū)間為(0,12m) ，減區(qū)間為(12m，+∞)．（Ⅱ）整數的最小值為2.【解析】【分析】（1）先求出函數定義域，然后求導，通過導數大于零得到增區(qū)間，導數小于零得到減區(qū)間（2）關于x的不等式F(x)≤mx1恒成立，即為lnx12mx2+(1m)x+1≤0 恒成立，令h(x)=lnx12mx2+(1m)x+1，求導數，求得單調區(qū)間，討論m的符號，由最大值小于等于0，通過分析即可得到m的最小值.【詳解】（1）由題意得函數的定義域為(0,+∞)，∵f(x)=lnxmx2，∴f39。(x)=1x2mx=12mx2x．①當m≤0時f39。(x)0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上是增函數.②當m0時，由f39。(x)0，解得0x12m；由f39。(x)0，解得 x12m．∴函數的增區(qū)間為(0,12m)，減區(qū)間為(12m，+∞)．（2）法一：令 .所以.當時，因為，所以所以在上是遞增函數，.當時， .令得，所以當時，；當時，因此函數在是增函數，在是減函數.故函數的最大值為.令，因為，又因為在上是減函數，所以當時，.所以整數的最小值為2. 法二：由恒成立知恒成立，令，則，令，因為，則為增函數.故存在，使，即，當時，為增函數，當時，為減函數.所以，而，所以，所以整數的最小值為2.【點睛】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的基本思路，不等式恒成立問題轉化為函數最值問題來求解的方法，屬于難題.
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