20xx屆黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)理試題解析版-資料下載頁(yè)
2025-04-04 02:48本頁(yè)面
【正文】 裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，是中檔題．20．(1) f(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加。(2) a的取值范圍為(－∞，].【解析】【分析】(1)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－′(x)0，f′(x)0可求的單調(diào)區(qū)間；(2求導(dǎo)得到)f′(x)＝ex－1－(1)知ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立．故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而對(duì)1－2a的符號(hào)進(jìn)行討論即可得出結(jié)果.【詳解】(1)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加(2)f′(x)＝ex－1－(1)知ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而當(dāng)1－2a≥0，即a≤時(shí)，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1＋x(x≠0)得e－x1－x(x≠0)，從而當(dāng)a時(shí)，f′(x)ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)， f′(x)0，而f(0)＝0，于是當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，f(x)0，綜上可得a的取值范圍為(－∞，]．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.21．(1) an＝(2n－1)2n－1。(2) Sn＝(2n－3)2n＋3.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，并寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式以及{an}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和定義，利用錯(cuò)位相減法求出Sn；【詳解】(1)證明：因?yàn)閍n＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1，即－＝1，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差d＝1，其首項(xiàng)＝，所以＝＋(n－1)1＝n－，解得an＝2n＝(2n－1)2n－1. (2)Sn＝120＋321＋522＋…＋(2n－1)2n－1，①2Sn＝121＋322＋523＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，②①－②，得－Sn＝120＋221＋222＋…＋22n－1－(2n－1)2n＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.所以Sn＝(2n－3)2n＋3.【點(diǎn)睛】本題考查了等差與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的個(gè)項(xiàng)和的問(wèn)題，是綜合性題目．22．(1)切線(xiàn)方程為：；（2）, 。(3)k的最大值是3.【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，由點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程；（2）研究數(shù)在上的單調(diào)性即可求出在上的最小值；（3）由題意分離變量對(duì)任意恒成立，即即可，構(gòu)造函數(shù)，研究的性質(zhì)，求出其最小值即可試題解析：⑴∵得定義域?yàn)?又故函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即（2）∵，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，得（3）對(duì)任意恒成立，即 對(duì)任意恒成立， 即對(duì)任意恒成立令令在上單調(diào)遞增?！摺嗨源嬖谖ㄒ涣泓c(diǎn)，即。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在時(shí)單調(diào)遞減；在時(shí)，單調(diào)遞增；∴由題意，又因?yàn)?，所以考點(diǎn)：原來(lái)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，切線(xiàn)方程等
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