20xx屆遼寧省沈陽市東北育才中學(xué)高三上期中數(shù)學(xué)試卷理科解析版(1)-資料下載頁
2025-04-04 02:48本頁面
【正文】 從而表示三角形PAE,PBF的面積，求出面積之和用基本不等式求最小值，求出等號(hào)成立時(shí)的tanα，即可確定E,F的位置；（2） 用角α表示PE+PF，構(gòu)建函數(shù)f(α)=PE+PF=8cosα+1sinα，用導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系求之即可．試題解析：（1）在Rt△PAE中，由題意可知∠APE=α，AP=8，則AE=8tanα．所以S△PAE=12PAAE=32tanα． 2分同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，PB＝1，則BF=1tanα，所以S△PBF=12PBBF=12tanα． 4分故△PAE與△PFB的面積之和為32tanα+12tanα5分≥232tanα12tanα=8，當(dāng)且僅當(dāng)32tanα=12tanα，即tanα=18時(shí)，取“＝”，故當(dāng)AE=1km，BF=8km時(shí)，ΔPAE與ΔPFB的面積之和最小． 6分（2）在Rt△PAE中，由題意可知∠APE=α，則PE=8cosα．同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，則PF=1sinα．令f(α)=PE+PF=8cosα+1sinα，0απ2， 8分則f39。(α)=8sinαcos2αcosαsin2α=8sin3αcos3αsin2αcos2α， 10分令f39。(α)=0，得tanα=12，記tanα0=12，0α0π2，當(dāng)α∈(0,α0)時(shí)，f39。(α)0，f(α)單調(diào)減；當(dāng)α∈(α0,π2)時(shí)，f39。(α)0，f(α)單調(diào)增．所以tanα=12時(shí)，f(α)取得最小值， 12分此時(shí)AE=AP?tanα=812=4，BF=BPtanα=2．所以當(dāng)AE=4km，且BF=2km時(shí)，PE+PF的值最小． 14分考點(diǎn)：1．三角函數(shù)應(yīng)用；2．基本不等式；3．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值．22．(1)2,+∞；(2)0,e44e212e2.【解析】分析：由已知f39。(x)=x+1xa(x0,a∈R)，(1)①若f(x)在定義域上單調(diào)遞增，討論可得a≤2；②若f(x)在定義域上單調(diào)遞減，討論可得a∈?.據(jù)此可得a∈2,+∞.(2)由(1)知，a39。(x)=x+1xa=x2ax+1x=0的兩根分別為x1,x2，設(shè)0x11x2，則m=f(x1)，計(jì)算可得S=mx=f(x1)f(x2)=12x1x2x2x1+lnx1x2 令t=x1x2∈(0,1)，換元討論可得S∈0,e44e212e2.詳解：由已知f39。(x)=x+1xa(x0,a∈R)，(1)①若f(x)在定義域上單調(diào)遞增，則f39。(x)≥0，即a≤x+1x在(0，+∞)上恒成立，而x+1x∈2,+∞，所以a≤2；②若f(x)在定義域上單調(diào)遞減，則f39。(x)≤0，即a≥x+1x在(0，+∞)上恒成立，而x+1x∈2,+∞，所以a∈?.因?yàn)閒(x)在定義域上不單調(diào)，所以a2，即a∈2,+∞.(2)由(1)知，欲使f(x)在(0，+∞)有極大值和極小值，必須a2.又ae+1e，所以2ae+1e.令f39。(x)=x+1xa=x2ax+1x=0的兩根分別為x1,x2，即x2ax+1=0的兩根分別為x1,x2，于是x1+x2=ax1x2=1.不妨設(shè)0x11x2，則f(x)在0,x1上單調(diào)遞增，在x1,x2上單調(diào)遞減，在x2,+∞上單調(diào)遞增，所以m=f(x1),n=f(x2)，所以S=mx=f(x1)f(x2)=(12x12+ax1+lnx1)(12x22+ax2+lnx2)=12(x12x22)a(x1x2)+(lnx1lnx2) =12(x12x22)+lnx1x2=12x12x22x1x2+lnx1x2=12x1x2x2x1+lnx1x2 令t=x1x2∈(0,1)，于是S=12(t1t)+lnt.t+1t=x12+x22x1x2=(x1+x2)22x1x2x1x2=a22∈(2,e2+1e2)，由t+1te2+1e2，得1e2t1.因?yàn)镾39。=12(1+1t2)+1t=12(1t1)20，所以S=12(t1t)+lnt在1e2,1上為減函數(shù).所以S∈0,e44e212e2.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
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