20xx屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三上學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)文科試題解析版-資料下載頁
2025-04-04 02:47本頁面
【正文】 Ⅰ）依題意：折痕所在直線m為線段A39。A的垂直平分線，∴PA=PA39。，∴PB+PA= PB + PA39。=4＞2，∴P的軌跡是以B、A為焦點，長軸長為4，焦距為2的橢圓．∴b2=3．∴橢圓方程為x24+y23=1．（Ⅱ）由題意可知：在AB所在直線上存在一點T，使得TR|TR|+TS|TS|所在直線一定經(jīng)過原點等價于在AB所在直線上存在一點T，使得TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱當(dāng)直線l垂直于x軸時，x軸上任意一點都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，當(dāng)直線l不垂直于x軸時，假設(shè)存在T（t，0）滿足條件，設(shè)l的方程為y=k（x﹣1），R（x1，y1），S（x2，y2），聯(lián)立y=k(x1)3x2+4y212=0，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=8k23+4k2x1x2=4k2123+4k2，①，其中△＞0，∵TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，∴y1x1t+y2x2t=0，②∵R，S兩點在直線y=k（x﹣1）上，∴y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入②，得：k(x11)(x2t)+k(x21)(x1t)(x1t)(x2t)=k[2x1x2(t+1)(x1+x2)+2t](x1t)(x2t)=0，∴2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，③將①代入③，得8k224(t+1)8k2+2t(3+4k2)3+4k2=6t243+4k2=0，④要使得④與k的取值無關(guān)，則t=4，綜上所述，存在T（4，0），使得當(dāng)l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，即在AB所在直線上存在一點T，使得TR|TR|+TS|TS|所在直線一定經(jīng)過原點.【點睛】本題考查橢圓的定義、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．21．（Ⅰ）函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,12)和(1a,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(12,1a)（Ⅱ）證明略．【解析】【分析】（Ⅰ）求出f39。x=2x1ax+1x，解導(dǎo)不等式可得f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先確定0＜x1x2≤12，再利用y=(x1x2)h39。(x1+x22)=4(t1)t+1﹣2lnt（0＜t≤12），即可求y=(x1x2)h39。(x1+x22)的最小值，從而得證．【詳解】（Ⅰ）∵f(x)=ax2+(2a)xlnx(a∈R)∴f39。x=2ax+2a1x=2ax2+2ax1x=2x1ax+1x又a∈2,0，x＞0令f39。x＞0，解得12＜x＜1a，令f39。x＜0，解得0＜x＜12或x＞1a∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,12)和(1a,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(12,1a)；（Ⅱ）g(x)=13x3+m2x2+x+1，g39。x=x2+mx+1,由題意|x1+x2|≥322△=m24＞0x1+x2=mx1x2=1，∴m2=(x1+x2)2x1x2≥92，解得0＜x1x2≤12，當(dāng)a=1時，即證：hx=lnxfx+bx=2lnxx2+b1xh39。x=2x2x+b1，hx1=2lnx1x12+b1x1, hx2=2lnx2x22+b1x2,兩式相減得：2lnx1x2﹣（x1﹣x2）（x1+x2）+b1（x1﹣x2）=0，∴x1x2h39。x1+x22=4(t1)t+12lnt（0＜t≤12），記φt=4(t1)t+12lnt，則φ39。t=2(t1)2t(t+1)2＜0，∴φt=4(t1)t+12lnt在（0，12]遞減，∴φt的最小值為φ12=2ln243即(x1x2)h39。(x1+x22)≥2ln243，得證.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查證明不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22．（Ⅰ）2；（Ⅱ）2+655．【解析】【分析】（Ⅰ）消去參數(shù)α得曲線C1的普通方程，將曲線C2化為直角坐標(biāo)方程，兩式作差得直線AB的方程，則直線AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲線是以C1（0，1）為圓心，半徑為1的圓，由C2方程可知曲線是以C2（2，0）為圓心，半徑為2的圓，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知當(dāng)|CD|取最大值時，圓心C1，C2在直線AB上，進(jìn)一步求出直線CD（即直線C1C2）的方程，再求出O到直線CD的距離，則四邊形ACBD的面積可求．【詳解】（Ⅰ）消去參數(shù)α得曲線C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0．…（1）將曲線C2：ρ=4cosθ化為直角坐標(biāo)方程得x2+y2﹣4x=0．…（2）由（1）﹣（2）化簡得y=2x，即為直線AB的方程，故直線AB的斜率為2；（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲線C1是以C1（0，1）為圓心，半徑為1的圓，由C2：x2+y2﹣4x=0知曲線C2：是以C2（2，0）為圓心，半徑為2的圓．∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，∴當(dāng)|CD|取最大值時，圓心C1，C2在直線CD上，∴直線CD（即直線C1C2）的方程為：2x+y=2．∵O到直線CD的距離為d=25=255，即|AB|=455又此時|CD|=|C1C2|+1+2=3+5，∴四邊形ACBD的面積S=12?|CD|?|AB|=2+655．【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程化成普通方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題．23．（Ⅰ）2；（Ⅱ）k∈(3,+∞)．【解析】【分析】（Ⅰ）運(yùn)用公式法解絕對值不等式；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為2x+12x的最小值小于2+k，求出k的范圍即可．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)a≤0時，顯然不適合題意；當(dāng)a＞0時，|ax+1|≤a，解得11a≤x≤11a，又不等式f(x)≤a的解集為[32,12]．∴11a=3211a=12，解得a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2∴|2x+1|2|x|+2+k，即2x+12x＜2+k又ab≤ab∴2x+12x≤2x+12x=1∴1≤2x+12x≤1若存在x∈R，使不等式f(x)a|x|+a+k成立，則2x+12x的最小值小于2+k即1＜2+k∴k＞3【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，考查存在性問題．要求學(xué)生熟練掌握絕對值三角不等式．
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