20xx-20xx學(xué)年第一學(xué)期揚(yáng)州中學(xué)高二期中數(shù)學(xué)試卷-資料下載頁(yè)
2025-04-04 02:44本頁(yè)面
【正文】 ＝2的半徑，所以直線AP與圓x2+y2＝2相切（2）設(shè)Q(x0,2)，E（x1，y1）由OQ⊥OE，則⊥，可得x0x1+2y1=0而EQ：(y12)x (x1x0)y(y12)x0+2(x1x0)=0d== 由x0x1+2y1=0得x0=代入上式得d===又+2=4，=42，代入上式得d=所以直線EQ與圓x2+y2＝2相切。 （6分+10分）此題背景：此題以橢圓為背景，難點(diǎn)在于設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，得QE直線方程，證明與圓相切，體現(xiàn)設(shè)而不求的想法，有一定的運(yùn)算推理要求。：左焦點(diǎn)F，左頂點(diǎn)A，橢圓上一點(diǎn)B滿足BF⊥x軸，且點(diǎn)B在x軸下方，BA連線與左準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P任意引一直線與橢圓交于C、D，連結(jié)AD、BC交于點(diǎn)Q，若實(shí)數(shù)λ1，λ2滿足：＝λ1，＝λ2（1）求λ1λ2的值（2）求證：點(diǎn)Q在一定直線上解：（1）因?yàn)镕(2,0)，由BF⊥x軸，由對(duì)稱性不妨設(shè)B(2,3)，則直線AB：y＝(x+4)又左準(zhǔn)線l:x＝8，所以P(8,6)又＝λ1，所以＝，同理由＝λ2，得＝又＝，所以＝又//，比較系數(shù)得＝，所以λ1λ2＝（此題本質(zhì)是梅涅勞斯定理，由△QAB及截線PCD，可得λ1λ2＝，應(yīng)給全分）（2）證明：設(shè)點(diǎn)C(x1,y2)，D(x2,y2)，Q(x0,y0)由＝λ1，得x1＝，y1＝代入橢圓方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48整理得：(3+448)(12x0+24y0+96)λ1＝0顯然λ1≠0，所以λ1＝同理由＝λ2，得x2＝，y2＝代入橢圓方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48同理可得：λ2＝又由（1）λ1λ2＝，所以，＝整理得：x0y0+2＝0即點(diǎn)Q在定直線xy+2＝0上（6分+10分）此題實(shí)質(zhì)是圓錐曲線極點(diǎn)極線的一個(gè)性質(zhì)。問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)，將幾何關(guān)系用適當(dāng)?shù)南蛄筷P(guān)系表出，既體現(xiàn)向量和解析幾何的共性，又為解題指引方向。第（1）小問(wèn)充分體現(xiàn)了構(gòu)圖特點(diǎn)，為第（2）問(wèn)埋下伏筆；第（2）體現(xiàn)了問(wèn)題本質(zhì)PF⊥QF。原題：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為O，左準(zhǔn)線為z，A，B是橢圓上兩點(diǎn)，使得OA⊥OB，AB交左準(zhǔn)線z于點(diǎn)P，一直線過(guò)點(diǎn)P且交橢圓于C、D，AD交BC于點(diǎn)E，如圖，求證：OE⊥OP
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