【正文】 Qaφ內(nèi) =[?]R2+ a2? 2RacosθR142R12R cosθR2+2 ?aa因為球外φ = 0 故感應(yīng)電荷集中在內(nèi)表面 并且為Q. 13
 電動力學(xué)習(xí)題解答參考第二章靜電場 而是帶總電荷 Q0,或使其有確定電勢?0 試求這兩種情況的電勢 又問?0與 Q0是何種關(guān)系時 兩種情況的解是相等的解 由于球殼上有自由電荷 Q0 并且又是導(dǎo)體球殼 故整個球殼應(yīng)該是等勢體 其電勢用Q + Q04πε 0R2高斯定理求得為所以球殼內(nèi)的電勢將由 Q 的電勢 像電荷?QR1a 的電勢及球殼的電勢疊加而成 球外電勢利用高斯公式就可得故?QR114πε 0 + Q0R2?aφ內(nèi) =[?+].(R R1)???4R 2 + a 2 ? 2RacosθR1 2R12R cosθR2+2 ?φ =aa??φ = Q + Q0 ,(R R2)?外4πε R?0?QR114πε 0Q?aφ內(nèi) =[?]+φ0.(R R1)???4R 2 + a 2 ? 2RacosθR2R12R cosθR 2 +a12 ?或φ =a??φ = Rr2 φ0,(R R2)?外?當(dāng)φ0 = Q + Q0時兩種情況的解相同4πε R2011 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為 a 的半球凸部 如圖 半球的球心在導(dǎo)體平面上 點電荷 Q位于系統(tǒng)的對稱軸上 并與平面相距為 b ba 試用電象法求空間電勢解 如圖 利用鏡像法 根據(jù)一點電荷附近置一P無限大接地導(dǎo)體平板和一點電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型 可確定三個鏡像電荷的電量和位置Q? ba QRQ1 = ? ba Q,r1 = ab rr2Oa 2 = ba Q,r2 = ? ab r2rQ3 = ?Q,r3 = ?brrb4πε 011aφ =[?+R2+ b2? 2RbcosθR2+ b2+ 2Rbcosθab42+ 2 a2b R2+b Rcosθ 14
 電動力學(xué)習(xí)題解答參考第二章靜電場a+],(0 ≤θ π 2,R a)ab42 ? 2 ab Rcosθ2b R2+12. 有一點電荷 Q 位于兩個互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi) 它到兩個平面的距離為 a和 b求空間電勢zP(x, y, z)Q(x0,a,b)aQ(x0,a,b)b解 可以構(gòu)造如圖所示的三個象電荷來代替兩導(dǎo)體板的作用y+(x0,a,b)(x0,a,b)Q4πε 011φ =?[??(x ? x0)2 + (y ? a)2 + (z ?b)2(x ? x0)2 + (y ? a)2 + (z + b)211+],(y,z 0)(x ? x0)2+ (y + a)2+ (z ?b)2(x ? x0)2+ (y + a)2+ (z + b)2 其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為 的液體 取該兩平面為 xz 面和 yz 面 在 x0,y0,z0 和 x0,y0,z0 兩點分別置正負(fù)電極并通以電流 I 求導(dǎo)電液體中的電勢解 本題的物理模型是 由外加電源在 A B 兩點間建立電場 使溶液中的載流子運動形z成電流 I,當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時 是恒定場 即 ??rj + ?ρ?t = 0 中 ?ρ?t = 0對于恒定的電流 可按靜電場的方式處理rjA(x0,y0,z0)于是 在 A點取包圍 A的包圍面ir ?dsri = Er ?σσEr ?dsr = Q而又有rI =∫}? σ1 I =Er ?dsr∫y∫ε n1 I = εQ ? Q = Iε11rjx∴有對 BσσB(x0,y0,z0)Q = ?Q = ? Iε1zQBσQ(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)rjn = 0,即元電流流入容器壁又在容器壁上Q(x0,y0,z0)由rj = σEr 有 jn = 0時 En = 0rry∴可取如右圖所示電像Q(x0,y0,z0)Q(x0,y z0)0,Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)x 15
 電動力學(xué)習(xí)題解答參考第二章靜電場的圖 說明 ρ = ?(Pr ??)δ (xr)是一個位于原點的偶極子的電荷密度dδ (x) dδ (x)dx解 δ (x) = ??0,x ≠ 0?∞,x = 0dxdδ (x) = lim δ (x + ?x) ?δ (x)dx?xx?x→01 x ≠ 0時 dδ (x) = 0dx0 ? ∞ = ?∞?x2 x = 0時a ?x 0, dδ (x) = limdx?x→0b)?x 0, dδ (x) = lim0 ? ∞ = +∞dx?x?x→015 證明1a1 δ (ax) = δ (x).(a 0) 若 a0,結(jié)果如何2 xδ (x) = 0δ (x ? xk 所以δ (ax) = δ (x)證明1 根據(jù)δ[φ(x)] =∑φ 39。(xk )a2 從δ (x)的定義可直接證明有任意良函數(shù) f(x),則 f (x)? x = F(x)也為良函數(shù)f (x)xδ (x)dx = f (x)? x x=0 = 0∫16 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為 Pr(xr39。) 根據(jù)偶極子靜電勢的公式 極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為Pr(xr39。)?rrdV 39。4πε r30? =∫V另外 根據(jù)極化電荷公式 ρ = ??39。 ? Pr(xr39。)及σ = nr ? Pr,極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為rrPP?39。 ? Pr(xr39。) dV 39。 +∫S∫VPr(xr39。)?dSr39。4πε0rP? = ?4πε0rr試證明以上兩表達式是等同的X’O 16
 電動力學(xué)習(xí)題解答參考第二章靜電場證明Pr(xr 39。)??39。 1r dV 39。14πε 0Pr(xr39。)?rrr 31dV 39。 = 4πε 0? =∫V∫V又有 ?39。p (P ) = ?39。 ? P + Pr ??rr1r1r39。 1r?39。 ? PrP?39。 ?( )rr1?39。 ? PrrPrdV 39。] = 4πε 0 [?∫∫V則? = 4πε 0 [?∫VdV 39。 +dV 39。 +∫S r ?dSr]139。r39。V39。?39。 ? Pr dV 39。 +∫S[1Pr ?nr dS] =14πε 0ρsσr4πε 0 [?∫V 39?！襐PdV 39。 +∫S dS]P=rrrr剛好是極化體電荷的總電勢和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢之和17 證明下述結(jié)果 并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化1 在面電荷兩側(cè) 電勢法向微商有躍變 而電勢是連續(xù)的2 在面偶極層兩側(cè) 電勢有躍變?2 ??1 = ε10 nr ? Pr而電勢的法向微商是連續(xù)的 各帶等量正負(fù)面電荷密度177。σ 而靠的很近的兩個面 形成面偶極層 而偶極矩密度 Pr = lim σlr.)σ →∞l→0z2E ??s = σ ??s ,E證明1 如圖可得ε 01+xσσz ? σ z = 0∴E = 2ε ,φ1 ?φ2 =S22ε02ε 00E= Er1 =σ erz02 =?n2Er2 = 2ε 0?φ1?n1?φσ(?erz )面2ε∴ ?φ? ?φ= σε 01?n122?n2)可得 Er =σ re+rznrr1ε 0nr ? Prε 0∴φ2 ?φ1 = limEr ?lr = lim σ nr ?lr =2εl→0l→00r= Er?φ1?n?φ2?n又= E,z 17
 電動力學(xué)習(xí)題解答參考第二章靜電場∴ ?φ?n? ?φ?n21= 0. R0 的球面 在球坐標(biāo) 0 θ π 的半球面上電勢為?0 在 θ π 的半π22球面上電勢為??0 求空間各點電勢P (x) ? P (x) 1,01P (x)dx = n 1+n?12n +1∫0n提示 Pn (1) = 1?0,(n =奇數(shù))?Pn (0) =?n1?3?5???(n? 1)2?4?6?(?1) 2,(n =偶數(shù))?解??2φ內(nèi) 0???2φ外 = 0?φ內(nèi) r→0 ∞??φ外 r→∞ = 0??φ0,0 ≤θ π??2φ r=R = f (θ) =?0π??φ0, θ ≤ π??2∑AlrlPl (cosθ) 這是φ內(nèi)按球函數(shù)展開的廣義傅立葉級數(shù) Alrl是展開系數(shù)φ內(nèi) =12l +1[φ內(nèi) R Pl (cosθ)d cosθ] = 2l +1[?πAlR0l = fl =φ內(nèi) R Pl (cosθ)?sinθdθ ]∫?1∫22000π2l +1[?φ0Pl (cosθ)sinθdθ + ππ==∫∫20∫φ0Pl (cosθ)sinθdθ ]222l +1[φ00Pl (x)dx ?φ0 ?1Pl (x)dx]∫021= 2l +1φ0[?0 Pl (x)dx +1Pl (x)dx∫∫2?10由 Pl (?x) = (?1)l Pl (x)2l +1φ∫則AlR0l =0[(?1)l+1∫1P(x)dx +01P(x)dx]20 18
 電動力學(xué)習(xí)題解答參考第二章靜電場= 2l +1φ0[(?1)l+1 +1]1Pl (x)dx∫02當(dāng) l為偶數(shù)時 AlR0l = 0當(dāng) l為奇數(shù)時 有2l +1φPl+1(x) ? Pl?1(x) 10l+1 +1]∫1Pl (x)dx0AlR0l =0[(?1)= (2l +1)φ022l +1l+12l?12? 4?6???(l +1) ? (?1) 2? 4?6???(l ?1)21?3?5???l1?3?5???(l ? 2)]= ?φ0[(?1)l?12l?12? 4?6???(l +1) + (?1) 2? 4?6???(l ?1)21?3?5???l1?3?5???(l ? 2)]= φ0[(?1)l?12l?11?3?5???(l ? 2)l12??34??56??????((ll?+21)) (2l +1)2? 4?6???(l ?1) (l +1+1) = φ0(?1)2= φ0(?1)l?12則Al = φ0l (?1)12??34??56??????((ll?+21)) (2l +1)R0l?1212??34??56??????((ll?+21)) (2l +1)(Rr )l Pl (cosθ