【正文】 )，可得 (3)式中是Cauchy應(yīng)力張量的主值。將式(2)代入式(3)，得到或者 743 給出變形運動為常數(shù)。求對應(yīng)于Mooney應(yīng)變能函數(shù)的應(yīng)力。 解 Mooney應(yīng)變能函數(shù)為 (1)式中的一次和二次主不變量，=。按式(734),將式(1)代入上式，得到其中于是 (2) 由式(1)可計算出 (3)將式(3)代入(2)，就得到所要計算的應(yīng)力。 744 試由ColemanNoll條件(CN條件) (1)推導(dǎo)廣義CN條件(GCN條件) (2)此處的對稱正定張量。 解 式(1)可寫作 (3)將式(3)中的互換，然后與式(3)相加，即得到式(2)。證畢。 745 應(yīng)變能函數(shù)外凸的條件為對于各向同性材料，有外凸的條件為式中?，F(xiàn)設(shè)證明所給定的應(yīng)變能函數(shù)是外凸的。 解 由題給的，可得于是證畢。 746 設(shè)應(yīng)變能函數(shù)為，則有 (1)又根據(jù)客觀性原理，知 (2)證明 (3)式(3)是為標(biāo)架無關(guān)量的條件。 解 根據(jù)式(1)及(2)，可得由以上二式可得積分上式，可得 (4)對應(yīng)力沒有影響，不失一般性，可取。于是式(3)得證。 注：① 從式(4)可得應(yīng)用正交群的理論，Noll曾證明。于是對應(yīng)力無關(guān)緊要的附加項的確為零。 ② 本題與習(xí)題715是互為逆命題，只不過在習(xí)題715中，用表示。 747 證明 ① 的標(biāo)架無關(guān)將導(dǎo)致的對稱性； ② 的對稱性。 解 ① 的客觀性要求(參見上題)式中為任何正交張量，取。于是如果應(yīng)變能函數(shù)是客觀的，則必有 (1)于是 (2)因為是對稱張量，亦為對稱張量，因此有 (3)將式(3)代入(2)，得到 (4)再將式(4)代回式(2)，將得到由上式可得或者 (5)再按式可見，式(5)導(dǎo)致為對稱張量；于是我們證明了的客觀性必然導(dǎo)致的對稱性。 ② 的下列表達式 (6)可見，如果是客觀的，則為客觀的，于是由上面的結(jié)果(式4)，上式可寫作已知是對稱張量，所以，上式表明為對稱張量。亦即的客觀性(通過式6)導(dǎo)致的對稱性。 748 證明所有彈性流體都是超彈性的，其應(yīng)變能函數(shù)為 (1) 解 彈性流體的本構(gòu)方程為 (2)于是單位質(zhì)量的應(yīng)變能率為 (3)根據(jù)質(zhì)量守恒定律，有將上式代入式(3)消去，得到于是單位質(zhì)量的應(yīng)變能為 749 設(shè)彈性材料的Cauchy應(yīng)力響應(yīng)函數(shù)，則有。又該材料的應(yīng)變能函數(shù)為，試證 (1) 解 已知，于是有由以上的兩式可得 (2)此處已用到。對于具有應(yīng)變能函數(shù)的超彈性材料，式(2)可寫成 (3)式中為不變的張量。記則由上式可得或者將上式代入式(3)，得 (4)積分上式，得到上式對任何變形梯度都成立，令，可得上式是超彈性材料對對稱的充分和必要條件。由此可見，Cauchy應(yīng)力響應(yīng)函數(shù)的對稱群不等同于應(yīng)變能函數(shù)的對稱群。 現(xiàn)設(shè)在的對稱群中，有部分元素，則式(1)變?yōu)? (5)上式表示，這樣的的對稱元素。記的一個子群。 注意到，時，則有。于是，如果材料的對稱群屬于正交群，則有，即 750 各向同性彈性材料在無限小變形下的本構(gòu)方程為 (1)式中為小變形下的應(yīng)變，為記為小變形下的轉(zhuǎn)動。 ① 求彈性剛度 ② 設(shè)平面內(nèi)的簡單剪切變形中，平面沿方向的剪切量。證明 (2) ③ 設(shè)參考構(gòu)形內(nèi)的體元，證明 (3) ④ 設(shè)證明 (4) ⑤ 由式(1)可得 (5)對以上兩式作出力學(xué)解釋。 解 ① 由式(1)可求出彈性剛度為 (6)上式表明 (7) ② 題給簡單剪切的變形梯度的分量矩陣為于是位移梯度的分量矩陣為所以的分量矩陣為即式(2)得證。 ③ 其中可以略去，所以式(3)得證。 ④ 根據(jù)題給不等式，有(應(yīng)用式1及7)其中的偏張量。于是，所以上式要求式(4)得證。 ⑤ 上面已證，所以式(5)表明，在無限小變形中，剪應(yīng)力應(yīng)指向?qū)嶋H剪切的方向，式則表明，平均壓應(yīng)力對應(yīng)于體積減小，平均拉應(yīng)力對應(yīng)于體積增加。 751 對于均勻變形運動，其變形梯度只是時間的函數(shù)，運動方程為 (1)設(shè)比體力Cauchy第一定律為 (2)試求出式(1)中的。 解 簡單材料的本構(gòu)方程為；由于變形梯度只是時間的函數(shù)，所以本構(gòu)方程簡化為從而。于是式(2)化簡為 (3)將式(1)代入式(3)，得到由上式可得 (4)于是 (5)式中是任意非奇異張量，是任意的固定點。 752 續(xù)上題，已求出，求速度梯度。 解 已知速度梯度為，又由上題中的式(5)，可求出所以本均勻變形運動的速度梯度為 753 續(xù)上題。證明習(xí)題751中的均勻變形是等容變形的充分和必要條件為 (1) 解 充分性。證明若式(1)成立，則。實際上 (2)其中 (3)式中。將式(1)和(3)代入式(2)，得到。充分性得證。 必要性。由式(2)及(3)可得如果，必有必要性得證。 754 試說明前題中的為非奇異張量的條件。 解 張量為非奇異張量的條件是 (1)已設(shè)的條件是 (2) (3) ① 由式(2)可見，當(dāng)。但是是任意的二階張量，(見習(xí)題751)，所以，一般地?zé)o從談?wù)撈涮卣髦档膯栴}。 ② 由式(3)可見，在某時段；其中不排斥例如，在等容變形中，(參見上題)。于是式(3)表明，在時段之內(nèi)，包括，都可保證變形運動是非奇異的。 755 證明簡單剪切變形是等容均勻變形，且有。 解 在笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)，簡單剪切變形的變形梯度為(分量矩陣) (1)上式表明，所以簡單剪切是均勻變形。將式(1)與習(xí)題751中的式，相比較，可見 (2)從式(2)易見。所以簡單剪切是等容變形。 756 均勻變形的另一典型例子是均勻純變形，即 (1)證明，應(yīng)滿足下式 解 從式(1)。按式(3813)，有其中，所以上式要求 (3)現(xiàn)在，由式(3)可見，同軸(或可交換的)；而同軸，即式(2)得證。 757 續(xù)上題。對于均勻純變形運動，證明： ① 如果，則的主方向(Lagrange主軸)是固定的，即其中為固定不變的單位矢量。 ② 如果均勻純變形運動中的加速度為常數(shù)，則為時間的線性函數(shù)。 ③ 棱邊與平行的矩形塊，在時段內(nèi)(參見習(xí)題754)將變?yōu)榱硪痪匦螇K。 ④ 只當(dāng)運動變?yōu)殪o止時，此變形運動才是等容的。 解 ① 記，則有給出同軸，由上式可看出是固定不變的；而。 ② 已知均勻變形可表示為加速度為(設(shè)為慣性系)如果(純變形)及于是或者即是時間的線性函數(shù)。 ③ 已證在均勻純變形運動中，是固定的，因此棱邊平行于的矩形塊在變形過程中方位不變，但邊長分別為分別是原矩形塊的邊長。亦即原來棱邊平行于的矩形塊變形后依然是矩形塊。 ④ 等容變形要求或者由于之間彼此獨立，所以上式要求亦即相對于時間是常數(shù)，表明只當(dāng)運動轉(zhuǎn)為靜止時，變形才是等容的。 758 設(shè)熱彈性材料的比自由能，求滿足熱力學(xué)第二基本定律的條件；證明，在等溫過程中熱彈性材料呈現(xiàn)超彈性材料的行為，但在等能過程中(比內(nèi)能)熱彈性材料一般地不是超彈性材料。 解 以自由能表示的熱力學(xué)第二定律為(參見式539，但將) (1)式中將上兩式代入式(1)，得到 (2)上式對任何熱力學(xué)過程都成立，而無關(guān)，因此由上式可得 (3)這就是熱彈性材料本構(gòu)方程保證式(1)成立應(yīng)滿足的條件。當(dāng)時， (4)這時，熱彈性材料呈現(xiàn)超彈性材料的行為，其應(yīng)變能函數(shù) (5) 用比內(nèi)能表示的熱力學(xué)第二定律為(參見式537，其中)式中，代入上式得到為保證上式在所有熱力學(xué)過程成立，要求 (6)上式表明，即使在等能過程中()熱彈性材料也不存在應(yīng)變能函數(shù)，即不能看作超彈性材料。如果視作基本狀態(tài)變量，則可得到(讀者自行證明) (7)當(dāng)時，(等熵過程)，則有 (8)356