【正文】 徑的圓周上，可以認(rèn)為在邊界的外側(cè)有強(qiáng)度為的電源，在邊界的內(nèi)側(cè)（即反演點(diǎn)）有強(qiáng)度為的點(diǎn)源，為了保持圓內(nèi)流體流量的平衡。在圓心處要放置同樣強(qiáng)度的點(diǎn)匯?！尽?在如圖所示的半無限的平行槽內(nèi)的左下角，置有一強(qiáng)度為m的點(diǎn)源。試求其流動復(fù)勢及共軛復(fù)速度。 解：應(yīng)用Schwarz變換，將這一半無限平行槽變換成平面的上半平面。 取下列為相對應(yīng)點(diǎn) 而另一無限遠(yuǎn)點(diǎn)需對應(yīng)于，由Schwarz變換的性質(zhì)可知，對應(yīng)于的項在變換式中將不出現(xiàn)。 因此，該變換式為 積分后得 為決定積分常數(shù)，應(yīng)用對應(yīng)點(diǎn)關(guān)系當(dāng) 代入上式得 得 B=0當(dāng) 有 得 [由于 ] 故變換函數(shù)為 或 在平面上，的對應(yīng)點(diǎn)處應(yīng)有一強(qiáng)度為2的點(diǎn)源[由于是全平面上點(diǎn)源的復(fù)勢，它只有一半流入上半平面] 故在平面上的復(fù)勢為 代回至平面，得 則共軛復(fù)速度 【】 設(shè)在圖示空氣對圓柱的有環(huán)量繞流中，已知A點(diǎn)為駐點(diǎn)。若，圓柱的半徑。試求：（1）另一駐點(diǎn)B及壓強(qiáng)最小點(diǎn)的位置；（2）圓柱所受升力大小及方向；（3）繪制大致的流譜。 解：作平移變換 ，則圓柱中心位于平面上的原點(diǎn)M， 則繞流復(fù)勢為 A點(diǎn)在平面上的坐標(biāo)為，其中 據(jù)題意 因此 由于 故 單位長度上的升力 ，方向垂直，（逆時針方向轉(zhuǎn)） 用復(fù)數(shù)可表示為 將改用極坐標(biāo)表示 故 在圓柱體表面 令 ，得兩駐點(diǎn)位置 故 得圓柱面上速度最大點(diǎn) 由伯努利方程可知，該點(diǎn)即是壓強(qiáng)p最小點(diǎn)。 流線譜如圖【】 兩個環(huán)量布置如圖所示，試：（1）寫出復(fù)勢，求出勢函數(shù)和流函數(shù)；（2）證明單位圓恰是一條流線；（3）將上述單位圓作為圓柱固壁，求處點(diǎn)渦對此圓柱體的作用力。 解：（1） 故 （2） 將 代入流函數(shù)中 常數(shù) 因此證明是一條流線。（3） 由公式 由于 在單位圓之外，故只需計算 的留數(shù) 因此 即 本題另一求解方法：由于這兩個點(diǎn)渦產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度場使得它們均以 的速度向下運(yùn)動。 由儒可夫斯基定理 這里的升力指與運(yùn)動方向垂直。【】 在半徑為a的圓筒內(nèi)距中心b處有一強(qiáng)度為的點(diǎn)渦，試描述該點(diǎn)渦的運(yùn)動。 解：為使圓筒能成為一條流線，在圓筒外，必須設(shè)置一個內(nèi)部點(diǎn)渦的虛像，其強(qiáng)度為（轉(zhuǎn)向相反，即順時針轉(zhuǎn)向），設(shè)其位置距筒內(nèi)點(diǎn)渦的距離為h，則由關(guān)于圓的反演點(diǎn)的定義，應(yīng)有 或者 圓筒內(nèi)點(diǎn)渦的運(yùn)動，將由其筒外虛像所引起，虛像對它的誘導(dǎo) 速度為 由于點(diǎn)渦的運(yùn)動永遠(yuǎn)平行于壁面，故這時它將繞中心作等速圓周運(yùn)動，運(yùn)動的角 速度為 【】 如圖所示，寬為的無限高容器，在側(cè)壁高為處有一個小孔，流體以流量自小孔流出，證明復(fù)勢為 解：交換函數(shù)將容器寬度變?yōu)椋? 交換函數(shù)將平面上的容器內(nèi)區(qū)域變成平面上的上半平面（如圖） 故 在平面上，實軸為平面壁，點(diǎn)匯在實軸上 在處， 由于存在關(guān)系式 因此平面上的點(diǎn)匯在實軸上的 處， 根據(jù)平面壁鏡像原理，則 【】 在半徑為a的圓柱外及兩點(diǎn)處有強(qiáng)度為及的一對點(diǎn)渦，另有大小為的均流沿x軸正向流來，試寫出這一流動的復(fù)勢。 解：沒有圓柱時，均流及兩個點(diǎn)渦的復(fù)勢為 放入圓柱后，由圓定理可得均流及上述兩個點(diǎn)渦關(guān)于圓柱的虛像的復(fù)勢 為 總復(fù)勢 【】 設(shè)在流場中有一半徑為a的圓柱，距圓柱中心b處有一強(qiáng)度為的點(diǎn)渦。試證明（1）該點(diǎn)渦以角速度繞圓柱轉(zhuǎn)動； （2）圓柱表面的流體速度可表示為，其中為圓柱表面上所求速度點(diǎn)與點(diǎn)渦之間的距離。 解：（1）在（b，0）處點(diǎn)渦的復(fù)勢為 由于流場中有半徑為a的圓柱，根據(jù)圓定理 總的復(fù)勢為 復(fù)速度為 由于b點(diǎn)處點(diǎn)渦的運(yùn)動由其在圓柱內(nèi)的虛像所引起，故其速度 可見，當(dāng)該點(diǎn)渦恰好在實軸上時，有 角速度 （順時針方向） （2）圓柱表面上一點(diǎn)速度 以 代入共軛復(fù)速度表達(dá)式 得 故在圓柱 處速度為 轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的速度 由于，滿足，可見圓柱表面為流線。第6章 水波理論計算題 : 在岸上觀察到浮標(biāo)每分鐘升降15次，試求波浪的圓頻率、波數(shù)k、波長和波速c（可視為無限深水波）。 解：浮標(biāo)升降次數(shù)即為頻率 圓頻率 波數(shù) 波長 波速 已知一深水波周期，波高，試求其波長、波速、波群速以及波能傳播量。 解：圓頻率 波數(shù) 波長 波速 波群速 波能傳播量 在水深的水域內(nèi)有一微幅波，波振幅，波數(shù)，試求：（1）波長、波速、周期；（2）波面方程；（3）及處水質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。 解：（1） 波長 在實用上，由于 ， 故本題屬有限深度波。 波速 周期 （2） 波面方程 其中 故 （3） 在 及 處水質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程 其中 在 故 軌跡方程為 已知在水深為處的海面上設(shè)置的浮標(biāo)，由于波浪作用每分鐘上下升降12次，觀察波高為，試求此波浪的波長、水底的流速振幅以及波動的壓強(qiáng)變化振幅。 解： 按有限深度波計算 波速 圓頻率 周期 取 計算上式右邊得 從作圖法可知，上述超越方程的解 故 波長 波數(shù) 波幅 故速度勢可寫為 水底流速 水底流速振幅 壓強(qiáng)分布應(yīng)用略去高階項的拉格朗日積分式 即 由于 實際上 的變化振幅即為壓強(qiáng)p的變化振幅 故 壓強(qiáng)變化振幅 ，　 求此相應(yīng)流函數(shù)及復(fù)勢表達(dá)式。 解：流函數(shù)可通過速度勢，用柯西－黎曼條件求得 由 ， 得 故 由 而 故 ， 得 應(yīng)用公式 ，及故 得 復(fù)勢表達(dá)式為 而 故 　　 上式中 （為復(fù)函數(shù)），下層流體（密度為）無限深，上層流體（密度為）深度為，并且有自由表面，在兩層流體的分界面和上表面同時有重力波傳播，試求圓頻率與波長的關(guān)系。 解：如圖，將坐標(biāo)平面取在兩層流體的分界面上，軸垂直向上，則下層流體無限深水波的速度勢為 （） 對于上層流體，可從Laplace方程的通解，將速度勢寫成 （） 在分界面上，即，這兩種流體在方向速度相等 故 因而得 其次，由分界面上壓強(qiáng)連續(xù)條件 得 由于對微幅波 故 將 （）（）式代入上式 又由于在自由表面 有式 即 將 代入上式 得 從而可得到的3個方程，即 或 上述方程為齊次方程組，只有滿足 才有非零解。 展開上述行列式并整理得 從而解得 以及 第7章 粘性流體動力學(xué)選擇題： 速度v、長度l、重力加速度g的無量綱集合是：（a）；（b）；（c）；（d）。解：（）。 速度v、密度、壓強(qiáng)p的無量綱集合是：（a）；（b）；（c）；（d）。 解：（）。 速度v、長度l、時間t的無量綱集合是：（a）；（b）；（c）；（d）。 解：（）。 壓強(qiáng)差、密度、長度l、流量Q的無量綱集合是：（a）；（b）；（c）；（d）。 解：（）。 進(jìn)行水力模型實驗，要實現(xiàn)有壓管流的動力相似，應(yīng)選的相似準(zhǔn)則是：（a）雷諾準(zhǔn)則；（b）弗勞德準(zhǔn)則；（c）歐拉準(zhǔn)則；（d）其它。解：對于有壓管流進(jìn)行水力模型實驗，主要是粘性力相似，因此取雷諾數(shù)相等 （） 雷諾數(shù)的物理意義表示：（a）粘性力與重力之比；（b）重力與慣性力之比；（c）慣性力與粘性力之比；（d）壓力與粘性力之比。解：雷諾數(shù)的物理定義是慣性力與粘性力之比（） 壓力輸水管模型實驗，長度比尺為8，模型水管的流量應(yīng)為原型輸水管流量的：（a）1/2；（b）1/4；（c）1/8；（d）1/16。 解：壓力輸水管模型實驗取雷諾數(shù)相等即，若， 則，而 （） 判斷層流或紊流的無量綱量是：（a）弗勞德數(shù)；（b）雷諾數(shù)；（c）歐拉數(shù)；（d）斯特勞哈爾數(shù)。解：判斷層流和紊流的無量綱數(shù)為雷諾數(shù)，當(dāng)為層流，否則為紊流。（b） 在安排水池中的船舶阻力試驗時，首先考慮要滿足的相似準(zhǔn)則是：（a）雷諾數(shù)；（b）弗勞德數(shù)；（c）斯特勞哈爾數(shù)；（d）歐拉數(shù)。 解：在安排船模阻力試驗時，理論上要滿足雷諾準(zhǔn)則和弗勞德準(zhǔn)則，但數(shù)和數(shù)同時分別相等是很難實現(xiàn)的，而且數(shù)相等在試驗條件又存在困難，因此一般是取實船 和船模的弗勞德數(shù)相等。（b） 之比：（a）慣性力與壓力；（b）慣性力與重