橢圓典型題型歸納總結-資料下載頁
2025-03-25 04:50本頁面
【正文】 圓交于不同兩點，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由。F2F1M1M2例1．若，為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可轉化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義, 為橢圓的左焦點。解：，連接，延長交橢圓于點M1,延長交橢圓于點由三角形三邊關系知當且僅當與重合時取右等號、與重合時取左等號。因為，所以, ；結論1：設橢圓的左右焦點分別為,為橢圓內一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為,最小值為；例2．,為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。分析：點在橢圓外，交橢圓于，此點使值最小，求最大值方法同例1。解：，連接并延長交橢圓于點M1，則M在M1處時取最大值；∴最大值是10+，最小值是。結論2設橢圓的左右焦點分別為，為橢圓外一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為，最小值為。例3．求定點到橢圓上的點之間的最短距離。分析：在橢圓上任取一點，由兩點間距離公式表示，轉化為的函數求最小值。解：設為橢圓上任意一點，由橢圓方程知的取值范圍是（1）若，則時，（2）若,則時（3）若,則結論3：橢圓上的點到定點A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用兩點間距離公式表示︱MA︱或︱MB︱，通過動點在橢圓上消去y或x,轉化為二次函數求最值，注意自變量的取值范圍。例4．求橢圓上的點到直線的距離的最值；解：三角換元 ∵ ∴令 則當時；當時,結論4：若橢圓上的點到非坐標軸上的定點的距離求最值時,可通過橢圓的參數方程，統(tǒng)一變量轉化為三角函數求最值。例4的解決還可以用下面方法把直線平移使其與橢圓相切，有兩種狀態(tài)，一種可求最小值，另一種求最大值。解。令直線將代入橢圓方程整理得，由△=0解得, 時直線與橢圓切于點，則到直線的距離為最小值，且最小值就是兩平行直線與的距離，所以；時直線與橢圓切于點Q，則Q到直線l的距離為最大值，且最大值就是兩平行直線m與l的距離，所以。結論5：橢圓上的點到定直線l距離的最值問題,可轉化為與l平行的直線m與橢圓相切的問題,利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。，點為橢圓的右焦點，點在該橢圓上移動時，求的最小值，并求此時點的坐標；（第二定義的應用）例3．已知、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓內一點的坐標為，為橢圓上的一個動點，試分別求：（1）的最小值； （2）的取值范圍．解：（1），此時點為過點且垂直于的線段與橢圓的交點；（2）由橢圓的定義知，故，①，故（當且僅當為有向線段的延長線與橢圓的交點時取“=”）；②，故。（當且僅當為有向線段的反向延長線與橢圓的交點時取“=”）綜上可知，的取值范圍為。例1．到兩定點，的距離之和為定值5的點的軌跡是 例2．已知點，點在圓的上半圓周上(即y＞0)，∠AOP的平分線交于Q，求點Q的軌跡方程。，是圓C上任一點，線段的垂直平分線l與PC相交于Q點，求Q點的軌跡方程。第15頁
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