高中理科橢圓的典型例題-資料下載頁(yè)
2025-03-26 05:42本頁(yè)面
【正文】 錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡(jiǎn)便．典型例題十九例19 已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)．分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為（），（）．思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即，設(shè)，，化簡(jiǎn)可得．又，兩方程聯(lián)立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過程很繁．思路二：利用焦半徑公式，在中運(yùn)用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積．思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合求解．解：(法1)設(shè)橢圓方程為（），，，則，．在中，由余弦定理得，解得．(1)∵，∴，即．∴．故橢圓離心率的取范圍是．(2)將代入得，即．∴．即的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．(法2)設(shè)，，則．(1)在中，由正弦定理得．∴∵，∴，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故橢圓離心率的取值范圍是．(2)在中，由余弦定理得：∵，∴，即．∴．即的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)．說明：橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)，的關(guān)系式，使問題找到解決思路．典型例題二十例20 橢圓與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍．分析：∵、為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，∵，∴，即，解得或，∵ ∴（舍去），又∴，∴，又，∴．說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使．如何證明？1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。用一些事情，總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)
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