【正文】 =∠ABE+∠DCE=∠BEC；∵∠ABE1和∠DCE1的平分線交點為E2，∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；（3）如圖2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…以此類推，∠En=∠BEC，∴當∠En=α度時，∠BEC等于2nα度．【點評】本題主要考查了角平分線的定義以及平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等的運用．解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，解題時注意：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．　23．“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=　60　176。；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD=120176。，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN=180176。，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當0＜t＜90時，根據(jù)2t=1?（30+t），可得 t=30；當90＜t＜150時，根據(jù)1?（30+t）+（2t﹣180）=180，可得t=110；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，根據(jù)∠BAC=2t﹣120176。，∠BCD=120176。﹣∠BCD=t﹣60176。，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180176。，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAN=180176。=60176。，故答案為：60；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①當0＜t＜90時，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD∴2t=1?（30+t），解得 t=30； ②當90＜t＜150時，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180176。，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180176?！??（30+t）+（2t﹣180）=180，解得 t=110，綜上所述，當t=30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，∵∠CAN=180176。﹣2t，∴∠BAC=60176。﹣（180176。﹣2t）=2t﹣120176。，又∵∠ABC=120176。﹣t，∴∠BCA=180176。﹣∠ABC﹣∠BAC=180176。﹣t，而∠ACD=120176。，∴∠BCD=120176。﹣∠BCA=120176。﹣（180176。﹣t）=t﹣60176。，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．　24．已知，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．（1）如圖1，點P在直線AB、CD之間，當∠BAP=60176。，∠DCP=20176。時，求∠APC．（2）如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）先過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP進行計算即可；（2）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，進而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，進而得到∠AKC=∠APC；（3）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進而得到∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=（∠BAP﹣∠DCP）=∠APC，進而得到∠AKC=∠APC．【解答】解：（1）如圖1，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60176。+20176。=80176。；（2）∠AKC=∠APC．理由：如圖2，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，∴∠AKC=∠APC；（3）∠AKC=∠APC．理由：如圖3，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=（∠BAP﹣∠DCP）=∠APC，∴∠AKC=∠APC．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行計算．　25．已知直線AB∥CD．（1）如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是　∠ABE+∠CDE=∠BED　．（2）如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，點E在直線BD的右側(cè)，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系　2∠BFD+∠BED=360176?！。痉治觥浚?）首先作EF∥AB，根據(jù)直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，據(jù)此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．（2）首先根據(jù)BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠CDE，據(jù)此推得∠BFD=∠BED．（3）首先過點E作EG∥CD，再根據(jù)AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE+∠BEG=180176。，∠CDE+∠DEG=180176。，據(jù)此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360176。；然后根據(jù)∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360176。即可．【解答】解：（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．理由：如圖1，作EF∥AB，∵直線AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，即∠ABE+∠CDE=∠BED．故答案為：∠ABE+∠CDE=∠BED．（2）∠BFD=∠BED．理由：如圖2，∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠BFD=∠BED．（3）2∠BFD+∠BED=360176。．理由：如圖3，過點E作EG∥CD，∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠ABE+∠BEG=180176。，∠CDE+∠DEG=180176。，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360176。，由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠BFD=（∠ABE+∠CDE），∴2∠BFD+∠BED=360176。．故答案為：2∠BFD+∠BED=360176。．【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．　26．已知AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系　∠A+∠C=90176?！。唬?）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD=∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180176。，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；（2）先過點B作BG∥DM，根據(jù)同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先過點B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180176。，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180176。，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90176。，最后解方程組即可得到∠ABE=15176。，進而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15176。+90176。=105176。．【解答】解：（1）如圖1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90176。，∴∠A+∠C=90176。，故答案為：∠A+∠C=90176。；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90176。，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90176。，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180176。，∠FCB+∠NCF=180176。，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180176。，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180176。，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90176。，②由①②聯(lián)立方程組，解得α=15176。，∴∠ABE=15176。，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15176。+90176。=105176。．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導．余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運用．　27．如圖，直線AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點M，N，ME，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，NE交AB于點F，過點N作NG⊥EN交AB于點G．（1）求證：EM∥NG；（2）連接EG，在GN上取一點H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分線EP交AB于點P，求∠PEG的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線得到定義，即可得出∠MEN=90176。，再根據(jù)NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH=180176。，進而得到EM∥NG；（2）先設(shè)∠HEG=x，則∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90176。﹣2x，根據(jù)EP平分∠FEH，可得∠FEH=2（∠PEG+x），再根據(jù)∠FEH+∠HEN=180176。，可得方程2（∠PEG+x）+90176。﹣2x=180176。，進而解得∠PEG．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠AMN+∠CNM=180176。，∵ME，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，∴∠EMN=∠AMN，∠ENM=∠MNC，∴∠EMN+∠ENM=90176。，即∠MEN=90176。，又∵NG⊥EN，∴∠MEN+∠ENH=180176。，∴EM∥NG；（2）設(shè)∠HEG=x，則∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90176。﹣2x，∵EP平分∠FEH，∴∠FEH=2∠PEH=2（∠PEG+x），又∵∠FEH+∠HEN=180176。，∴2（∠PEG+x）+90176。﹣2x=180176。，解得∠PEG=45176。．【點評】本題