喀興林高等量子力學習題ex1矢量空間-資料下載頁
2025-03-24 23:48本頁面
【正文】 能隨意去規(guī)定，需要同右矢空間的事情相互協(xié)調(diào)，它們通過標量積聯(lián)系起來。這樣建立的左矢空間是一個完全確定的（即有明確加法和數(shù)乘運算規(guī)則的）欠量空間。狄拉克是從對偶矢量的方向入手建立左矢量。假定有一個數(shù)C。它是右矢量的函數(shù)， 就是說，對每一個右矢量有一個函數(shù)C與之相應，并且進一步假定此函數(shù)是線性函數(shù)， 其意義是，相應于的數(shù)等于相應于的數(shù)與相應于的數(shù)之和，相應于的數(shù)是相應于的數(shù)的倍，其中是任意的數(shù)字因子。這樣，相應于任何的數(shù)C，就可以看成是與某個新矢量的標量積，對右矢量的每一線性函數(shù)就有一個這樣的新矢量。我們把這種新矢量稱為“左矢量”或簡稱“左矢”。 在此引入的左矢量，是與右矢量完全不同的另一類矢量，而且直到現(xiàn)在。除了左矢量與右矢量之間存在著標量積以外，兩者之間還沒有任何聯(lián)系?，F(xiàn)在作一個假定：在左矢量與右矢量之間有一一對應關系。使得相應于的左矢是相應于的左矢與相應于的左矢之和。而相應于的左矢則是相應于的左矢乘以，是c的共軛復數(shù)，相應的左矢可寫成。從以上兩種方法來看，它們是從不同的方向來建立左矢空間的，在此過程中，都對矢量關系和運算問題進行了一些假定（或規(guī)定），并且所建立的左矢空間和右矢空間都是通過定義的標量積聯(lián)系起來。練習 證明：與所有左矢的內(nèi)積均已給定（但給定值應滿足內(nèi)積條件（9）~（12））的右矢是一個確定的右矢（即必定存在而且只有一個）。（完成人：谷巍 審核人：肖鈺斐）證明 設右矢和與所有左矢的內(nèi)積均已給定, （1） （2）根據(jù)內(nèi)積條件（10）的第一式，由（1）－（2），則有 （3）因為是任意的左矢，故知括號內(nèi)為，即 (4) (5)故與所有左矢的內(nèi)積均已給定的右矢是一個確定的右矢（即必定存在而且只有一個）.定理得證
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