喀興林高等量子力學(xué)習(xí)題ex1矢量空間-資料下載頁(yè)
2025-03-24 23:48本頁(yè)面
【正文】 能隨意去規(guī)定，需要同右矢空間的事情相互協(xié)調(diào)，它們通過(guò)標(biāo)量積聯(lián)系起來(lái)。這樣建立的左矢空間是一個(gè)完全確定的（即有明確加法和數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則的）欠量空間。狄拉克是從對(duì)偶矢量的方向入手建立左矢量。假定有一個(gè)數(shù)C。它是右矢量的函數(shù)， 就是說(shuō)，對(duì)每一個(gè)右矢量有一個(gè)函數(shù)C與之相應(yīng)，并且進(jìn)一步假定此函數(shù)是線(xiàn)性函數(shù)， 其意義是，相應(yīng)于的數(shù)等于相應(yīng)于的數(shù)與相應(yīng)于的數(shù)之和，相應(yīng)于的數(shù)是相應(yīng)于的數(shù)的倍，其中是任意的數(shù)字因子。這樣，相應(yīng)于任何的數(shù)C，就可以看成是與某個(gè)新矢量的標(biāo)量積，對(duì)右矢量的每一線(xiàn)性函數(shù)就有一個(gè)這樣的新矢量。我們把這種新矢量稱(chēng)為“左矢量”或簡(jiǎn)稱(chēng)“左矢”。 在此引入的左矢量，是與右矢量完全不同的另一類(lèi)矢量，而且直到現(xiàn)在。除了左矢量與右矢量之間存在著標(biāo)量積以外，兩者之間還沒(méi)有任何聯(lián)系。現(xiàn)在作一個(gè)假定：在左矢量與右矢量之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。使得相應(yīng)于的左矢是相應(yīng)于的左矢與相應(yīng)于的左矢之和。而相應(yīng)于的左矢則是相應(yīng)于的左矢乘以，是c的共軛復(fù)數(shù)，相應(yīng)的左矢可寫(xiě)成。從以上兩種方法來(lái)看，它們是從不同的方向來(lái)建立左矢空間的，在此過(guò)程中，都對(duì)矢量關(guān)系和運(yùn)算問(wèn)題進(jìn)行了一些假定（或規(guī)定），并且所建立的左矢空間和右矢空間都是通過(guò)定義的標(biāo)量積聯(lián)系起來(lái)。練習(xí) 證明：與所有左矢的內(nèi)積均已給定（但給定值應(yīng)滿(mǎn)足內(nèi)積條件（9）~（12））的右矢是一個(gè)確定的右矢（即必定存在而且只有一個(gè)）。（完成人：谷巍 審核人：肖鈺斐）證明 設(shè)右矢和與所有左矢的內(nèi)積均已給定, （1） （2）根據(jù)內(nèi)積條件（10）的第一式，由（1）－（2），則有 （3）因?yàn)槭侨我獾淖笫?，故知括?hào)內(nèi)為，即 (4) (5)故與所有左矢的內(nèi)積均已給定的右矢是一個(gè)確定的右矢（即必定存在而且只有一個(gè)）.定理得證
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