含參不等式練習題及解法-資料下載頁
2025-03-24 23:42本頁面
【正文】 D. （2005天津卷）已知m R，設P：x1和 x2是方程x2ax2=0的兩個實根，不等式|m25m3|≥|x1 x2|對任意實數(shù)a [1，1]恒成立；Q：函數(shù) 在（∞，+∞）上有極值，求使P正確且Q正確的m的取值范圍?！ 。?005— 遼寧卷） 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（0,+ ∞）內(nèi)可導，導函數(shù)f′(x)是減函數(shù)，且f′(x)0，設x0 （0，+∞），y=kx+m是曲線y=f(x)在點（x0 f(x0)）處的切線方程，并設函數(shù)g（x）=kx+m ?。?）用x0 f(x0),f′(x0)表示m； ?。?）證明：當x （0，+∞）時，g（x）≥f(x)； ?。?）若關于x的不等式 在[0，+∞）上恒成立，其中a,b為實數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系?！ 》治雠c解答： 分析：注意到我們對上面定義的陌生，故首先想到從本題對運算的定義切入，將有關不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式： 由所給定義（xa） (x+a)1對任意x R成立 （xa）(1xa)1對x R恒成立 x2x+(1a2+a)0對x R恒成立 Δ=14（1a2+a）0 4a24a30 故應選C 分析：由P正確且Q正確推出m的范圍 首先需要尋找命題P與命題Q成立 時，變量m所滿足的等價條件，故從命題P、Q的轉(zhuǎn)化切入?！ 〗猓河蓌1, x2為方程x2ax2=0的兩個實根，得 x1+x2=a， x1x2=2 ∴命題P正確 不等式 對任意實數(shù)a [1，1]成立（1） ∵1≤a≤1, ∴8≤a2+8≤9, ∴由（1）得命題P正確 |m25m3|≥3 m25m3≤3或m25m3≥3 m≤1或0≤m≤5或m≥6 即當m （∞，1]∪[0，5] ∪[6，+∞]時，命題P正確 （2） 又 f′(x)的圖象是開口向上的拋物線 ∴要使f(x)在（∞，+∞）上有極值，只需f′(x)的最小值小于零 m1或m4 即當m （∞，1）∪（4,+ ∞）時 ,命題Q正確 （3） 于是由（2）、（3）知，當命題P、Q同時正確時，m的取值范圍由（∞，1）∪（4,5] ∪[6，+∞）?！ ↑c評：在這里命題Q的轉(zhuǎn)化：注意到f(x)在R上可導，所以f（x）在R上存在極值，只需f＇(x)可取正值、負數(shù)與零值，又f＇（x）是二次項系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)，且在R上連續(xù)，故只f＇(x)的最小值小于0，這一步步化隱為明的轉(zhuǎn)化,值得我們品悟與借鑒. 分析：（1）注意到導數(shù)的幾何意義，考慮從寫出曲線y=f(x)在（x0,f(x0)）處的切線方程切入； ?。?）注意到利用（1）的結果，有關函數(shù)的極值易于解決，故考慮設h（x）=g(x)f(x)(x0)，而后證明h(x)的最小值為0；對于（3）中的連號不等式，容易想到對其“一分為二”考察，而后“合二為一”結論. 解：（1）由導數(shù)的幾何意義得： 曲線y=f(x)在（x0,f(x0)）處的切線方程為 yf(x0)=f′(x0)（xx0） 即y=xf′(x0)+ f(x0) x0f′(x0) ∴ m= f(x0) x0f′(x0) (2)證明：令h（x）=g (x) f(x) 則h′(x)= f′(x0) f′(x), h′(x0)=0 ∵f′(x)遞減，∴h′(x)遞增 ∴當xx0時， h′(x) h′(x0)=0 當0xx0時 h′(x) h′(x0)=0 ∴x0是h（x）唯一的極值點，且是最小值點 又h(x0)=g(x0)f(x0)=0 ∴當x R+時總有h(x) ≥h(x0)=0 即當x （0，+∞）時，總有g(x)≥f(x) （3）解： 注意到不等式 在[0，+∞）上恒成立，易知a0且0≤b≤1是所給不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立。 ?。╥）關于x的不等式x2+1≥ax+b對任意x [0, +∞）恒成立 (1） 設g(x)=x2ax+(1b)， 則g′(x)=2xa (ii) 設 , 關于x的不等式 ,對任意x [0，+∞）恒成立 p(x) ≥0對任意x [0，+∞）成立 （4） 令p′（x）=0得x=a3 ∴當0xa3時 ,P′（x）0?！ ‘攛a3時 p′（x）0 ∴當x=a3時，p(x)取得最小值P（a3） (5) ∴p(x) ≥0對任意x [0，+∞）成立 p(a3) ≥0 于是綜合(i),(ii)不等式 的充要條件是： 易見存在a,b使 成立的充要條件是 不等式 解此不等式得： ∴所求b的取值范圍為 a與b所滿足的關系式為 點評：循著由“粗略”到“精細”的順序，首先考察所給連號不等式的某一局部成立的情形，從中尋出這一不等式成立的必要條件，于是，有效地減少了討論的頭緒，從而簡化了整個解題過程 .10
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