三角函數(shù)題型總結(jié)-教師版-資料下載頁
2025-03-24 05:43本頁面
【正文】 x，則當x∈時，t∈.記u(t)＝h(π－t)＝－4 ln，則u′(t)＝.由(1)得，當t∈(0，x0)時，u′(t)0，當t∈時，u′(t)0.故在(0，x0)上u(t)是增函數(shù)，又u(0)＝0，從而可知當t∈(0，x0]時，u(t)0，所以u(t)在(0，x0]上無零點．在上u(t)為減函數(shù)，由u(x0)0，u＝－4ln 20，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0，故存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.因為當x∈時，1＋sin x0，故g(x)＝(1＋sin x)h(x)與h(x)有相同的零點，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.因為x1＝π－t1，t1x0，所以x0＋x1π.【例】[2014遼寧卷] 已知函數(shù)f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)：(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且對(1)中的x0，有x0＋x1π.證明：(1)當x∈時，f′(x)＝－(1＋sin x)(π＋2x)－2x－cos x0，函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)．又f(0)＝π－0，f＝－π2－0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.(2)記函數(shù)h(x)＝－4ln，x∈.令t＝π－x，則當x∈時，t∈.記u(t)＝h(π－t)＝－4 ln，則u′(t)＝.由(1)得，當t∈(0，x0)時，u′(t)0，當t∈時，u′(t)0.故在(0，x0)上u(t)是增函數(shù)，又u(0)＝0，從而可知當t∈(0，x0]時，u(t)0，所以u(t)在(0，x0]上無零點．在上u(t)為減函數(shù)，由u(x0)0，u＝－4ln 20，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0，故存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.因為當x∈時，1＋sin x0，故g(x)＝(1＋sin x)h(x)與h(x)有相同的零點，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.因為x1＝π－t1，t1x0，所以x0＋x1π.【例】（2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純WORD版））已知函數(shù)的周期為,圖像的一個對稱中心為,將函數(shù)圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像.(1)求函數(shù)與的解析式。(2)是否存在,使得按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請確定的個數(shù)。若不存在,說明理由.[來源:學,科,網(wǎng)](3)求實數(shù)與正整數(shù),使得在內(nèi)恰有2013個零點.【答案】解:(Ⅰ)由函數(shù)的周期為,得
又曲線的一個對稱中心為,
故,得,所以
將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)后可得的圖象,再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)
(Ⅱ)當時,
所以
問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解
設(shè),
則
因為,所以,在內(nèi)單調(diào)遞增
又,
且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點,
即存在唯一的滿足題意
(Ⅲ)依題意,令
當,即時,從而不是方程的解,所以方程等價于關(guān)于的方程,
現(xiàn)研究時方程解的情況
令,
則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點情況
,令,得或
當變化時,和變化情況如下表當且趨近于時,趨向于
當且趨近于時,趨向于
當且趨近于時,趨向于
當且趨近于時,趨向于
故當時,直線與曲線在內(nèi)有無交點,在內(nèi)有個交點。
當時,直線與曲線在內(nèi)有個交點,在內(nèi)無交點。
當時,直線與曲線在內(nèi)有個交點,在內(nèi)有個交點
由函數(shù)的周期性,可知當時,直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個交點,從而不存在正整數(shù),使得直線與曲線在內(nèi)恰有個交點。當時,直線與曲線在內(nèi)有個交點,由周期性,所以
綜上,當,時,函數(shù)在內(nèi)恰有個零點 第20頁共2
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