一元二次方程經(jīng)典題型匯總-資料下載頁
2025-03-24 05:33本頁面
【正文】 x2－6x+12＝，所以不存在使△PCQ的面積等于ABC面積一半的時刻.說明 本題雖然是一道動態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運(yùn)用到行程的知識，求解時必須依據(jù)路程＝速度時間.10解 依題意，梯子的頂端距墻角＝8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，解這個方程，得x1≈，x2≈－（舍去），所以梯子頂端下滑1m，.（2）當(dāng)梯子底端水平向外滑動1m時，列方程(8－x)2+(6+1)2＝，得x2－16x+13＝，得x1≈，x2≈（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑動1m，.（3）設(shè)梯子頂端向下滑動xm時，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，解這個方程，得x1＝0（舍去），x2＝，底端向外也滑動2m.說明 求解時應(yīng)注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.11解（1）F位于D的正南方向，則DF⊥⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，所以DF＝AB＝100海里，所以，小島D與小島F相距100海里.（2）設(shè)相遇時補(bǔ)給船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝，得x1＝200－≈，x2＝200+（不合題意，舍去）.所以，.說明 求解本題時，一定要認(rèn)真地分析題意，及時發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定理布列一元二次方程.12解（1）依題意可依次填表為：17.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.①當(dāng)n＝2時，S1＝－22+252－12＝34，S2＝1212－34＝∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2，則有－n2+25n－12＝122，即n2－25n+84＝0，解這個方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.所以當(dāng)n＝4時，S1＝.說明 求解本題時要通過閱讀題設(shè)條件及提供的圖表，及時挖掘其中的隱含條件，對于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進(jìn)而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根來加以判斷.13解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20－x），得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，當(dāng)x＝16時，20－x＝4，當(dāng)x＝4時，20－x＝16，答 這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm.（2）：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20－y）+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移項并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說明 本題的第（2）小問也可以運(yùn)用求根公式中的b2－－4ac≥0，方程有兩個實(shí)數(shù)根，若b2－4ac＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根，本題中的b2－4ac＝－16＜0即無解.14解（1）由已知條件得，梯形周長為12，高4，⊥BC于G，過點(diǎn)A作AK⊥BC于K.則可得，F(xiàn)G＝4，所以S△BEF＝BEFG＝－x2+x（7≤x≤10）.（2）（1）得－x2+x＝14，解這個方程，得x1＝7，x2＝5（不合題意，舍去），所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE＝7.（3），顯然有S△BEF∶S多邊形AFECD ＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶－x2+x＝，整理，得3x2－24x+70＝0，此時的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，∶2的兩部分.說明 求解本題時應(yīng)注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x2＝5時，并不屬于7≤x≤10，應(yīng)及時地舍去；三是處理第（3）個問題時的實(shí)質(zhì)是利用一元二次方程來探索問題的存在性.15解（1）觀察分析圖案可知正方形的邊長為…、n 時，黑色正方形的個數(shù)為12n－1（奇數(shù)）；正方形的邊長為…、n 時，黑色正方形的個數(shù)為112n（偶數(shù)）.（2）由（1）可知n為偶數(shù)時P1＝2n，所以P2＝n2－，得n2－2n＝52n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合題意，舍去）.所以存在偶數(shù)n＝12，使得P2＝5P1.說明 本題的第（2）小問是屬于存在性問題，求解時，可以先假設(shè)結(jié)論存在，進(jìn)而從中找到數(shù)量關(guān)系，使問題獲解.綜上所言，列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程、二元一次方程組解應(yīng)用題的延續(xù)和發(fā)展，列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為方程模型，：找出未知量與已知量之間的聯(lián)系，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程模型，要善于將普通語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，在審題時，要特別注意關(guān)鍵詞語，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩余、增加、減少”等等，此外，還要掌握一些常用的公式或特殊的等量關(guān)系，如特殊圖形的面積公式、行程問題、工程問題、增長率問題中的一些特殊關(guān)系等等.
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