【正文】 例 22】 有2個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10，第二個數(shù)的各個位數(shù)字之和是8，求兩個三位數(shù)的和?！窘馕觥?本題條件僅給出了兩個乘數(shù)的數(shù)字之和，同時發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分數(shù)字之和已經(jīng)給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來構造出原三位數(shù)。因為這是一個一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件，兩個三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數(shù)為8，那么□1031除以9的余數(shù)也必須為8，□，即所以兩個三位數(shù)是143和217，那么兩個三位數(shù)的和是360【例 23】 設的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么？【解析】 由于一個數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以與、 除以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2，則除以9的余數(shù)與除以9的余數(shù)相同，而除以9的余數(shù)為1，所以除以9的余數(shù)為除以9的余數(shù)，即為5．另一方面，由于，所以的位數(shù)不超過8036位，那么它的各位數(shù)字之和不超過，即；那么的各位數(shù)字之和，的各位數(shù)字之和，小于18且除以9的余數(shù)為5，那么為5或14，的各位數(shù)字之和為5，即．課后練習：練習1. (2002年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_______．【解析】 因為被除數(shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為，所以，被除數(shù)為。練習2. 已知2008被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10，那么這樣的自然數(shù)共有多少個？【解析】 本題為一道余數(shù)與約數(shù)個數(shù)計算公式的小綜合性題目。由題意所求的自然數(shù)一定是200810即1998的約數(shù)，同時還要滿足大于10這個條件。這樣題目就轉(zhuǎn)化為1998有多少個大于10的約數(shù)，共有（1+1）（3+1）（1+1）=16個約數(shù)，其中1，2，3，6，9是比10小的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有11個。練習3. (全國小學數(shù)學奧林匹克試題)六張卡片上分別標上1191251841861912494六個數(shù)，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另—個人的2倍，則丙手中卡片上的數(shù)是________．(第五屆小數(shù)報數(shù)學競賽初賽) 【解析】 根據(jù)“甲、乙二人各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另一個人的2倍”可知，甲、乙手中五張卡片上的數(shù)之和應是3的倍數(shù)．計算這六個數(shù)的總和是，10565除以3余2；因為甲、乙二人手中五張卡片上的數(shù)之和是3的倍數(shù)，那么丙手中的卡片上的數(shù)除以3余2．六個數(shù)中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的數(shù)為1193．練習4. 求的余數(shù) 【解析】 本題為余數(shù)乘法定理的拓展模式，即數(shù)字的乘方與一個數(shù)相除的余數(shù)情況。由6443247。19余2，求原式的余數(shù)只要求的余數(shù)即可。但是如果用2247。19發(fā)現(xiàn)會進入一個死循環(huán)，因為這時被除數(shù)比除數(shù)小了，所以可以進行適當?shù)恼{(diào)整，64247。19余數(shù)為7，那么求的余數(shù)就轉(zhuǎn)化為求的余數(shù)，即49247。19的余數(shù)。49247。19余數(shù)為11，所以原式的余數(shù)為11.練習5. 已知60，154，200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是，，求該自然數(shù)的值．【解析】 根據(jù)題意可知，自然數(shù)61，154，201被該數(shù)除所得余數(shù)分別是，．由于，所以自然數(shù)與同余；由于，所以與201同余， 所以除數(shù)是和的公約數(shù)，運用輾轉(zhuǎn)相除法可得到 ，該除數(shù)為29．經(jīng)檢驗成立．練習6. (香港圣公會小學數(shù)學奧林匹克試題)有三所學校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所學校初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍；；還有一所學校高中、初中人數(shù)相等．三所學校總?cè)藬?shù)是5480人，那么A?？?cè)藬?shù)是________人．【解析】 三所學校的高中生分別是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A?；駽校初中人數(shù)，該?？?cè)藬?shù)是奇數(shù)，而按照給出條件得出其他兩校總?cè)藬?shù)都是偶數(shù)，與三?？?cè)藬?shù)5480是偶數(shù)矛盾，．三校初中的總?cè)藬?shù)是，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．從余數(shù)來看，就斷定初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍，只能是C校．所以，A校總?cè)藬?shù)是 (人) ．月考備選【備選1】除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是．求出符合條件的所有的兩位數(shù)．【解析】 ，那么符合條件的所有的兩位數(shù)有，因為“余數(shù)小于除數(shù)”,所以舍去，答案只有?！緜溥x2】有一個自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33．求這個數(shù)是多少？【解析】 由于這個數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除543345，并且得到的商為33．所以所求的數(shù)為．【備選3】 (2001年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)若2836，4582，5164，6522四個自然數(shù)都被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為_______．【解析】 設除數(shù)為A．因為2836，4582,5164，6522除以A的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差必能被A整除．又因為余數(shù)是兩位數(shù)，所以A至少是兩位數(shù)．，因為，所以A是194的大于10的約數(shù)．194的大于10的約數(shù)只有97和194．如果，余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符．如果，經(jīng)檢驗，余數(shù)都是23，除數(shù)余數(shù)．【備選4】除以7的余數(shù)是多少？【解析】 除以7的余數(shù)為1，所以，其除以7的余數(shù)為：；2008除以7的余數(shù)為6，則除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)，為1；所以除以7的余數(shù)為：．【備選5】一個自然數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，并且三個商數(shù)的和是570，求這個自然數(shù)．【解析】 這個數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，所以這個數(shù)加上6后能被7，8，9整除，而，所以這個數(shù)加上6后是504的倍數(shù)．由于這個數(shù)被7，8，9除的三個商數(shù)的和是570，那么這個數(shù)加上6后被被7，8，9除的三個商數(shù)的和是，而，所以這個數(shù)加上6等于504的3倍，這個數(shù)是．同余問題－專題提高訓練，證明10│（a 2005－a1949）． ，證明：由它們中一定可以選出兩個數(shù)，它們的差是兩個相同數(shù)字組成的兩位數(shù)． ，被5除余3，被7除余5的最小三位數(shù)． ＋1是質(zhì)數(shù)，證明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余數(shù)各不相同． ．參考答案： ：對于任何自然數(shù)a，a5與a的個位數(shù)字相同． ：有兩個數(shù)的差能被11整除 這道題肯定不可能通過各數(shù)被2n＋1除去求余數(shù)．那么我們可以考慮從反面入手，假設存在兩個相同的余數(shù)的話，就會發(fā)生矛盾．而中間的推導是步步有根據(jù)的，所以發(fā)生矛盾的原因是假設不合理．從而說明假設不成立，因此原來的結(jié)論是正確的．　　證明：假設有兩個數(shù)a、b，（a≠b，設ba，且1≤a≤n，1≤b≤n），它們的平方a2，b2被2n＋1除余數(shù)相同．　　那么，由同余定義得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．　　即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是質(zhì)數(shù)．∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b與2n＋1互質(zhì)，a－b也與 2n＋1互質(zhì)．即a＋b與a－b都不能被2n＋1整除．產(chǎn)生矛盾，∴原題得證． 說明：這里用到一個重要的事實：如果AB≡0（modp），p是質(zhì)數(shù)，那么A或B中至少有一個模p為零．p是質(zhì)數(shù)這一條件不能少，否則不能成立。例如23≡0（mod6），但3被6除余數(shù)不為0。 ：∵質(zhì)數(shù)中僅有一個偶數(shù)2，∴不小于5的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)．又不小于5的自然數(shù)按除以6所得的余數(shù)可分為6類：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然數(shù)），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶數(shù)，又3│6n＋3． ∴不小于5的質(zhì)數(shù)只可能是6n＋1，6n＋5． 又自然數(shù)除以6余數(shù)是5的這類數(shù)換一記法是：6n－1，　　∴（不小于5的質(zhì)數(shù)）2－1＝（6n177。1）2－1　?。?6n2177。12n＝12n（3n177。1），　　這里n與（3n177。1）奇偶性不同，其中定有一個偶數(shù)， ∴2│n（3n177。1），∴24│12n（3n177。1）．∴結(jié)論成立． 說明：按同余類造抽屜是解競賽題的常用方法．