【正文】 1）．∴結(jié)論成立． 說明：按同余類造抽屜是解競賽題的常用方法．。1）奇偶性不同，其中定有一個偶數(shù)， ∴2│n（3n177。12n＝12n（3n177。 ：∵質(zhì)數(shù)中僅有一個偶數(shù)2，∴不小于5的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)．又不小于5的自然數(shù)按除以6所得的余數(shù)可分為6類：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然數(shù)），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶數(shù)，又3│6n＋3． ∴不小于5的質(zhì)數(shù)只可能是6n＋1，6n＋5． 又自然數(shù)除以6余數(shù)是5的這類數(shù)換一記法是：6n－1，　　∴（不小于5的質(zhì)數(shù)）2－1＝（6n177。例如2【備選2】有一個自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33．求這個數(shù)是多少？【解析】 由于這個數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除543345，并且得到的商為33．所以所求的數(shù)為．【備選3】 (2001年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)若2836，4582，5164，6522四個自然數(shù)都被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為_______．【解析】 設(shè)除數(shù)為A．因為2836，4582,5164，6522除以A的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差必能被A整除．又因為余數(shù)是兩位數(shù)，所以A至少是兩位數(shù)．，因為，所以A是194的大于10的約數(shù)．194的大于10的約數(shù)只有97和194．如果，余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符．如果，經(jīng)檢驗，余數(shù)都是23，除數(shù)余數(shù)．【備選4】除以7的余數(shù)是多少？【解析】 除以7的余數(shù)為1，所以，其除以7的余數(shù)為：；2008除以7的余數(shù)為6，則除以7的余數(shù)等于除以7的余數(shù)，為1；所以除以7的余數(shù)為：．【備選5】一個自然數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，并且三個商數(shù)的和是570，求這個自然數(shù)．【解析】 這個數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，所以這個數(shù)加上6后能被7，8，9整除，而，所以這個數(shù)加上6后是504的倍數(shù)．由于這個數(shù)被7，8，9除的三個商數(shù)的和是570，那么這個數(shù)加上6后被被7，8，9除的三個商數(shù)的和是，而，所以這個數(shù)加上6等于504的3倍，這個數(shù)是．同余問題－專題提高訓練，證明10│（a 2005－a1949）． ，證明：由它們中一定可以選出兩個數(shù)，它們的差是兩個相同數(shù)字組成的兩位數(shù)． ，被5除余3，被7除余5的最小三位數(shù)． ＋1是質(zhì)數(shù)，證明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余數(shù)各不相同． ．參考答案： ：對于任何自然數(shù)a，a5與a的個位數(shù)字相同． ：有兩個數(shù)的差能被11整除 這道題肯定不可能通過各數(shù)被2n＋1除去求余數(shù)．那么我們可以考慮從反面入手，假設(shè)存在兩個相同的余數(shù)的話，就會發(fā)生矛盾．而中間的推導是步步有根據(jù)的，所以發(fā)生矛盾的原因是假設(shè)不合理．從而說明假設(shè)不成立，因此原來的結(jié)論是正確的．　　證明：假設(shè)有兩個數(shù)a、b，（a≠b，設(shè)ba，且1≤a≤n，1≤b≤n），它們的平方a2，b2被2n＋1除余數(shù)相同．　　那么，由同余定義得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．　　即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是質(zhì)數(shù)．∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b與2n＋1互質(zhì)，a－b也與 2n＋1互質(zhì)．即a＋b與a－b都不能被2n＋1整除．產(chǎn)生矛盾，∴原題得證． 說明：這里用到一個重要的事實：如果A49247。19余數(shù)為7，那么求的余數(shù)就轉(zhuǎn)化為求的余數(shù)，即49247。但是如果用2247。由6443247。這樣題目就轉(zhuǎn)化為1998有多少個大于10的約數(shù)，共有（1+1）（3+1）（1+1）=16個約數(shù)，其中1，2，3，6，9是比10小的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有11個。練習2. 已知2008被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10，那么這樣的自然數(shù)共有多少個？【解析】 本題為一道余數(shù)與約數(shù)個數(shù)計算公式的小綜合性題目?！窘馕觥?本題條件僅給出了兩個乘數(shù)的數(shù)字之和，同時發(fā)現(xiàn)乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分數(shù)字之和已經(jīng)給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來構(gòu)造出原三位數(shù)。13余9。【例 9】 (2002年《小學生數(shù)學報》數(shù)學邀請賽試題)六名小學生分別帶著14元、17元、18元、21元、26元、37元錢，一起到新華書店購買《成語大詞典》．一看定價才發(fā)現(xiàn)有5個人帶的錢不夠，但是其中甲、乙、丙3人的錢湊在一起恰好可買2本，丁、戊2人的錢湊在一起恰好可買1本．這種《成語大詞典》的定價是________元．【解析】 六名小學生共帶錢133元．133除以3余1，因為甲、乙、丙、丁、戊的錢恰好能買3本，所以他們五人帶的錢數(shù)是3的倍數(shù)，另一人帶的錢除以3余1．易知，這個錢數(shù)只能是37元，所以每本《成語大詞典》的定價是 (元) ．【鞏固】 (2000年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)商店里有六箱貨物，分別重15，16，18，19，20，31千克，兩個顧客買走了其中的五箱．已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是________千克．【解析】 兩個顧客買的貨物重量是的倍數(shù)．，剩下的一箱貨物重量除以3應當余2，只能是20 千克．【例 10】 求的余數(shù)．【解析】 因為，根據(jù)同余定理(三)， 的余數(shù)等于的余數(shù)，而，所以的余數(shù)為5．【鞏固】 (華羅庚金杯賽模擬試題)求除以17的余數(shù)．【解析】 先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大．可先分別計算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù)．除以17的余數(shù)分別為2，7和11，．【鞏固】 求的最后兩位數(shù)．【解析】 即考慮除以100的余數(shù)．由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因為除以4余1，則除以4余1；即能被4 和25整除，而4與25互質(zhì)，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余數(shù)即等于除以100的余數(shù)，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余數(shù)等于除以100的余數(shù)，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后兩位數(shù)為63．【鞏固】 除以13所得余數(shù)是_____.【解析】 我們發(fā)現(xiàn)222222整除13，2000247。那么任意兩名運動員的比賽盤數(shù)只需要用2，0，2，1兩兩相加除以3即可。198=5……9，所以共有518+9=99個這樣的數(shù)．【鞏固】 (2008年仁華考題)一個三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和．那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？【解析】 設(shè)這個三位數(shù)為，它除以17和19的商分別為和，余數(shù)分別為和，則．根據(jù)題意可知，所以，即，得．所以是9的倍數(shù)，是8的倍數(shù)．此時，由知．由于為三位數(shù)，最小為100，最大為999，所以，而，所以，得到，而是9的倍數(shù)，所以最小為9，最大為54．當時，而，所以，故此時最大為；當時，由于，所以此時最小為．所以這樣的三位數(shù)中最大的是930，最小的是154．【例 6】 兩位自然數(shù)與除以7都余1，并且，求．【解析】 能被7整除，即能被7整除．所以只能有，那么可能為92和81，驗算可得當時，滿足題目要求，【鞏固】 學校新買來118個乒乓球，67個乒乓球拍和33個乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個班級，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同．請問學校共有多少個班？【解析】 所求班級數(shù)是除以余數(shù)相同的數(shù)．那么可知該數(shù)應該為和的公約數(shù)，所求答案為17．【鞏固】 (2000年全國小學數(shù)學奧林匹克試題)在除13511，13903及14589時能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是_________．【解析】 因為, ，由于13511，13903，14589要被同一個數(shù)除時，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除．，所以所求的最大整數(shù)是98．【例 7】 (2003年南京市少年數(shù)學智力冬令營試題) 與的和除以7的余數(shù)是________．【解析】 找規(guī)律．用7除2，…的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的個數(shù)是3的倍數(shù)時，用7除的余數(shù)為1；2的個數(shù)是3的倍數(shù)