數(shù)論之同余問題(參考版)
2025-03-28 03:09本頁面
【正文】 【鞏固】 求除以7的余數(shù)．【解析】 法一：由于 (143被7除余3)，所以 (被7除所得余數(shù)與被7除所得余數(shù)相等) 而，（729除以7的余數(shù)為1）， 所以．故除以7的余數(shù)為5. 法二： 計(jì)算被7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表： 于是余數(shù)以6為周期變化．所以．【鞏固】 （2007年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題）除以7的余數(shù)是多少？【解析】 由于，而1001是7的倍數(shù)，所以這個乘積也是7的倍數(shù)，故除以7的余數(shù)是0；【鞏固】 被除所得的余數(shù)是多少？【解析】 31被13除所得的余數(shù)為5，當(dāng)n取1，2，3，時(shí)被13除所得余數(shù)分別是5，12，8，1，5，12，8，1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除的余數(shù)與被13除的余數(shù)相同，余12，則除以13的余數(shù)為12；30被13除所得的余數(shù)是4，當(dāng)n取1，2，3，時(shí)，被13除所得的余數(shù)分別是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除所得的余數(shù)等于被13除所得的余數(shù)，即4，故除以13的余數(shù)為4；所以被13除所得的余數(shù)是．【鞏固】 (2008年奧數(shù)網(wǎng)杯)已知，問：除以13所得的余數(shù)是多少？【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到；；； 根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍數(shù)．而除以3余1，所以除以13的余數(shù)與除以13的余數(shù)相同，為6.【鞏固】 除以41的余數(shù)是多少？【解析】 找規(guī)律：，……，所以77777是41的倍數(shù)，而，所以可以分成399段77777和1個7組成，那么它除以41的余數(shù)為7．【鞏固】 除以10所得的余數(shù)為多少？【解析】 求結(jié)果除以10的余數(shù)即求其個位數(shù)字．從1到2005這2005個數(shù)的個位數(shù)字是10個一循環(huán)的，而對一個數(shù)的冪方的個位數(shù)，我們知道它總是4個一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個位數(shù)按每20個(20是4和10的最小公倍數(shù))一組，則不同組中對應(yīng)的個位數(shù)字應(yīng)該是一樣的．首先計(jì)算的個位數(shù)字，為的個位數(shù)字，為4，由于2005個加數(shù)共可分成100組另5個數(shù)，100組的個位數(shù)字和是的個位數(shù)即0，另外5個數(shù)為、它們和的個位數(shù)字是的個位數(shù) 3，所以原式的個位數(shù)字是3，即除以10的余數(shù)是3．【例 7】 求所有的質(zhì)數(shù)P，使得與也是質(zhì)數(shù)．【解析】 如果，則，都是質(zhì)數(shù)，所以5符合題意．如果P不等于5，那么P除以5的余數(shù)為3或者4，除以5的余數(shù)即等于、或者除以5的余數(shù)，即9或者16除以5的余數(shù)，只有1和4兩種情況．如果除以5的余數(shù)為1，那么除以5的余數(shù)等于除以5的余數(shù)，為0，即此時(shí)被5整除，而大于5，所以此時(shí)不是質(zhì)數(shù)；如果除以5的余數(shù)為4，同理可知不是質(zhì)數(shù)，所以P不等于5，與至少有一個不是質(zhì)數(shù)，所以只有滿足條件．因數(shù)89909192939495969
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