【正文】 *s i n c o snm aaaK ??? ??? ???() aatg? ? ? ???式中： 進(jìn)而有： 0 a? ???? js ??a?在 s復(fù)平面上 ()aatg? ? ? ???a?表示一條直線：與實軸的交 與實軸的夾角為 a?點為 ， 109 1） 當(dāng) k 取不同值時， φa 有（ n－ m）個值，而 ?a 不變； mnka ???? 180)12(?2） 根軌跡在 s ?∞ 時的漸近線為 （ n－ m）條與實軸交點為 ?a 、相角為 ?a的一組射線。 mnzpmiiniia ?????? 11＝?說明 110 例：設(shè) ， 試求出由上面 三個基本法則所確定的數(shù)據(jù)并繪制相應(yīng)圖形 。 214 2 2* ()() ( ) ( )KsGs s s s s?? ? ? ?4,1 ?? nm解：由開環(huán)傳遞函數(shù)可得： 1 2 3 4 10 4 1 1 1,p p p j p j z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ，C(s)R(s)214 2 2* ()( ) ( )Kss s s s?? ? ?111 法則 1： 起點： p1=0, p2=4, p3= 1+j, p4= 1j 終點： z1= 1和三個無窮遠(yuǎn)零點 法則 2： 四條分支 法則 3： 漸近線與實軸 的交點及夾角為： 3/53 1141144111 ?????????????? ?? ? jjzpj iija?2,1,0 ,14 )12( ???? kka ??0 1 4 2 3 1 1 3/5??a?漸近線 漸近線 060?a?0300?a?112 42 根軌跡繪制的基本法則 1. 繪制根軌跡的基本法則 ? 法則 4： 根軌跡在實軸上的分布。實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。 113 1p2p3p4p 1z2z3z s?? ?12?3?04???? ?1?? ?23???? 232 ??證明： 設(shè)開環(huán)零 、 極點分布如圖所示 。 設(shè) 是測試點 。 s則 為根軌跡上點的充分必要條件為： s(* ) )12()()(? ? ??????? ?kpszs ij即開環(huán)零點到 的相角之和減去開環(huán)極點到 的相角之和是 的奇數(shù)倍。 s s?114 1p2p3p4p 1z2z3z s?? ?12?3?04???? ?1?? ?23???? 232 ??注意到： 復(fù)共軛極點到 的相角之和是 ，不影響（ *）式的奇偶性。 因此，可略去不計。同理復(fù)共軛零點的情況亦可略去不計。 s ?2而測試點左邊的所有點到 的相角均為零，其右邊點到 的 相角均為 。因此，（ *）式為的 奇數(shù)倍的充要條件是 的右邊開環(huán)實零、極點的個數(shù)之和是奇數(shù)。 s s? ? s115 例： 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實軸上的根軌跡。 22 )3)(2()6)(4)(1()(??????ssssssKsG[2， 1] 右側(cè)實零、極點數(shù) =3 [6， 4] 右側(cè)實零、極點數(shù) =7 6? 5? 4? 3? 2? 1? o?j?平面s表示兩重極點116 42 根軌跡繪制的基本法則 1. 繪制根軌跡的基本法則 ? 法則 5： 根軌跡的分離點與分離角。 ???? ???ni imj j pdzd 1111 兩條或兩條以上的根軌跡分支在 s平面上相遇又立即分開的點 ， 稱為根軌跡的分離點 。 分離點的坐標(biāo) d 是下列方程的解： 式中 zj 為各開環(huán)零點的數(shù)值 ， pi 為各開環(huán)極點的數(shù)值 。 分離角為： lk /)12( ??117 分離點的特性： 因為根軌跡是對稱的 ， 所以根軌跡的分離點或位于實軸上 ， 或以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面中 。 一般情況下 ， 常見的根軌跡分離點是位于實軸上的兩條根軌跡分支的分離點 。 如果根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間 ， 其中一個可以是無限極點 ， 則在這兩個極點之間至少存在一個分離點；同樣 ， 如果根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間 ， 其中一個可以是無限零點 ， 則在這兩個零點之間也至少有一個分離點 (會合點 )。 118 1110*()()mjjniiszKsp????????證明：由根軌跡方程 ， 有： 119 110*( ) ( ) ( )nmijijD s s p K s z??? ? ? ? ???閉環(huán)特征方程為： 根軌跡在 s平面上相遇 ， 說明閉環(huán)特征方程在相遇點處有重根出現(xiàn) 。 設(shè)重根為 d， 根據(jù)代數(shù)中重根條件： 00()()DsDs??? ? ??120 11*( ) ( )nmijijs p K s z??? ? ? ???11*( ) ( )nmijijdds p K s zd s d s??? ? ? ???1111()()( ) ( )mnjijinmijijddszspdsdss p s z?????????????11ln ( )ln ( )mnjijid s zd s pd s d s???????代入 11l n ( ) l n ( )nniiiis p s p??? ? ???11l n ( ) l n ( )mmjjjjs z s z??? ? ???兩端微分 121 得： 1111( ) ( )nmij ijs p s z???????d 即為根軌跡的分離點 。 1111( ) ( )nmij ijd p d z??????????????mjjniidszsddspsd11)l n()l n(122 當(dāng) l 條根軌跡分支進(jìn)入并立即離開分離點時，分離角可由 (2k+1)π/l 來決定，其中k=0,1,2,…, l1。 分離角定義為根軌跡進(jìn)入分離點的切線方向與離開分離點的切線方向之間的夾角。顯然，當(dāng) l ＝ 2時，分離角必為直角。 123 例： 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 ， 繪制其概略根軌跡 。 C(s)R(s)123* ()( ) ( )Kss s s???解： 由法則 4， 實軸上區(qū)域 [1， 0] 和 [3， 2]是根軌跡 。 由法則 2， 該系統(tǒng)有 3條根軌跡分支 ， 且對稱于實軸 。 124 C(s)R(s)123* ()( ) ( )Kss s s??? 由法則 1， 一條根軌跡分支起于開環(huán)極點 （ 0） ，終止于開環(huán)零點 （ 1） ， 另外兩條根軌跡分支起于開環(huán)極點 （ 2） 和 （ 3） ， 終止于無窮遠(yuǎn)處 （ 無限零點 ） 。 由法則 3， 兩條終止于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的漸近線與實軸的交角為 90o和 270o， 交點坐標(biāo)為： 3111 0 2 3 1 231( ) ( )ijijapznm? ???? ? ? ?? ? ? ?????125 C(s)R(s)123* ()( ) ( )Kss s s??? 由法則 5， 實軸區(qū)域 [3， 2] 必有一個根軌跡的分離點 d， d 滿足分離點方程： 1 1 1 11 2 3d d d d? ? ?? ? ?解得： 2 4 ??126 ?由法則 2：起點 0， 2， 3；終點 1, 共三條根軌跡，其中兩條趨向無窮遠(yuǎn)點 1?2?3? 0由法則 3：趨向無窮遠(yuǎn)點分枝的漸近線 與實軸交點 σ = 2，與實軸的交角 為 90o和 270o。 由法則 4：實軸上區(qū)域 [1， 0] 和 [3， 2]是根軌跡。 由法則 5：實軸區(qū)域 [2， 3] 必有一個根軌跡的分離點 d， d 滿足分離點方程： 3121111?????? dddd??d?127 例： 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 ， 繪制其根軌跡 。 解： C(s)R(s)20 5 10 5 1* ( . ).Ksss???211* ()()( ) ( )KsGss j s j??? ? ? ?128 法則 1：起點： 終點： 2， 無窮遠(yuǎn)處 。 法則 2：兩條分支 。 法則 3： nm=1， 故只有 180o漸近線 ， 它正好與負(fù)實軸重合 。 法則 4： 為實軸上的根軌跡 。 法則 5：由分離點的坐標(biāo)方程得： j??1jdjdd ??????? 1111214 1 ??d ??d或 (舍去 ) ]2,( ???129 130 結(jié)論： ? 由兩個極點 (實數(shù)極點或復(fù)數(shù)極點 )和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點沒有位于兩個實數(shù)極點之間，當(dāng) K*從零變化到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點的距離為半徑的一個圓，或圓的一部分。 ? 特別指出，如果此時有限極點是共軛的，則半徑為零點到一個極點的距離。 131 根軌跡的分離點 分離點（或會合點） ：根軌跡在 s平面某一點相遇后又立即分開。 分離點必然是 K*為某一數(shù)值時 D(s)的 重根點 。 * ()0d K d F s dd s d s? ? ?由極值點求解 d *1 ( ) ( ) 0 ( )G s H s K F s? ? ? ?例： *( ) ( )( 1 )KG s H sss? ?*21 ( ) ( ) 0G s H s K s s? ? ? ? ? ?* 12 1 0 2dK ssds? ? ? ? ? ? ? ?132 *() ( 1 ) ( 2 )KGs s s s? ??[2， 1]區(qū)間無根軌跡 ?s2 舍去 ??d例： 單位反饋系統(tǒng) * 3 21 ( ) ( ) 0 ( 3 2 )G s H s K s s s? ? ? ? ? ? ?*212( 3 6 2 ) 00 .4 2 , 1 .5 8dKssdsss? ? ? ? ?? ? ? ? ?133 *2( ) ( ) ( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s? ? ? ?法則 4 ? 根軌跡對稱于實軸， 有四條根軌跡分支，分別起始于極點 0，－ 4和－ 2177。 j4，終止于無限遠(yuǎn)零點。 實軸上 [4,0]為根軌跡。 相角條件 ? p p4的連接線為根軌跡 。 ??????? )()( 21 psps2)( 4???? ps 2)( 3 ????? ps???????????? ni imi ikpszs11)12()()( ?例 : 134 )204)(4()()( 2*???? ssssKsHsG?????? ???? 1 3 5451 8 0)12( ，mnka?根據(jù)法則 3? 根軌跡有四條漸近線 24 )2()2()4(011 ?????????? ???? ＋＝mnzpmiiniia?*21 ( ) ( ) 1 0( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s? ? ? ?? ? ?* 2 4 3 2( 4 ) ( 4 2 0 ) ( 8 3 6 8 0 )K s s s s s s s s? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*32( 4 24 72 80 ) 0dK s s sd