【正文】 ????????NXNXNiiNii離差的平方求平均 平方的平均減去平均的平方 標(biāo)準(zhǔn)差 :方差的平方根 ? ?21212??? ????????NXNXNiiNii例 未分組數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差： Xi Xi ? =x x2 Xi2 6 5 7 4 6 8 0 1 1 2 0 2 0 1 1 4 0 4 36 25 49 16 36 64 N=6 ? X i =36 ? x=0 ? x2=10 ? X i2=226 ?2=10/6 = , ?= 用原始數(shù)據(jù)直接求方差和標(biāo)準(zhǔn)差 : 22222,??????????NXNXii上例中 ,636622622?????????????課堂練習(xí) ?分別求下列各組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差 （ 1） 15， 16， 13， 11， 12， 10， 11 （ 2） 5， 6， 3， 1， 2， 0， 1 （ 3） 10， 12， 6， 2， 4， 0， 2 方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)： （ 1）若 y=x+c , x和 y是隨機變量， c為常數(shù)， 則 （ 2）若 y=cx, c為常數(shù) , 則 xyxy?????? ,22xyxycc???????? ,222 樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差 ? ?? ?? ?? ?? ?111SS,111SSSS,21121222112122122212212212122???????????????????????????????????????????????????nnXnXnXXnnXnXnXXSSXnXnXXSniiniiniiniiniiniinnnnniiniin標(biāo)準(zhǔn)差：方差：。為樣本的方差作一般情況下，用的無偏估計量，所以，是總體方差而它是一個有偏估計量，并不是最好的估計量，但是總體的方差，根據(jù)樣本的方差來估計在推斷統(tǒng)計中，常常要?? ?? ?? ?? ?11,1111,211221122112122211212?????????????????????????????????????????????????????????????nnxnxSnnxnxnnxxnxxSnxxxxniiniiniiniiniiniiniiniiniinii樣本方差為什么要除以（ n－ 1）的另一種解釋： 與多元函數(shù)自由度 (degrees of freedom)有關(guān)。 自由度是數(shù)學(xué)名詞，在統(tǒng)計學(xué)中， n個數(shù)據(jù)如不受任何條件的限制，則 n個數(shù)據(jù)可取任意值，稱為有 n個自由度。若受到 k個條件的限制，就只有（ n－ k）個自由度了。計算樣本方差時， n個變量值本身有 n個自由度。但受到樣本均數(shù)的限制， n個“離均差”之和為零，所以，任何一個“離均差”均可以用另外的（ n－ 1）個“離均差”表示，所以只有（ n－ 1）個獨立的“離均差”。因此只有（ n－ 1）個自由度。 課堂練習(xí) 下列數(shù)據(jù)是從某個總體中抽取的一個隨機樣本，求該樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 10， 8， 8， 6， 7， 5， 9， 5， 4， 6 樣本方差與總體方差的區(qū)別 ： （ 1）在計算上，總體方差是用數(shù)據(jù)個數(shù)或總頻數(shù)去除離差平方和，而樣本方差則用樣本數(shù)據(jù)個數(shù)或總頻數(shù)減一去除離差平方和； （ 2）樣本方差是統(tǒng)計量，用 S2表示；總體方差是總體參數(shù)，用 ?2表示。 （ 3）當(dāng) n很大時， S2與 ?2相差很小，前者是后者的無偏估計。 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義 方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好的指標(biāo)。其值越大，說明離散程度大，其值小說明數(shù)據(jù)比較集中。具有以下優(yōu)點： （ 1）反應(yīng)靈敏。 （ 2）由計算公式嚴(yán)格確定； （ 3）容易計算； （ 4）適合代數(shù)運算； （ 5）受抽樣變動的影響小，即不同樣本的標(biāo)準(zhǔn)差或方差比較穩(wěn)定； （ 6）簡單明了； （ 7）具有可加性?？梢园芽傋儺惙纸鉃椴煌瑏碓吹淖儺?。 （ 8）各變量值對均值的方差小于對任意數(shù)的方差。即： ?2D2 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?2221212022121201211212121200,02,XDcNXNXXDNcXXXXNcXcXcXcXXXccNiiniiNiiNiiNiiNiiNiiNiiNiiNii???????????????????????????????????????????????????????所以，，所以，因為為常數(shù)，則令由各小組的標(biāo)準(zhǔn)差、方差求總標(biāo)準(zhǔn)差、方差 ? ? ? ?? ?? ?, ,DNN11TT122K1i122K1i21222221122222112????????????????????????????????????????KiiKiiiiiKiiiiiKiiiiiKKKKKTNNNDNDNNNDNDNDNNNN???????????其中：例 某年級有四個班 ,各班某科成績?nèi)缦?:一班 35人 ,平均成績 80分 ,標(biāo)準(zhǔn)差 8分 。二班 40人 ,平均成績 75分 ,標(biāo)準(zhǔn)差 10分 。三班 40人 ,平均成績 78分 ,標(biāo)準(zhǔn)差 9分 。四班 37人 ,平均成績 70分 ,標(biāo)準(zhǔn)差10分。求四個班的平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差。 ? ? ? ?3 9 7 0 01 5 23 9 6 5 2 6 0374040353740403510379401040835,1 5 21 1 5 1 03740403537704078407535802222222224321??????????????????????????????????????????????????????TTTDDDD??? 標(biāo)準(zhǔn)化值 (Standard score) 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) , Z分?jǐn)?shù) . SZXZiiiiXX ??????標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可以給出各數(shù)值在一組數(shù)據(jù)中的相對位置。 例某班平均成績?yōu)?90分，標(biāo)準(zhǔn)差為 3分，甲生得 ,乙生得 ,求甲乙二學(xué)生的 Z分?jǐn)?shù)各是多少 ? 解 :Z甲 =()/3= Z乙 =()/3= 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平均值為 0,標(biāo)準(zhǔn)差為 1。 Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 : (1)比較分屬性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低。 如 :某人 Z身高 =, Z體重 65=, 則該人在某團體中身高稍偏高 ,而體重更偏重些。 (2) 當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測值的次數(shù)分布為正態(tài)時 ,可用 Z分?jǐn)?shù)求不同的觀測值的總和或平均值 ,以表明在總體中的位置。 表 利用 Z分?jǐn)?shù)求總和 原始分?jǐn)?shù) 全體考生 Z 分?jǐn)?shù)科目甲 乙 平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 甲 乙語文政治外語數(shù)學(xué)理化85 8970 6268 7253 407 2 8 77 0 1 065 569 850 67 5 81 .50 0 1 .90 01 .0 0 0 2 5 0 .37 50 .50 0 7 0 7 5 1 .50 0總計 3 4 8 3 5 0 2 .50 0 1 .50 5(3)表示標(biāo)準(zhǔn)測驗分?jǐn)?shù) 經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化的測驗 ,如果其常模分?jǐn)?shù)分布接近正態(tài)分布 ,常常要轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。 Z’=aZ+b Z’為正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) ,Z=(XX)/?, a,b為常數(shù) , ?為測驗常模的標(biāo)準(zhǔn)差。 如：（ WAIS）韋氏常人智力量表： IQ=15Z+100； 比奈 西蒙智力測驗： Z’=16Z+100。 普通分類測驗 (AGCT) Z’=20Z+100 (4)異常值 (極端值 )的取舍 一個正態(tài)分布中 ,平均數(shù)上下一定的標(biāo)準(zhǔn)差處 ,包含有確定百分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù)個數(shù)。如上下三個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)包含%的數(shù)據(jù)個數(shù)。所以，如果有一個數(shù)據(jù)的取值落在平均數(shù)加減三個標(biāo)準(zhǔn)差之外，則在整理數(shù)據(jù)時，可將此數(shù)據(jù)作為異常值加以舍棄。 變異系數(shù) (Coefficient of variation) 也稱離散系數(shù) ,標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比。 XSCVCVS?????變異系數(shù)指出了標(biāo)準(zhǔn)差相對于平均值的大小，用于比較不同總體或樣本數(shù)據(jù)的離散程度。 （ 1）同一團體不同測量的變異的比較，如相同班級不同科目的變異的比較； （ 2）不同團體同一測量的變異的比較，如不同年級同一科目變異大小的比較。 例 已知某小學(xué)一年級學(xué)生的平均體重為 25公斤 ,體重的標(biāo)準(zhǔn)差是 ,平均身高 110厘米 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,問體重與身高的離散程度哪個大 ? 解 :CV體重 =?100%=% CV身高 =?100%=%, 所以 , 體重的離散程度比身高的離散程度大。 例 通過同一個測驗 ,一年級學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為 60分 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,五年級學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為 80分 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,問這兩個年級的測驗分?jǐn)?shù)中哪一個分散程度大。 解： CV一年級 =?100%=%, CV五年級 =?100%=%, 所以 ,五年級的測驗分?jǐn)?shù)的分散程度大。 偏態(tài)與峰度的度量 除考察集中趨勢、離散程度外，還要了解數(shù)據(jù)分布的形狀是否對稱、偏斜的程度以及分布的扁平程度。即考察偏態(tài)與峰度。 偏態(tài)及測度 偏態(tài) (Skewness)是對分布偏斜方向和程度的測度。偏斜系數(shù)為： ? ? ? ?3n1333N133nSXXaNXa iiii ???????? 或??a3=0時，表示對稱分布； a3為正時，表示正偏離差值較大，可判斷為正偏或右偏； a3為負(fù)時，表示負(fù)偏離差值較大，可判斷為負(fù)偏或左偏。 峰度及其測度 峰度 (Kurtosis)是分布集中趨勢高峰的形狀。與正態(tài)分布比較而言。若分布的形狀比正態(tài)分布更瘦更高，則稱為尖峰分布；若比正態(tài)分布更矮更胖，則稱為平峰分布。 峰度系數(shù)公式： ? ? ? ?4n1444N144 nSXXaNXa iiii ???????? 或??a4=3時為正態(tài)分布； a43時為尖峰分布 。 a43時為平峰分布 . 描述性統(tǒng)計量 :