【正文】 ????????NXNXNiiNii離差的平方求平均 平方的平均減去平均的平方 標(biāo)準(zhǔn)差 :方差的平方根 ? ?21212??? ????????NXNXNiiNii例 未分組數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差： Xi Xi ? =x x2 Xi2 6 5 7 4 6 8 0 1 1 2 0 2 0 1 1 4 0 4 36 25 49 16 36 64 N=6 ? X i =36 ? x=0 ? x2=10 ? X i2=226 ?2=10/6 = , ?= 用原始數(shù)據(jù)直接求方差和標(biāo)準(zhǔn)差 : 22222,??????????NXNXii上例中 ,636622622?????????????課堂練習(xí) ?分別求下列各組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差 （ 1） 15， 16， 13， 11， 12， 10， 11 （ 2） 5， 6， 3， 1， 2， 0， 1 （ 3） 10， 12， 6， 2， 4， 0， 2 方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)： （ 1）若 y=x+c , x和 y是隨機(jī)變量， c為常數(shù)， 則 （ 2）若 y=cx, c為常數(shù) , 則 xyxy?????? ,22xyxycc???????? ,222 樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差 ? ?? ?? ?? ?? ?111SS,111SSSS,21121222112122122212212212122???????????????????????????????????????????????????nnXnXnXXnnXnXnXXSSXnXnXXSniiniiniiniiniiniinnnnniiniin標(biāo)準(zhǔn)差：方差：。為樣本的方差作一般情況下，用的無(wú)偏估計(jì)量，所以，是總體方差而它是一個(gè)有偏估計(jì)量，并不是最好的估計(jì)量，但是總體的方差，根據(jù)樣本的方差來(lái)估計(jì)在推斷統(tǒng)計(jì)中，常常要?? ?? ?? ?? ?11,1111,211221122112122211212?????????????????????????????????????????????????????????????nnxnxSnnxnxnnxxnxxSnxxxxniiniiniiniiniiniiniiniiniinii樣本方差為什么要除以（ n－ 1）的另一種解釋： 與多元函數(shù)自由度 (degrees of freedom)有關(guān)。 自由度是數(shù)學(xué)名詞，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中， n個(gè)數(shù)據(jù)如不受任何條件的限制，則 n個(gè)數(shù)據(jù)可取任意值，稱為有 n個(gè)自由度。若受到 k個(gè)條件的限制，就只有（ n－ k）個(gè)自由度了。計(jì)算樣本方差時(shí)， n個(gè)變量值本身有 n個(gè)自由度。但受到樣本均數(shù)的限制， n個(gè)“離均差”之和為零，所以，任何一個(gè)“離均差”均可以用另外的（ n－ 1）個(gè)“離均差”表示，所以只有（ n－ 1）個(gè)獨(dú)立的“離均差”。因此只有（ n－ 1）個(gè)自由度。 課堂練習(xí) 下列數(shù)據(jù)是從某個(gè)總體中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本，求該樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 10， 8， 8， 6， 7， 5， 9， 5， 4， 6 樣本方差與總體方差的區(qū)別 ： （ 1）在計(jì)算上，總體方差是用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)去除離差平方和，而樣本方差則用樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)減一去除離差平方和； （ 2）樣本方差是統(tǒng)計(jì)量，用 S2表示；總體方差是總體參數(shù)，用 ?2表示。 （ 3）當(dāng) n很大時(shí)， S2與 ?2相差很小，前者是后者的無(wú)偏估計(jì)。 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義 方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好的指標(biāo)。其值越大，說(shuō)明離散程度大，其值小說(shuō)明數(shù)據(jù)比較集中。具有以下優(yōu)點(diǎn)： （ 1）反應(yīng)靈敏。 （ 2）由計(jì)算公式嚴(yán)格確定； （ 3）容易計(jì)算； （ 4）適合代數(shù)運(yùn)算； （ 5）受抽樣變動(dòng)的影響小，即不同樣本的標(biāo)準(zhǔn)差或方差比較穩(wěn)定； （ 6）簡(jiǎn)單明了； （ 7）具有可加性?？梢园芽傋儺惙纸鉃椴煌瑏?lái)源的變異。 （ 8）各變量值對(duì)均值的方差小于對(duì)任意數(shù)的方差。即： ?2D2 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?2221212022121201211212121200,02,XDcNXNXXDNcXXXXNcXcXcXcXXXccNiiniiNiiNiiNiiNiiNiiNiiNiiNii???????????????????????????????????????????????????????所以，，所以，因?yàn)闉槌?shù)，則令由各小組的標(biāo)準(zhǔn)差、方差求總標(biāo)準(zhǔn)差、方差 ? ? ? ?? ?? ?, ,DNN11TT122K1i122K1i21222221122222112????????????????????????????????????????KiiKiiiiiKiiiiiKiiiiiKKKKKTNNNDNDNNNDNDNDNNNN???????????其中：例 某年級(jí)有四個(gè)班 ,各班某科成績(jī)?nèi)缦?:一班 35人 ,平均成績(jī) 80分 ,標(biāo)準(zhǔn)差 8分 。二班 40人 ,平均成績(jī) 75分 ,標(biāo)準(zhǔn)差 10分 。三班 40人 ,平均成績(jī) 78分 ,標(biāo)準(zhǔn)差 9分 。四班 37人 ,平均成績(jī) 70分 ,標(biāo)準(zhǔn)差10分。求四個(gè)班的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差。 ? ? ? ?3 9 7 0 01 5 23 9 6 5 2 6 0374040353740403510379401040835,1 5 21 1 5 1 03740403537704078407535802222222224321??????????????????????????????????????????????????????TTTDDDD??? 標(biāo)準(zhǔn)化值 (Standard score) 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) , Z分?jǐn)?shù) . SZXZiiiiXX ??????標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可以給出各數(shù)值在一組數(shù)據(jù)中的相對(duì)位置。 例某班平均成績(jī)?yōu)?90分，標(biāo)準(zhǔn)差為 3分，甲生得 ,乙生得 ,求甲乙二學(xué)生的 Z分?jǐn)?shù)各是多少 ? 解 :Z甲 =()/3= Z乙 =()/3= 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平均值為 0,標(biāo)準(zhǔn)差為 1。 Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 : (1)比較分屬性質(zhì)不同的觀測(cè)值在各自數(shù)據(jù)分布中相對(duì)位置的高低。 如 :某人 Z身高 =, Z體重 65=, 則該人在某團(tuán)體中身高稍偏高 ,而體重更偏重些。 (2) 當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測(cè)值的次數(shù)分布為正態(tài)時(shí) ,可用 Z分?jǐn)?shù)求不同的觀測(cè)值的總和或平均值 ,以表明在總體中的位置。 表 利用 Z分?jǐn)?shù)求總和 原始分?jǐn)?shù) 全體考生 Z 分?jǐn)?shù)科目甲 乙 平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 甲 乙語(yǔ)文政治外語(yǔ)數(shù)學(xué)理化85 8970 6268 7253 407 2 8 77 0 1 065 569 850 67 5 81 .50 0 1 .90 01 .0 0 0 2 5 0 .37 50 .50 0 7 0 7 5 1 .50 0總計(jì) 3 4 8 3 5 0 2 .50 0 1 .50 5(3)表示標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù) 經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化的測(cè)驗(yàn) ,如果其常模分?jǐn)?shù)分布接近正態(tài)分布 ,常常要轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。 Z’=aZ+b Z’為正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) ,Z=(XX)/?, a,b為常數(shù) , ?為測(cè)驗(yàn)常模的標(biāo)準(zhǔn)差。 如：（ WAIS）韋氏常人智力量表： IQ=15Z+100； 比奈 西蒙智力測(cè)驗(yàn)： Z’=16Z+100。 普通分類測(cè)驗(yàn) (AGCT) Z’=20Z+100 (4)異常值 (極端值 )的取舍 一個(gè)正態(tài)分布中 ,平均數(shù)上下一定的標(biāo)準(zhǔn)差處 ,包含有確定百分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。如上下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)包含%的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。所以，如果有一個(gè)數(shù)據(jù)的取值落在平均數(shù)加減三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外，則在整理數(shù)據(jù)時(shí)，可將此數(shù)據(jù)作為異常值加以舍棄。 變異系數(shù) (Coefficient of variation) 也稱離散系數(shù) ,標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比。 XSCVCVS?????變異系數(shù)指出了標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于平均值的大小，用于比較不同總體或樣本數(shù)據(jù)的離散程度。 （ 1）同一團(tuán)體不同測(cè)量的變異的比較，如相同班級(jí)不同科目的變異的比較； （ 2）不同團(tuán)體同一測(cè)量的變異的比較，如不同年級(jí)同一科目變異大小的比較。 例 已知某小學(xué)一年級(jí)學(xué)生的平均體重為 25公斤 ,體重的標(biāo)準(zhǔn)差是 ,平均身高 110厘米 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,問(wèn)體重與身高的離散程度哪個(gè)大 ? 解 :CV體重 =?100%=% CV身高 =?100%=%, 所以 , 體重的離散程度比身高的離散程度大。 例 通過(guò)同一個(gè)測(cè)驗(yàn) ,一年級(jí)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為 60分 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,五年級(jí)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為 80分 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,問(wèn)這兩個(gè)年級(jí)的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)中哪一個(gè)分散程度大。 解： CV一年級(jí) =?100%=%, CV五年級(jí) =?100%=%, 所以 ,五年級(jí)的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的分散程度大。 偏態(tài)與峰度的度量 除考察集中趨勢(shì)、離散程度外，還要了解數(shù)據(jù)分布的形狀是否對(duì)稱、偏斜的程度以及分布的扁平程度。即考察偏態(tài)與峰度。 偏態(tài)及測(cè)度 偏態(tài) (Skewness)是對(duì)分布偏斜方向和程度的測(cè)度。偏斜系數(shù)為： ? ? ? ?3n1333N133nSXXaNXa iiii ???????? 或??a3=0時(shí)，表示對(duì)稱分布； a3為正時(shí)，表示正偏離差值較大，可判斷為正偏或右偏； a3為負(fù)時(shí)，表示負(fù)偏離差值較大，可判斷為負(fù)偏或左偏。 峰度及其測(cè)度 峰度 (Kurtosis)是分布集中趨勢(shì)高峰的形狀。與正態(tài)分布比較而言。若分布的形狀比正態(tài)分布更瘦更高，則稱為尖峰分布；若比正態(tài)分布更矮更胖，則稱為平峰分布。 峰度系數(shù)公式： ? ? ? ?4n1444N144 nSXXaNXa iiii ???????? 或??a4=3時(shí)為正態(tài)分布； a43時(shí)為尖峰分布 。 a43時(shí)為平峰分布 . 描述性統(tǒng)計(jì)量 :