【正文】 ??? 2222kdddkJkxcxm CC ?????? ???? ，（ g） 上式是對 和 互相獨立的兩個微分方程 Cx ?系統(tǒng)的兩個固有振型 隨同質心的平移位移 繞質心轉動的角位移 Cx?Cx ?和 稱為此系統(tǒng)的兩個 主坐標 例 4－ 16 求：小車和重物的運動。 已知：如圖起重機小車， 在質心 A處用繩懸掛一重物 B， 設繩和彈簧質量均忽略不計。當小車連同重物 B 以勻速度 碰上緩沖器后。 左側彈簧是一緩沖器，剛度系數(shù)為 k=， 其質量為 kg22201 ?m其質量為 kg2 0 4 02 ?m0 1m /sv ?解： 應用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程 視小車和重物為兩個質點 則系統(tǒng)動能為 22121122ABT m v m v??其中 Avx?廣義坐標：小車的水平位移 x 繩 AB偏離鉛直的角度 ?2 2 2 2 2 22 c o s 2 c o sB A r A rv v v v v x l x l? ? ? ?? ? ? ? ? ?)c o s2(21)(21 222221 ??? xllmxmmT ???? ????系統(tǒng)的勢能等于彈簧勢能與重力勢能的和 )c o s1(21 22 ???? glmkxV)co s(s i n 222 ?????? xllmTxlmT ????? ???????? ，??????? s i n)s i nco s()(dd 22 glmVxxllmTt ???????? ，????????? c o s)(0 221 ??? lmxmmxTxT ???????? ，kxxVlmlmxmmxTt ????????? ，???? s i nc o s)()(dd 22221 ??????偏角 很小， ? 1c oss in ?? ??? ， 并略去 2??如下線性微分方程組 ??????????00)( 221???glxkxlmxmm???????? （ a） 設上述方程組的解為 )s i n()s i n( ????? ???? tBtAx ， （ b） 將所設解（ b）代入式（ a）中 并令 21 mmm ??0)(0)( 22222 ??????? BlgABlmAmk ???? ，（ c） 頻率方程為 0))(( 22222 ????? ???? lmlgmk或 01214 ????lmkglmklmg ??令 clmkgblm klmg ???11，024 ??? cb ??cbbcbb ?????? 222221 )2(2)2(2 ?? ，代入題設數(shù)據(jù)，得系統(tǒng)的兩個固有頻率為 r a d/ a d/ s8 3 21 ?? ?? ，12121221111 ???????????lglmmkAB22222222222 ????????????lglmmkAB0)(0)( 22222 ??????? BlgABlmAmk ???? ，系統(tǒng)的兩個主振動為 ???????????)s i n ()s i n ()s i n ()s i n (222222222111111111????????????tAtAxtAtAx，（ d） 系統(tǒng)的振動規(guī)律為 ???????????)s i n ()s i n ()s i n ()s i n (22221111222111???????????tAtAtAtAx （ e） 現(xiàn)在來確定 4個數(shù)值 2121 ?? ，， AA將式（ e）取一階導數(shù)得 ???????????)c o s ()c o s ()c o s ()c o s (222221111122221111???????????????tAtAtAtAx?? （ f） 初始條件： t=0時 0m / s100 00000 ????? ??? ?? ，， xx將它們代入式（ e）和（ f）中 解得 021 ?? ??)()(122102121201 ??????? ?????????? AA ，因此 ,小車和重物的運動規(guī)律為 ttx i i ??tt i i ???167。 4－ 9 兩個自由度系統(tǒng)的受迫振動 動力減振器 如圖所示是一個無阻尼系統(tǒng) 在主質量 上作用有激振力 1m tH ?s in小質量 以剛度系數(shù)為 的彈簧與主質量連接 2m2k可用來減小 的振動，稱為 動力減振器 。 1m－－ 相對平衡位置的位移 1x 1m－－ 相對平衡位置的位移 2x 2m建立兩個質量的運動微分方程為 )(s i n)(122221221111xxkxmtHxxkxkxm???????????? ?令 12212121mHhmkdmkcmkkb ????? ，，則上式可簡化為 ?????????0s i n212211dxdxxthcxbxx???? ?設上述方程一組特解為 tBxtAx ?? s i ns i n 21 ?? ，式中 A和 B為 和 的振幅 1m 2m 是待定常數(shù) 0)()( 22 ??????? BddAhcBAb ?? ，解上述代數(shù)方程組得 cddbdhA?????))(()(222???下面分析受迫振動的 振幅與激振頻率之間的關系 （ 1）當激振頻率 時 0?? 周期 ??T表示激振力變化及其緩慢，實際上相當于靜力作用 cddbhdB???? ))(( 22 ??01bkHcb hBA ?????－－力幅 H的作用下主質量 的靜位移 1m（ 2）系統(tǒng)的頻率方程為 0))(( 2222?????????cddbddcb????由此可解得系統(tǒng)的固有頻率 和 1? 2?0)()( 22 ??????? BddAhcBAb ?? ，cddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??所以當激振頻率 或 時 1?? ? 2?? ?振幅 A和 B都成為無窮大，即系統(tǒng)發(fā)生共振。 由此可見兩個自由度系統(tǒng)有兩個共振頻率。 （ 3） ddBA 2???即二物塊振幅之比與干擾力頻率有關 不再是自由振動的主振型。 cddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??當 或 時 1?? ? 2?ddBA 21??? 或 dd 22??當系統(tǒng)發(fā)生各階共振時，受迫振動是各階主振型。 利用實驗測固有頻率和固有振型。 設如圖所示系統(tǒng)中， 21 kk ? 21 2mm ?20202 ?? ??? cdb ，其中 是沒有 時 110 mk?? 2m主質量系統(tǒng)的固有頻率 實例： 12212121mHhmkdmkcmkkb ????? ，，0))(( 2222?????????cddbddcb????20222021 8 ???? ?? ，kHb ?01)(2112)(211)/1)(/1()/1)((220202220?????????????????????????cdbbdcbbA??????????1)(21121200???bBcddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??振幅比 αβ 隨頻率比 變化的關系曲線如圖所示 0/??22mkd ???即激振力頻率等于減振器 本身的固有頻率時 2m振幅 A=0 而振幅 B= 0b但與激振力反相位 此時質量 振動而主質量 不動， 2m 1m故稱為 動力減振 如果一個振動系統(tǒng)受到一個頻率不變的激振力作用而 發(fā)生振動，則可在這振動系統(tǒng)上安裝一個動力減振器 來減小甚至消除這種振動。 －－ 無阻尼減振器 有阻尼動力減振器 它的減振作用主要是靠阻尼元件在振動過程中， 吸收振動能量來達到減振的目的。 此外還有沖擊減振器 如圖所示 例 4－ 17 已知：電機的轉速為 1500r/min， 由于轉子不平衡使機殼 發(fā)生較大的振動，為減少機殼的振動，機殼上安 裝數(shù)個如圖的動力減振器，該減振器由一鋼制圓 截面彈性桿和兩個安裝在桿兩端重塊組成，桿的 中部固定在機殼上，重塊到中點的距離 l可用螺桿 來調節(jié)，重塊質量為 m=5kg， 圓桿的直徑 D=20mm。 問：重塊距中點的距離 l 應等于多少時減振器的減振 效果最好。 解： 電機機殼受迫振動的角頻率為 2 π 2 π 50 π r a d /s60nf? ? ? ?螺桿的剛度系數(shù) k可由材料力學公式計算 有 33lElk ?其中 是螺桿截面慣性矩 4π64DI ?M P 5??E 是材料的彈性模量 l為懸臂桿的桿長 減振器自身的固有頻率為 40 33 π64k E Dm m l????令 0?? ? 解得桿長 4 5 43 32 2 23 π 3 2 .1 1 0 N /m m π ( 2 0 m m ) 1 0 0 0 3 4 2 m m6 4 6 4 5 k g ( 5 0 r a d /s ) πEDlm ?? ? ? ? ? ?? ? ???