【正文】 t 1t t11O 1h ( t ? )t 1t x ( ? ) x ( ? ) x ( ? )( a ) ( b )( c ) ( d )tty ?? ??? e)1e(1)( 1τ 卷積 2. 卷積計算 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 66 例 已知系統(tǒng)的單位沖激響應 )(e)( tth t??? ,輸入信號如右圖所示，求系統(tǒng)響應 。 )(ty x ( t )t11O 1解 輸入信號為 ????????????tttttx其余0101011)(用下式計算響應 ? ? ?? ??? ??? d)()()(*)()( thxthtxty(2) 1t 0 區(qū)間 (3) 0t 1 區(qū)間 (4) t 1 區(qū)間 110011e)1ee(e)1e(1e0)(11)1(???????????????????????????ttttttyttt(1) t 1 區(qū)間 0)( ?ty)1(e)( ???? tttytty ?? ??? e)1ee()( 1 x ( ? )t11O 1h ( t ? )t 1t11O 1h ( t ? ) 1 t 0t tt11O 1h ( t ? )0 t 1t t11O 1h ( t ? )t 1t x ( ? ) x ( ? ) x ( ? )( a ) ( b )( c ) ( d )tty ?? ??? e)1e(1)( 1故響應為 τ 卷積 2. 卷積計算 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 67 卷積性質(zhì) ? ?、分配律、結(jié)合律 ? ? ? 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 68 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?d x t t x txt? ? ? ? ????? ? ???? ? ? ? ? ?t t t? ? ???? ? ? ? ? ?00t t t t t? ? ?? ? ? ? 卷積的性質(zhì) 1. 與沖激函數(shù)的卷積 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 69 證明： )()()()( txththtx ???? ??? ??? ??? d)()()()( thxthtx??????????????????????d d)(h)t(x)(h)t(xt＝令)()( txth ??注：兩個函數(shù)卷積，其順序可以交換。有時可使卷積簡便 .在系統(tǒng)分析中，卷積的交換律意味著一個單位沖激響應為 h(t)的 LTI系統(tǒng)對輸入 x(t)的響應與一個單位沖激響應為 x(t)的 LTI系統(tǒng)對輸入 h(t)的響應是一樣的 . 交換律 、分配律、結(jié)合律 卷積的性質(zhì) 2. 交換律、分配律、結(jié)合律 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 70 )()()()()]()([)( 2121 thtxthtxththtx ??????分配律用于系統(tǒng)分析，相當于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應 = 組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應之和 . x(t) h1(t) h2(t) )]()([)( 21 ththtx ??分配律 卷積的性質(zhì) 2. 交換律、分配律、結(jié)合律 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 71 )]()([)()(*)]()([ 2121 ththtxththtx ????)](*)([*)( 12 ththtx? 結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當于級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應 = 組成級聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應的卷積 . 改變兩個系統(tǒng)的級聯(lián)順序，系統(tǒng)總的響應保持不變 . h1(t) h2(t) x(t) )]()([)(21 ththtx ??結(jié)合律 卷積的性質(zhì) 2. 交換律、分配律、結(jié)合律 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 72 )()(*)( tythtx ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t x t d x t d x t? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )x t t t x t t d x t t d x t t? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )x t t t t x t t t d x t t t d x t t t? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???與沖激函數(shù)的卷積 兩信號卷積 )()(*)()(*)(211221tttytthttxtthttx????????)()(*)( 11 ttythttx ???h(t) h(tt2) h(t) h(tt2) x(t) y(t) x(t) y(tt1) x(tt1) x(tt1) y(tt1t2) y(tt2) 時不變性質(zhì) 卷積的性質(zhì) 3. 時間移位 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 73 若兩個起始時刻分別為 a a2的信號做卷積運算，則卷積后信號的起始時刻為 a1+a2 若兩個持續(xù)期分別為（ a1， b1）、（ a2， b2）的信號做卷積運算，則卷積后信號的終止時刻一般為（ b1+b2），故卷積后信號的長度為 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )b b a a b a b a? ? ? ? ? ? ? 卷積的性質(zhì) 4. 卷積后信號的長度 因此，兩個有限持續(xù)期信號卷積后的長度是它們兩個長度的和。 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 74 d d ( ) d ( )[ ( ) ( ) ] ( ) ( )d d dx t h tx t h t h t x tt t t? ? ? ? ?兩個信號卷積后的微分等于其中一個信號微分后與另一個信號的卷積。特別地： ( 1 ) ( 1 )d ( ) d [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )ddx t x t t x t t x t ttt? ???? ? ? ? ?( ) ( ) ( )x t t x t? ????( ) ( )( ) ( ) ( )kkx t t x t???( ) ( )00( ) ( ) ( )kkx t t t x t t?? ? ? ?對沖激偶： 推廣： 微分 卷積的性質(zhì) 5. 微積分性質(zhì) 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 75 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t h t x t h t x t h t??? ? ? ? ?證明： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) {[ ( ) ( ) ] } [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )y t y t x t h t x t h tx t h t x t h tx t h t x t h t??????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i ix t h t x t h t x t h t??? ? ? ? ?推論： 用處：如果相卷積的兩個信號之一是奇異信號，可進行微積分變成 δ(t), 另一個信號只需單獨做相反的積微分，使卷積運算變成微積分運算 . [ ( ) ( ) ] d [ ( )d ] ( ) ( ) [ ( )d ]t t tx h x h t x t h? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?積分 微積分 卷積的性質(zhì) 5. 微積分性質(zhì) 特別地：（與階躍函數(shù)的卷積） )(d)()()( 1( txxt*tx )t ??? ?? ? ???信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 76 例 ： 求 )2(*)1()( ??? ttty ??解： 根據(jù)移位性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有 ( 1)( 1)3( ) ( ) * ( 2 1 )( ) * ( 3 )( ) * ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )( 3 ) ( 3 )tty t t tttttddtt??????? ? ?? ? ?????? ? ?????????? ? ??? 卷積的性質(zhì) 5. 微積分性質(zhì) 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 77 例 ： 已知系統(tǒng)的單位沖激響應 )(e)( tth t???圖示，求系統(tǒng)響應 y (t) . 解： 輸入信號為： ????????????tttttx其余0101011)()1()()1()1()()1()1()}1()({)}()1(){1()1()2()2( ????????????????????? ttttttttttttt??????????)1()()1( )()()()1()2()2( ?????????? ththththtxty)()e1( )(]de[ d)(e)(0)1(ttthttt????????????????????)()e1( )()de(1)(0)2(tttthtt???????????????? ?? ?)1()e1()()e1()1()e()( )1()1( ????????? ????? tttttty ttt ???根據(jù)卷積的微積分性質(zhì)，得系統(tǒng)響應 : ,輸入信號如 x ( t )t11O 1 卷積的性質(zhì) 5. 微積分性質(zhì)