遼寧工業(yè)大學高數習題課-資料下載頁
2025-01-20 12:28本頁面
【正文】 1?B ( 3, 1 , 1 )n ??則所求平面的方程為 0)]1([)1()2(3 ???????? zyx即 063 ???? zyx解法 3：過交線 的平面束的方程是 L2 4 ( 2 ) 0x y y z?? ? ? ? ?即 2 ( 1 ) 2 4 0x y z??? ? ? ? ?點 不在交線上，故平面束中過點 的 )1,1,2(0 ??M )1,1,2(0 ??M平面唯一。將 的坐標代入平面束方程： )1,1,2(0 ??M04)1(2)1)(1(22 ???????? ??可得 31???于是求平面的方程為 0432322 ???? zyx即 063 ???? zyx【 例 13】 求直線 在平面 ??????????0923042zyxzyx 144 ??? zyx上的投影的直線方程。 分析：應考慮過已知直線的平面束中有一個平面與已知 平面垂直，平面束中該平面是直線的投影柱面。 解：過已知直線的平面束方程為 3 2 9 ( 2 4 ) 0,x y z x y z?? ? ? ? ? ? ?即 09)2()41()23( ???????? zyx ???其法向量 ( 3 2 , 1 4 , 2 ) 。n ? ? ?? ? ? ? ? ?平面束中有一個平面與已知平面垂直， 與已知平面法向量 垂直 )2,41,23( ?????? ???n即其法向量 )1,1,4(1 ???n則兩者的數量積為零，即 1 ( 3 2 , 1 4 , 2 ) ( 4 , 1 , 1 )nn ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?1 2 8 1 4 2 0? ? ?? ? ? ? ? ? ?解得 1311???則法向量為 . 1 7 3 1 3 7 1( , , ) ( 1 7 , 3 1 , 3 7 )1 3 1 3 1 3 1 3n? ? ? ? ?于是平面束中以此為法向量的平面方程為 17 31 37 117 0,x y z? ? ? ?即是直線的投影柱面。 ??????????1440117373117zyxzyx則已知直線在已知平面上的投影為 【 例 14】 一平面通過兩平面 5 0, 4 0x y z x z? ? ? ? ? ?的交線，且與平面 成 角 ,求其方程 . 4 8 12 0x y z? ? ? ??45分析：過交線的平面束中有兩個平面與已知平面成 45, 用數量積表示 . ?45cos解：過交線的平面束方程為 ( 5 ) 4 0,x y z x z? ? ? ? ? ? ?即 04)1(5)1( ?????? zyx ???其法向量為 ( 1 , 5 , 1 ) ,n ? ? ?? ? ? ? )1,5,1( ???? ???n與已知平面法向量 成 時有 , 1 ( 1 , 4, 8 )n ? ? ??45當 222221 )8()4(1)1()5()1()8)(1()4(51)1(),c os (45c os????????????????? ???????nn ???即 2271 3 1 ,2??? ? ?可得 于是所求平面兩個 : 1240 , ,3??? ? ?（ 1） 時 , 有 ,即為已知平面。 01 ??04 ??? zx（ 2） 時 ,有 . 342 ??? 012720 ???? xyx221 2 7 9 1 3 ,2 2 7 2 9 2 7 2????? ? ???? ? ?29 1 2 0 ,????【 例 15】 已知曲面 上點 處的切平面平行 224 yxz ??? P于平面 求點 的 坐標 . 2 2 1 0,x y z? ? ? ? P分析：本題的切平面的法向量已與已知平面的法向量平行； 問題是要求出切點?？捎汕娣匠糖笄衅矫娴姆ㄏ蛄浚? 利用平行條件。 解 :令 22( , , ) 4 0,F x y z x y z? ? ? ? ?曲面上任意 處切平面的法向量是 ( , , )x y z( , , ) ( 2 , 2 , 1 ) ,x y zn F F F x y? ??已知平面的法向量為 1 ( 2, 2, 1 ) ,n ?曲面的切平面平行與已知平面，則有兩法向量平行： 1// ,nn即 2 2 1 .2 2 1xy??解之得 代入曲面方程得 1,xy?? ?故點 的坐標為 P (1,1, 2).
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