遼寧工業(yè)大學高數習題課(編輯修改稿)
2025-02-16 12:28 本頁面
【文章內容簡介】 ???????????024331310432aaaa解之得 。 1?a【 例 6】 已知直線 在平面 ， azyax 123????? 1343 ???? aazyx求 的值。 a分析：直線在平面上，則直線上的點都在平面上、直線 的方向向量與平面的法向量垂直。 ( 3, 2, )sa?? 與平面 的法向量 ( 3, 4, )na?? 應相互垂直，即 。則有 0sn??關系式 其次，直線的方向向量 求平面的法向量與兩者分別垂直，平面的法向量可用向量積求得。 31221????? zyx【 例 7】 求過點 且通過直線 )2,1,3( ? 的平面方程。 分析： 直線上一點及已知點可確定一向量，直線有方向向量；所 解：直線上的點 及已知點 在所求平面上， )0,2,1( ?N )2,1,3( ?M兩點構成向量 ，直線方向向量 ； ( 2, 3, 2 )NM ?? ( 2, 1 , 3 )s ??2 3 2 7 2 42 1 3i j jn N M s i j k? ? ? ? ? ? ? ??所求平面方程為 0)2(4)1(2)3(7 ??????? zyx即 11427 ??? zyx所求平面的法向量 ， ，于是可取 ns?n NM?【 例 8】 已知兩直線 11122:,130211:21zyxLzyxL ??????????求過 且平行于 的平面。 1L 2L分析：所求平面過直線 ，則過直線上點，由平面的點法式， 1L關鍵是求出平面的法向量，有兩種方法： （ 1）用向量積得出與兩直線的方向向量都垂直的向量； （ 2）先設出平面的法向量，再由條件定系數。 解法 1: 直線 上的點 在所求平面上；又所求平面的 1L )3,2,1(法線向量 與已知二直線 的方向向量 、 n 21,LL1 ( 1 , 0, 1 )s ??2 ( 2, 1 , 1 )s ?都垂直，從而可取 12 1 0 1 32 1 1i j kn s s i j k? ? ? ? ? ? ?于是所求平面方程為 0)3(1)2(3)1(1 ???????? zyx即 023 ???? zyx解法 2：設所求的法向量為 過直線 上的點 ( , , )n A B C? 1L )3,2,1(的方程為 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0A x B y C z? ? ? ? ? ?已知二直線 的方向向量為 、 ， 21,LL1 ( 1 , 0, 1 )s ?? 2 ( 2, 1 , 1 )s ?因為 平面 過 ，所以 ，又因為 ，所以 ，則有 ?1L 1sn? 2L? ? 2sn?12020s n A Cs n A B C? ? ? ??? ? ? ? ? ??解得 ??????ABAC3取 則 。 1?A (1 , 3, 1 )n ??平面方程為： 03)2(31 ?????? zyx即 023 ???? zyx【 例 9】 求直線 與直線 162511:1?????? zyxL???????326:2 zyyxL的夾角。 分析：關鍵是求出直線 的方向向量，可用向量積求得。 2L解：直線 的方向向量是 ，而直線 的方向 1L1 ( 1 , 2, 1 )s ?? 2L向量 分別與兩向量 ， 垂直 ,則可取 2s 1 (1 , 1 , 0 )n ?? 2 ( 0, 2, 1 )n ?2 1 2 1 1 0 20 2 1i j ks n n i j k? ? ? ? ? ? ? ?從而直線 與直線 的夾角 的余弦為 1L 2L ?122 2 2 2 2 2121 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 2 31c o s2661 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 2ssss?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?因此 3???【 例 10】 求過點 ，垂直于直線 且平行于 )3,2,1(?654zyx ??平面 的直線方程。 010987 ???
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