矩陣與行列式_王啟明-資料下載頁
2025-01-20 09:44本頁面
【正文】 ? ? ? ?2 3 4 2 3 4,AB? ? ? ? ? ? ? ???其中 均為 4 維列向量，且已知行列式 2 3 4, , , ,? ? ? ? ?4 , 3 ,AB??求行列式 .AB?分析：根據(jù)矩陣加法定義及行列式性質(zhì)求 解： ? ?2 3 4222AB ? ? ? ? ?? ? ?? ?2 3 48 ? ? ? ? ???? ? ? ?2 3 4 2 3 48 ( )? ? ? ? ? ? ? ?8 ( )AB??56?,?????????????1 0 0 04 2 0 00 0 3 40 0 0 1A求 ? 1AA及 例 ?1 0 0 04 2 0 00 0 3 40 0 0 1A解 ??1 0 3 44 2 0 1??2 3 6設(shè) ???????????????111 0 0 04 2 0 00 0 3 40 0 0 1A???????????????????1 0 0 012 0 021400330 0 0 1??????????????? ??????????1110042340015. 初等矩陣和秩計(jì)算 例 則必有 [ C ]． (A)AP1P2=B。 (B) AP2P1=B。 (C) P1P2A=B 。 (D) P2P1A=B . 11 12 13 21 22 2321 22 23 11 12 1331 32 33 31 11 32 12 33 1312,0 1 0 1 0 01 0 0 , 0 1 0 .0 0 1 1 0 1a a a a a a= a a a = a a aa a a a a a a a a ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ABPP例 設(shè) A為 n階方陣，且 A3=2E， B=A2+A+E，求 R(B) ． 解 在 B=A2+A+E的兩邊左乘 A，得 AB=A3+A2+A, 將 A3=2E， B=A2+A+E代入上式，得 AB=2E+A2+A ? AB=B+E, 即 (A－ E)B=E, 所以 B可逆，故 R(B)=n． 例 ????????????????????????????????1132111132110001010100001010100cccbbbaaa解： “左行右列規(guī)則” 10001010100?????????? 左乘，交換第 1行和第 3行 10次 110 0 10 1 01 0 0????????右乘，交換第 1列和第 3列 11次 例 )()(,)2()()(,)1(ArABrBAArABrEAr???????????都有對任意證明若000證明： 1 ） 設(shè)1 1 1 22 1 2 2XXBXX??? ????，則1 1 1 200XXAB??? ????，其中1 1 1 2,XX只有 r 行， 即 AB 至多有 r 階非零子式，因此( ) ( )R AB r r A?? （ 2 ）設(shè) P , Q 為可逆陣，且000rrEP A Q I????????則有11rA P I Q???，因此： 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )r r rR A B R P I Q B R I Q B R I? ? ?? ? ?且( ) ( )rR I r R A??， 即( ) ( )R A B R A?
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